$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Eksponenttifunktio ja sen johdannaiset

Kompleksimuuttujan eksponenttifunktion määritelmä perustuu reaalisiin eksponentti-, sini- ja kosinifunktioihin.

Määritelmä 2.3.1

Olkoon $z = x + \im y$, missä $x, y \in \R$. Kompleksimuuttujan eksponenttifunktio

$$\e^z = \e^x(\cos(y) + \im\sin(y)).$$

Määritelmästä seuraa, että kompleksimuuttujan eksponenttifunktio on määritelty koko kompleksitasossa. Imaginaariakselilla $z = 0 + \im y$ nähdään, että

$$\e^z = \e^{\im y} = \cos(y) + \im\sin(y).$$

Tämän avulla edelleen päätellään, että mielivaltaiselle $z = x + \im y \in \C$ on voimassa

$$\e^{x + \im y} = \e^z = \e^x(\cos(y) + \im\sin(y)) = \e^x\e^{\im y}.$$

Eksponenttifunktion saama arvo esitetään suoraan napakoordinaattimuodossa, joten sen itseisarvo $|\e^z| = \e^x$ ja argumentti $\arg(\e^z) = y + k2\pi$, missä $k \in \Z$. Tästä seuraa, että mielivaltaisen kompleksiluvun $z$ napakoordinaattiesitykselle saadaan kompakti esitys

$$z = r(\cos(\phi) + \im\sin(\phi)) = r\e^{\im \phi},$$

missä $r = |z|$ ja $\phi = \Arg(z)$. Kompleksinen eksponenttifunktio toteuttaa reaalisen vastineensa tutut ominaisuudet, sekä pari uuttakin.

Lemma 2.3.2

Olkoot $z$, $z_1$ ja $z_2$ kompleksilukuja, sekä $n$ luonnollinen luku. Tällöin

1. $\e^{z+\im 2\pi}=\e^z$,
2. $\e^{z_1+z_2}=\e^{z_1}\e^{z_2}$,
3. $\displaystyle\e^{z_1-z_2}=\frac{\e^{z_1}}{\e^{z_2}}=\e^{z_1}\e^{-z_2}$,
4. $\left(\e^{z}\right)^n=\e^{n z}$,
5. $\left(\e^z\right)^{1/n}=\e^{(z+\im 2\pi k)/n}$, missä $k \in \{0,1,\ldots,n-1\}$.

Todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi kohta 1. Merkitään $z = x + \im y$, jolloin eksponenttifunktion määritelmän ja reaalisten trigonometristen funktioiden jaksollisuusominaisuuksien nojalla

$$\e^{z + \im 2\pi} = \e^{x + \im(y + 2\pi)} = \e^x(\cos(y + 2\pi) + \im\sin(y + 2\pi)) = \e^x(\cos(y) + \im\sin(y)) = \e^{x + \im y} = \e^z.$$

Kohtien 2 ja 3 todistuksissa on parasta hyödyntää sinin ja kosinin summakaavoja, ja kohta 4 on De Moivren kaavan yleistys kompleksiluvun eksponenttiesitykselle. Kohta 5 on kompleksiluvun $\e^z$ juurten kaava.

Pohdi 2.3.3

Minkä funktioiden $u(x, y)$ ja $v(x, y)$ avulla $\e^{x + \im y} = u(x, y) + \im v(x, y)$ voidaan esittää?

Trigonometriset ja hyperboliset funktiot

Trigonometriset perusfunktiot $\sin(z)$ ja $\cos(z)$ halutaan määritellä siten, että ne käyttäytyvät kuten reaalinen sini ja kosini silloin kun $z\in\R$. Toisin sanoen tavoitteena on laajentaa vanhaa määritelmää. Samaan aikaan olisi mukavaa, jos tutut ominaisuudet, kuten sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat, olisivat voimassa.

Reaalista siniä ja kosinia käytetään kompleksisen eksponenttifunktion määritelmässä siten, että

$$\e^{\im y} = \cos(y) + \im\sin(y) \qquad\text{ja}\qquad \e^{-\im y} = \cos(-y) + \im\sin(-y) = \cos(y) - \im\sin(y),$$

kun $y \in \R$. Laskemalla nämä yhteen ja vähentämällä ne toisistaan päätellään, että

$$\cos(y) = \frac{\e^{\im y} + \e^{-\im y}}{2} \qquad\text{ja}\qquad \sin(y) = \frac{\e^{\im y} - \e^{-\im y}}{2\im}.$$

Näiden ominaisuuksien on säilyttävä myös silloin, kun $y \in \C \setminus \R$, jotta ei muodostu ristiriitaa kompleksisen eksponenttifunktion määritelmän kanssa.

