\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Funktioteoriaa

Tässä luvussa esitellään kompleksimuuttujan funktioiden perusteet, esitellään alkeisfunktiot ja mietitään, kuinka kompleksimuuttujan funktiotita voisi visualisoida. Huomataan, että moni asia on tuttua reaalisten funktioiden teoriasta, mutta paljon on myös uusia asioita ja ominaisuuksia.

Aivan ensin käydään läpi peruskäsitteitä, kuten määrittelyjoukko tai käänteisfunktio, jotka määritellään kuten mille tahansa funktiolle. Kompleksimuuttujan funktioiden eräs erityispiirre on se, että ne voidaan aina jakaa reaali- ja imaginaariosiin, jotka voidaan samastaa reaalisiksi kahden reaalimuuttujan funktioksi. Tätä ominaisuutta käytetään jatkossa hyödyksi esimerkiksi Cauchy-Riemannin yhtälöiden ja integoinnin yhteydessä.

Alkeisfunktioista määritellään polynomi- ja rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, trigonometriset ja hyperboliset funktiot, logaritmifunktio, sekä arkus- ja areafunktiot. Lähtökohtana on määritellä nämä funktiot niin, että niillä on tutut ominaisuudet ja määrittelyissä käytetäänkin hyväksi reaalisia alkeisfunktioita. Joitakin yllätyksiä toki on, kuten että sini ja kosini eivät enää olekaan rajoitettuja funktioita tai että monien käänteisfunktioiden käsittely on hiukan mutkikkaampaa kuin reaalifunktioilla. Tämä johtuu siitä, että ei ole olemassa ilmeistä tapaa rajata määrittelyjoukkoa niin, että funktio olisi bijektio ja siten kääntyvä. Käänteisfunktio ymmärretäänkin tässä hiukan yleisemmässä mielessä moniarvoisina funktioina, eli niille sallitaan useita arvoja. Alkeisfunktiot ja niiden käänteisfunktiot tarjoavat jatkoa varten yksinkertaisia funktioita, joiden avulla voidaan harjoitella ja demonstroida erilaisia teoreettisia tuloksia. Lisäksi esimerkiksi kompleksinen eksponenttifunktio on erittäin tärkeä useissa sovelluksissa, kuten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa ja Fourierin sarjoissa, vaikka näitä ei tässä materiaalissa käsitelläkään.

Kompleksimuuttujan funktioiden visualisoinnissa haastavaa on se, että ne kuvaavat kaksiulotteisen kompleksitason alkiot toiselle kaksiulotteiselle tasolle. Varsinaisen kuvaajan piirtämiseen tarvittaisiin siis neljä paikkaulottuvuutta. Tämän sijaan voidaan hahmotella, kuinka jokin kompleksitason joukko kuvautuu toiseksi, tai tyytyä havainnollistamaan funktion reaali- ja imaginaariosia tai itseisarvoa ja argumenttia erikseen kolmessa ulottuvuudessa. Kun näitä keinoja vielä täydennetään värein, saadaan useita erilaisia tapoja hahmottaa funktion käyttäytymistä. Tässä funktioiden visualisointi jätetään esimerkkien varaan, eikä se ole suuressa roolissa jatkon kannalta. Lukijan on kuitenkin hyödyllistä tietää, että sopivilla kuvilla voidaan nähdä funktiosta oleellista informaatiota, kuten tietyn tyyppisiä erikoispisteitä, joita käsitellään myöhemmin.

Kerrataan yleistä funktioiden teoriaa ennen kompleksimuuttujan funktioiden erityispiirteisiin siirtymistä.

Määritelmä 2.1.1

Olkoot joukot \(A\) ja \(B\) ovat epätyhjiä. Funktio, eli kuvaus \(f : A \to B\) on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon \(A\) alkioon \(z\) yksikäsitteisen joukon \(B\) alkion \(w = f(z)\). Tällöin \(w\) on pisteen \(z\) kuvapiste. Joukko \(A\) on funktion \(f\) määrittelyjoukko, joukko \(B\) on funktion \(f\) maalijoukko ja joukko

\[f(A) = \{f(z) \mid z \in A\} \subseteq B\]

on funktion \(f\) arvojoukko. Funktio \(f\) on

1. surjektio, jos \(f(A)=B\),
2. injektio, jos \(f(z_1)=f(z_2)\) vain, jos \(z_1 = z_2\),
3. bijektio, jos se on surjektio ja injektio.

Lause 2.1.2

Olkoot joukot \(A\) ja \(B\) epätyhjiä. Funktio \(f : A \to B\) on bijektio, jos ja vain jos on olemassa käänteisfunktio \(f^{-1} : B \to A\), jolle \(f^{-1}(f(z)) = z\) ja \(f(f^{-1}(w)) = w\) aina, kun \(z \in A\) ja \(w \in B\).

Silloin, kun funktion määrittelyjoukko ja maalijoukko ovat kompleksilukujen osajoukkoja, puhutaan kompleksimuuttujan funktiosta tai kompleksisesta funktiosta. Kompleksitason samastus karteesisen tason \(\R^2\) kanssa tuottaa erittäin käyttökelpoisen esityksen kompleksimuuttujan funktiolle \(f\) reaalifunktioiden avulla.

