Processing math: 0%
Tämä kurssi on jo päättynyt.
\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}

Erikoispisteiden tunnuspiirteitä

Kun eristettyjen erikoispisteiden lajit määritellään Laurentin sarjan avulla, on luonnollista kysyä miten niitä voisi etsiä tilanteissa, joissa sarjakehitelmää ei tunneta. Jokaisella erikoispisteen tyypillä on sille ominaisia piirteitä, jotka auttavat niiden tunnistamisessa ja ominaisuuksien tutkimisessa.

Eristetyn erikoispisteen poistuvuus (ja myöhemmin oleellisuus) liittyy kiinteästi sen ympäristön kuvajoukkoon funktiossa. Eräässä mielessä voidaan todeta, että z_0 on funktion f poistuva erikoispiste, kunhan funktion f arvot pysyvät käsissä pisteen z_0 punkteeratussa ympäristössä.

Lause 6.3.1 (Riemannin lause)

Olkoon z_0 funktion f eristetty erikoispiste. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä.

  1. Funktiolla f on pisteessä z_0 poistuva erikoispiste.
  2. Funktio f voidaan jatkaa analyyttiseksi pisteen z_0 ympäristössä.
  3. Funktio f on rajoitettu pisteen z_0 ympäristössä.
Todistus

Todistetaan implikaatiot 1 \Rightarrow 2 ja 3 \Rightarrow 1. Puuttuvan implikaation 2 \Rightarrow 3 todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

1 \Rightarrow 2: Jos z_0 on funktion f poistuva erikoispiste, niin pisteen z_0 ulkopuolella

f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n

joillekin kertoimille a_n, missä n \in \Z ja a_n = 0 aina, kun n < 0. Tällöin myös pisteessä z_0 määritelty funktio

\tilde{f}(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n

on lauseen 5.2.9 nojalla analyyttinen pisteen z_0 ympäristössä piste z_0 mukaan luettuna.

3 \Rightarrow 1: Määritellään uusi, myös pisteessä z_0 määritelty funktio g asettamalla

\begin{split}g(z) = \begin{cases} (z - z_0)^2f(z), & \text{kun } z \neq z_0 \\ 0, & \text{kun } z = z_0. \end{cases}\end{split}

Tämä on analyyttinen pisteen z_0 punkteeratussa ympäristössä, sillä f on sitä. Lisäksi

0 \leq \left|\frac{g(z_0 + h) - g(z_0)}{h}\right| = \left|\frac{(z_0 + h - z_0)^2f(z_0 + h) - 0}{h}\right| = |h||f(z_0 + h)| \leq M|h| \to 0,

kun h \to 0, missä M on funktion f rajoittuneisuuteen liittyvä vakio. Täten g'(z_0) = 0 ja g on analyyttinen pisteen z_0 ympäristössä piste z_0 mukaan lukien. Nyt siis funktiolla g on pisteen z_0 ympäristössä Taylorin sarja

g(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = g(z_0) + g'(z_0)(z - z_0) + \sum_{n = 2}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \sum_{n = 2}^{\infty}a_n(z - z_0)^n,

missä a_n = g^{(n)}(z_0)/n!, joten funktiolla g on vähintään kaksinkertainen nolla pisteessä z_0. Nyt pisteen z_0 ympäristössä on oltava

f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^2} = \frac{1}{(z - z_0)^2}\sum_{n = 2}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n + 2}(z - z_0)^n,

eli funktion f Laurentin sarjassa ei ole negatiivisia potensseja, eli z_0 on poistuva erikoispiste.

Seuraavan lauseen toinen kohta osoittaa, että kertomalla termillä (z-z_0)^k funktiota, jolla on k-kertainen napa, saadaan funktio, jolla on poistuva erikoispiste. Kohta kolma on saman asian uudelleen muotoilu.

Lause 6.3.2

Oletetaan, että z_0 on funktion f eristetty erikoispiste ja että kokonaisluku k > 0. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä.