Määritelmä 2.3.4

Oletetaan, että $z \in \C$. Tämän kompleksinen kosini ja kompleksinen sini ovat

$$\cos(z) = \frac{\e^{\im z} + \e^{-\im z}}{2} \qquad\text{ja}\qquad \sin(y) = \frac{\e^{\im z} - \e^{-\im z}}{2\im}.$$

Annetun määritelmän mukaiset sini ja kosini todellakin toteuttavat tutut ominaisuudet. Tulokset seuraavat määritelmästä ja eksponenttifunktion ominaisuuksista.

Lemma 2.3.5 (Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia)

Olkoot $z$, $z_1$ ja $z_2$ kompleksilukuja. Tällöin

1. $\cos^2(z)+\sin^2(z)=1$,
2. $\sin(z_1+z_2)=\sin(z_1)\cos(z_2)+\cos(z_1)\sin(z_2)$,
3. $\cos(z_1+z_2)=\cos(z_1)\cos(z_2)-\sin(z_1)\sin(z_2)$,
4. $\sin(-z)=-\sin(z)$ ja $\cos(-z)=\cos(z)$.

Todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi kohta 1 hyödyntämällä suoraan sinin ja kosinin määritelmiä. Muut kohdat todistetaan vastaavasti.

$$\cos^2(z) + \sin^2(z) = \left(\frac{\e^{\im z} + \e^{-\im z}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\e^{\im z} - \e^{-\im z}}{2\im}\right)^2 = \frac{\e^{\im 2z} + 2 + \e^{-\im 2z}}{4} - \frac{\e^{\im 2z} - 2 + \e^{-\im 2z}}{4} = \frac{4}{4} = 1.\qedhere$$

Muut trigonometriset funktiot voidaan johtaa sinin ja kosinin määritelmistä tavalliseen tapaan.

Määritelmä 2.3.6

Oletetaan, että $z \in \C$. Jos $\cos(z) \not= 0$, luvun $z$ kompleksinen tangentti on

$$\tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)},$$

ja jos $\sin(z) \not= 0$, luvun $z$ kompleksinen kotangentti on

$$\cot(z) = \frac{\cos(z)}{\sin(z)}.$$

Koska kompleksisella sinillä ja kosinilla on valtaosa reaalimuuttujan vastaavien funktioiden ominaisuuksista, niin kompleksisella tangentilla ja kotangentilla on myös reaalisten vastineidensa ominaisuuksia. Esimerkiksi on voimassa summakaava

$$\tan(z_1+z_2)=\frac{\tan(z_1)+\tan(z_2)}{1-\tan(z_1)\tan(z_2)}.$$

Näin ei ole vielä saatu aikaan muuta, kuin laajennettua funktioiden määritelmiä kompleksisiin määrittelyjoukkoihin.

Kompleksiset hyperboliset funktiot määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin reaaliset.

Määritelmä 2.3.7

Oletetaan, että $z \in \C$. Hyperbolinen kosini ja hyperbolinen sini

$$\cosh(z) = \frac{\e^z + \e^{-z}}{2} \qquad\text{ja}\qquad \sinh(z) = \frac{\e^z - \e^{-z}}{2}.$$

Jos lisäksi $\cosh(z) \not= 0$, niin hyperbolinen tangentti

$$\tanh(z) = \frac{\sinh(z)}{\cosh(z)} = \frac{\e^z - \e^{-z}}{\e^z + \e^{-z}} = \frac{\e^{2z} - 1}{\e^{2z} + 1},$$

ja jos $\sinh(z) \not= 0$, niin hyperbolinen kotangentti

$$\coth(z) = \frac{\cosh(z)}{\sinh(z)} = \frac{\e^z + \e^{-z}}{\e^z - \e^{-z}} = \frac{\e^{2z} + 1}{\e^{2z} - 1}.$$

Koska määritelmä on sama, monet reaalisten hyperbolisten funktioiden ominaisuudet siirtyvät eteenpäin kompleksisille vastineille. Todistukset jätetään jälleen suoraviivaisiksi harjoitustehtäviksi.

Lemma 2.3.8 (Hyperbolisten funktioiden ominaisuuksia)

Olkoot $z$, $z_1$ ja $z_2$ kompleksilukuja. Tällöin

1. $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$,
2. $\sinh(z_1+z_2)=\sinh(z_1)\cosh(z_2)+\cosh(z_1)\sinh(z_2)$,
3. $\cosh(z_1+z_2)=\cosh(z_1)\cosh(z_2)+\sinh(z_1)\sinh(z_2)$,
4. $\sinh(-z)=-\sinh(z)$ ja $\cosh(-z)=\cosh(z)$.

Lemma 2.3.9 (Hyperbolisten ja trigonometristen funktioiden yhteys)

Olkoon $z$ kompleksiluku. Tällöin

1. $\sinh(\im z) = \im\sin(z)$ ja $\sin(\im z) = \im\sinh(z)$,
2. $\cosh(\im z) = \cos(z)$ ja $\cos(\im z) = \cosh(z)$.

Todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi kohdan 1 ensimmäinen väite. Määritelmän nojalla

$$\sinh(\im z) = \frac{\e^{\im z} - \e^{-\im z}}{2} = \im\frac{\e^{\im z} - \e^{-\im z}}{2\im} = \im\sin(z).\qedhere$$

Erityisesti trigonometristen funktioiden tapauksessa on hyödyllistä pohtia, minkälaisin reaalifunktioin niiden reaali- ja imaginaariosat voidaan esittää.

Lemma 2.3.10

Olkoon $z = x + \im y$, missä $x, y \in \R$. Tällöin

1. $\sin(z)=\sin(x)\cosh(y)+\im \cos(x)\sinh(y)$,
2. $\cos(z)=\cos(x)\cosh(y)-\im \sin(x)\sinh(y)$.

Muistamalla eksponenttifunktion jaksollisuusominaisuuden

$$\e^{\im y} = \e^{\im y + \im 2\pi} = \e^{\im(y + 2\pi)}$$

kaikille reaaliluvuille $y$, trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden määritelmistä on helppo nähdä, että

1. $\sin(z)$ ja $\cos(z)$ ovat $2\pi$-jaksollisia: kaikille kompleksiluvuille $z$ on voimassa

   $$\sin(z) = \sin(z + 2\pi) \qquad\text{ja}\qquad \cos(z) = \cos(z + 2\pi),$$

2. $\sinh(z)$ ja $\cosh(z)$ ovat $2\pi\im$-jaksollisia: kaikille kompleksiluvuille $z$ on voimassa

   $$\sinh(z) = \sinh(z + 2\pi\im) \qquad\text{ja}\qquad \cosh(z) = \cosh(z + 2\pi\im).$$

Toisin kuin reaalinen sini ja kosini, $\sin(z)$ ja $\cos(z)$ eivät ole rajoitettuja funktioita koko määrittelyjoukossaan (niiden arvojoukko ei ole rajoitettu). Tosiaan, koska lemman 2.3.10 nojalla kaikille reaaliluvuille $x$ ja $y$

$$\begin{split}\begin{aligned} \left|\sin(x + \im y)\right|^2 &= \sin^2(x)\cosh^2(y) + \cos^2(x)\sinh^2(y) \\ &= \sin^2(x)(1 + \sinh^2(y)) + \cos^2(x)\sinh^2(y) \\ &= \sin^2(x) + \sinh^2(y) \\ &= \sin^2(x) + \frac{\e^{2y} + \e^{-2y} - 2}{4}, \end{aligned}\end{split}$$

itseisarvo $\left|\sin(z)\right|$ ei rajoittamattomien eksponenttitermien vuoksi voi olla rajoitettu. Esimerkiksi kun imaginaariosan $y$ annetaan kasvaa rajatta imaginaariakselilla ($x = 0$ ja $y \to \infty$), niin

$$\left|\sin(x + \im y)\right|^2 = \left|\sin(\im y)\right|^2 = \frac{\overbrace{\e^{2y}}^{\to \infty}}{4} + \frac{\overbrace{\e^{-2y}}^{\to 0}}{4} - \frac{1}{2} \to \infty,$$

joten itseisarvo $\left|\sin(x + \im y)\right|$ ei voi pysyä rajoitettuna. Kosinifunktion rajoittamattomuus seuraa vastaavasti.

Esimerkki 2.3.11

Osoitetaan, että kompleksisella kosinilla on vain reaalisia nollakohtia (samat kuin reaalisen kosinin nollakohdat). Kirjoittamalla $z=x+\im y$, missä $x,y\in\R$, saadaan lemmojen 2.3.10, 2.3.8 ja 2.3.5 nojalla

$$\begin{split}\begin{aligned} \left|\cos(z)\right|^2 &= \cos^2(x)\cosh^2(y)+\sin^2(x)\sinh^2(y) \\ &= \cos^2(x)(1+\sinh^2(y))+\sin^2(x)\sinh^2(y) \\ &= \cos^2(x)+\sinh^2(y), \end{aligned}\end{split}$$

joten $\cos(z) = 0$ täsmälleen silloin, kun $\cos^2(x) + \sinh^2(y) = 0$. Tässä yhtälössä kosini ja hyperbolinen sini ovat reaalifunktioita, koska $x, y \in \R$. Ei-negatiivisten reaalilukujen $\cos^2(x)$ ja $\sinh^2(y)$ summa on nolla täsmälleen silloin, kun $\cos^2(x) = 0$ ja $\sinh^2(y) = 0$, joten kosinifunktion nollakohdan $z = x + \im y$ on toteutettava

$$x = \frac{\pi}{2} + k\pi \qquad\text{ja}\qquad y = 0$$

jollakin kokonaisluvulla $k$. Täten nollakohta $z = \frac{\pi}{2} + k\pi$, missä $k \in \Z$.

Palautusta lähetetään...