Kuva 2.1.1. Kompleksimuuttujan funktion esittäminen reaali- ja imaginaariosien avulla.

Käsitellään funktiota \(f : \C \to \C\), missä \(f(z) = w\). Merkitään \(z = x + \im y\) ja \(w = u + \im v\), missä \(x, y, u, v \in \R\). Kompleksitason ja karteesisen tason samastuksen ansiosta on olemassa funktiota \(f\) vastaava kuvaus \(\tilde{f} : \R^2 \to \R^2\), jossa \(\tilde{f}(x, y) = (u, v)\). Kuvan 2.1.1 mukaisesti nyt on olemassa ikään kuin kaksi reittiä karteesisen tason pisteestä \((x, y)\) kuvapisteeseen \(u + \im v\). Vahvennetulla merkitty ilmaisee, että kuvapiste on alkuperäisen luvun reaali- ja imaginaariosien funktio \(u + \im v = f(x, y)\). Katkoviivoin merkitty reitti puolestaan toisaalta osoittaa, että kuvapisteen reaali- ja imaginaariosat ovat alkuperäisen luvun funktioita \((u, v) = \tilde{f}(x + \im y)\). Yhdistämällä nämä tiedot ja merkitsemällä kumpaakin funktiota symbolilla \(f\) päätellään, että

\[f(x,y) = u(x,y) + \im v(x,y),\]

eli kompleksimuuttujan \(z = x + \im y\) funktion \(f\) saamien arvojen \(w = u + \im v\) reaali- ja imaginaariosat voidaan erikseen esittää reaali- ja imaginaariosien \(x\) ja \(y\) funktioina. Tästä syystä kompleksimuuttujan funktioiden käsittelyyn voidaan käyttää kahden muuttujan funktioiden teoriaa.

Esimerkki 2.1.3

Tarkastellaan funktiota \(f:\C\setminus\{0\}\to\C\),

\[f(z)=\frac{\overline{z}+\im}{z}.\]

Esitetään se kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion avulla. Aloitetaan kirjoittamalla \(z=x+\im y\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\overline{z}+\im}{z} & = \frac{x+\im (1-y)}{x+\im y}=\frac{(x+\im (1-y))(x-\im y)}{x^2+y^2} = \frac{x^2-y(1-y)}{x^2+y^2}+\im \frac{x(1-y)-xy}{x^2+y^2}\\ & = 1-\frac{y}{x^2+y^2}+\im \frac{x-2xy}{x^2+y^2}, \end{aligned}\end{split}\]

eli \(f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)\), missä

\[u(x,y)=1-\frac{y}{x^2+y^2}\;\;\text{ ja }\;\; v(x,y)=\frac{x-2xy}{x^2+y^2}.\]

Pohdi 2.1.4

Määritteleekö sääntö \(z \mapsto z^{1/n}\) funktion? Entä sääntö \(x \mapsto x^{1/n}\), missä \(x\) on reaaliluku, mutta \(x^{1/n}\) sen kompleksinen juuri?

Kompleksimuuttujan funktioihin liittyvä ongelma on, että monet reaalimuuttujan tavanomaiset funktiot lakkaavat olemasta funktioita, kun ne yleistetään kompleksiseen määrittelyjoukkoon. Välitön esimerkki tästä saadaan kompleksiluvun juuren määrityksestä. Kun \(n > 1\), yritys määritellä funktio \(f : \C \to \C\) säännöllä \(f(z) = z^{1/n}\) epäonnistuu, sillä tällöin lukuun \(z\) liitettäisiin yhteensä \(n\) kappaletta lukuja, eikä funktion määritelmä täyty. Tällaisessa tapauksessa sanotaan, että \(f\) on monikäsitteinen funktio.

Tapoja saada kompleksiluvun juurtamisesta funktio on ainakin kaksi, ja ne yleistyvät myös muille monikäsitteisille funktioille.

1. Rajoitetaan juuren (funktion arvojen) haaraa. Kuvauksesta \(z^{1/n}\) saadaan yksikäsitteinen, kun määrätään, että \(z^{1/n}\) on se juuri \(w\), jolle \(\Arg(w) \in \left(-\frac{\pi}{n}, \frac{\pi}{n}\right]\). Tätä kutsutaan juurifunktion \(z^{1/n}\) päähaaraksi.
2. Laajennetaan määrittelyjoukkoa. Kuvauksesta \(z^{1/n}\) saadaan yksikäsitteinen, kun luvun \(z\) argumentteja \(\Arg(z), \Arg(z) + 2\pi, \Arg(z) + 4\pi, \ldots, \Arg(z) + (n - 1)2\pi\) vastaavat kompleksiluvut ymmärretäänkin erillisinä. Tällöin ikään kuin asetetaan \(n\) kappaletta kompleksitasoja päällekkäin ja yhdistetään ne sopivasti Riemannin pinnaksi.

Näiden menetelmien laajempi käsittely sivuutetaan tässä, sillä niitä ei tarvita erityisesti jatkon kannalta.

Palautusta lähetetään...