  1. Funktiolla f on pisteessä z_0 k-kertainen napa.
  2. k on pienin kokonaisluku, jolla \lim\limits_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z) \in \C \setminus \{0\}.
  3. k on pienin kokonaisluku, jolla f(z) = (z - z_0)^{-k}g(z), missä g on pisteessä z_0 analyyttinen funktio ja g(z_0) \not= 0.
Todistus

Hahmotellaan todistuksen idea. Funktiolla f on pisteessä z_0 k-kertainen napa, jos ja vain jos Laurentin sarjassa

(z - z_0)^kf(z) = (z - z_0)^k\sum_{n = -k}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n

kertoimet a_{n - k} = 0, kun n - k < 0 ja a_{-k} \neq 0. Niinpä yhtäpitävästi raja-arvo

\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z) = a_{-k} + \lim_{z \to z_0}\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n = a_{-k},

ja toisaalta

f(z) = (z - z_0)^{-k}\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n,

missä potenssisarja määrittelee pisteessä z_0 analyyttisen funktion g, jolle g(z_0) = a_{-k} \not= 0. Positiivisen kokonaisluvun minimaalisuus vaaditaan siihen, että Laurentin sarjakehitelmän voi todella aloittaa indeksistä -k.

Samaan tapaan kuin rationaalifunktion nollat ja navat liittyvät toisiinsa osoittajan ja nimittäjän nollakohtien kautta, myös yleisen kompleksimuuttujan funktion f ja siihen liittyvän osamäärän 1/f nollat ja navat liittyvät toisiinsa.

Lause 6.3.3

Oletetaan, että z_0 on funktion f eristetty erikoispiste ja että kokonaisluku k > 0. Funktiolla f on pisteessä z_0 k-kertainen napa, jos ja vain jos funktiolla 1/f on pisteessä z_0 k-kertainen nolla.

Todistus

Hahmotellaan todistuksen idea. Funktiolla f on pisteessä z_0 k-kertainen napa, jos ja vain jos funktio (z - z_0)^kf(z) voidaan jatkaa analyyttiseksi pisteen z_0 ympäristössä piste z_0 mukaan lukien. Tällöin myös funktio

\frac{1}{(z - z_0)^kf(z)} = (z - z_0)^{-k}\frac{1}{f(z)}

on analyyttinen pisteen z_0 ympäristössä, ja sillä on Taylorin sarja

(z - z_0)^{-k}\frac{1}{f(z)} = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n.

Yhtäpitävästi siis funktiolla 1/f on Taylorin sarja

\frac{1}{f(z)} = \sum_{n = k}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n,

mistä voidaan päätellä, että funktiolla 1/f on k-kertainen nolla pisteessä z_0.

Oleelliset erikoispisteet eroavatkin sitten luonteeltaan merkittävästi poistuvista erikoispisteistä ja navoista. Kahdesta aikaisemmasta voidaan “päästä eroon” kertomalla sopivalla termillä funktion määritelmää. Oleellisen erikoispisteen z_0 tapauksessa mitään raja-arvoista

\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z)

ei ole olemassa. Toisaalta tällä on merkittävä vaikutus funktion arvoihin erikoispisteen välittömässä ympäristössä. Picardin suurena lauseena tunnettu väite tyydytään vain toteamaan tässä.

Lause 6.3.4 (Picardin suuri lause)

Oletetaan, että z_0 on funktion f eristetty erikoispiste. Jos funktiolla f on pisteessä z_0 oleellinen erikoispiste, niin f saavuttaa jokaisessa pisteen z_0 ympäristössä jokaisen kompleksilukuarvon korkeintaan yhtä poikkeusta lukuunottamatta.

Esimerkki 6.3.5

Funktiolla \e^{1/z^2} on oleellinen erikoispiste origossa, joten Picardin suuren lauseen oletukset toteutuvat. Koska \e^{1/z^2}\neq 0 aina, kun z \neq 0, niin jokaiselle säteelle r > 0 punkteeratun kiekon 0<|z|<r kuvajoukko on \C \setminus \{0\}.

Funktion eristetty erikoispiste on ainoa ympäristönsä piste, jossa funktio ei ole analyyttinen. Funktiolla on pisteessä z_0

  • k-kertainen nolla, jos siinä kehitetyssä Taylorin sarjassa a_k on ensimmäinen nollasta eroava kerroin,
  • k-kertainen napa, jos siinä kehitetyssä Laurentin sarjassa a_{-k} on ensimmäinen nollasta eroava kerroin.

Funktion 1/f k-kertaiset nollat ovat funktion f k-kertaiset navat. Muita eristettyjä erikoispisteitä ovat

  • poistuva erikoispiste: funktio voidaan jatkaa analyyttiseksi siinä,
  • oleellinen erikoispiste: ei poistuva erikoispiste eikä minkään kertaluvun napa.
Palautusta lähetetään...