\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Antiderivaatta ja analyysin peruslause

Reaalisten funktioiden tapauksessa analyysin peruslause yhdistää määrätyn integraalin ja antiderivaatan, tai tutummin integraalifunktion, sekä tarjoaa kätevän tavan laskea integraaleja. Tässä luvussa huomataan, että sama tulos on voimassa myös kompleksisille integraaleille, mikäli antiderivaatta on olemassa. Antiderivaatan olemassaolo tuottaa kuitenkin erilaisia teoreettisia haasteita kuin reaalianalyysissa.

Määritelmä 4.3.1

Jos funktio \(F\) on analyyttinen alueessa \(A\), ja sillä on alueessa \(A\) jatkuva derivaatta \(F'(z) = f(z)\), niin merkitään

\[F(z)=\int f(z)\,\rd z.\]

Funktiota \(F\) kutsutaan funktion \(f\) antiderivaataksi joukossa \(A\).

Muita nimityksiä antiderivaatalle ovat integraalifunktio ja primitiivi.

Esimerkki 4.3.2

Koska \(\frac{\rd}{\rd z}\cosh(z)=\sinh(z)\), niin \(\int\sinh(z)\,\rd z=\cosh(z)\). Vastaavasti nähdään, että koska \(\frac{\rd}{\rd z}\e^{\im z}/\im = \e^{\im z}\), niin \(\int\e^{\im z}\,\rd z=\e^{\im z}/\im = -\im\e^{\im z}\).

Lause 4.3.3 (Analyysin peruslause)

Olkoon funktio \(f\) jatkuva alueessa \(A\), funktio \(F\) sen antiderivaatta alueessa \(A\), sekä \(S \subseteq A\) paloittain sileä tie, jolla on parametrisointi \(z(t)\), \(t \in [a, b]\). Tällöin

\[\int_S f(z)\, \rd z=F(z(b))-F(z(a)).\]

Todistus

Kirjoitetaan integraali muodossa

\[\int_S f(z)\, \rd z=\int_a^b f(z(t))z'(t)\, \rd t =\int_a^b F'(z(t))z'(t)\, \rd t = \int_a^b \frac{\rd F}{\rd t}\, \rd t,\]

missä on käytetty ketjusääntöä \(\frac{\rd}{\rd t}F(z(t))=F'(z(t))z'(t)\). Merkitään \(F(z(t))=u(t)+\im v(t)\), missä \(u, v : [a, b] \to \R\). Tällöin \(\frac{\rd F}{\rd t}=u'(t)+\im v'(t)\), ja reaalisen analyysin peruslauseen nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_S f(z)\,\rd t & =\int_a^b u'(t)\, \rd t+\im \int_a^b v'(t)\, \rd t=\sij{a}{b}u(t)+\im\sij{a}{b}v(t) = \sij{a}{b}(u(t) + \im v(t)) \\ &=u(b)+\im v(b)-(u(a)+\im v(a))=F(z(b))-F(z(a)). \end{aligned}\end{split}\]

Huomautus 4.3.4

Jos jatkuvalla funktiolla \(f\) on antiderivaatta alueessa \(A\), niin analyysin peruslauseen nojalla integraali riippuu vain alueseen \(A\) sisältyvän integroimistien päätepisteistä, eikä tiestä itsestään. Jos siis paloittain sileä tie \(S \subseteq A\) alkaa pisteestä \(z_1\) ja päättyy pisteeseen \(z_2\), niin

\[\int_Sf(z)\,\rd z = F(z_2) - F(z_1).\]

Koska integraali riippuu vain tien \(S\) päätepisteistä, voidaan perustellusti merkitä

\[\int_Sf(z)\,\rd z = \int_{z_1}^{z_2}f(z)\,\rd z.\]

Jos lisäksi tie \(S\) on sulkeutuva, eli jos \(z_1 = z_2\), niin

\[\int_S f(z)\,\rd z = \int_{z_1}^{z_2} f(z)\,\rd z = 0.\]

Olennaista päättelyn kannalta on edelleen kuitenkin vain, että antiderivaatta \(F\) on olemassa.

Esimerkki 4.3.5

Koska \(\frac{\rd}{\rd z}\cosh(z) = \sinh(z)\) ja \(\sinh(z)\) on jatkuva kaikkialla, niin

\[\int_{0}^{\im \pi}\sinh(z)\,\rd z=\cosh(\im\pi)-\cosh(0)=\cos(\pi)-1=-2\]

riippumatta pisteet \(0\) ja \(\im\pi\) yhdistävästä tiestä.

Myöhemmin havaitaan, että yhdesti yhtenäisessä alueessa analyyttisella funktiolla on siinä aina antiderivaatta. Seuraava esimerkki osoittaa, että antiderivaatta voi olla olemassa alueessa, vaikka se ei olisi yhdesti yhtenäinen. Toisaalta esimerkki 4.3.7 osoittaa, että näin ei aina ole.

Esimerkki 4.3.6

Koska

\[\frac{\rd}{\rd z}\left(-\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{z^2}\]

ja \(1/z^2\) on jatkuva aina, kun \(z \not= 0\), niin funktiolla \(-1/z\) on antiderivaatta \(1/z^2\) alueessa \(\C \setminus \{0\}\). Niinpä analyysin peruslauseesta seuraa, että

\[\int_S \frac{1}{z^2}\,\rd z = \int_{1}^{1}\frac{1}{z^2}\,\rd z=0,\]

kun \(S\) on yksikköympyrä \(|z| = 1\) jonka parametrisoinnin alku- ja loppupisteenä on \(1\).

Esimerkki 4.3.7

Koska positiivisilla reaaliluvuilla \(x\) derivaatta \(\frac{\rd}{\rd x}\ln(x)=\frac{1}{x}\), niin voisi olettaa, että yksikköympyrän \(S = \{z \in \C \mid |z| = 1\}\) yli integroitaessa saataisiin

\[\int_S \frac{1}{z}\,\rd z=0.\]

Näin ei kuitenkaan ole (miksi ihmeessä?), sillä lemman 4.1.8 nojalla

\[\int_S \frac{1}{z}\,\rd z=2\pi\im,\]

kun yksikköympyrä suunnistetaan vastapäivään.

Tutkitaan seuraavaksi tarkemmin milloin funktiolla on antiderivaatta alueessa \(A\). Analyysin peruslauseen seurauksena nähdään, että mikäli antiderivaatta on olemassa, niin integraalin arvo ei riipu päätepisteet yhdistävästä integroimistiestä. Kääntäen tämän ehdon toteutuminen takaa antiderivaatan olemassaolon.

Määritelmä 4.3.8

Olkoon \(z_1\) ja \(z_2\) pisteitä alueessa \(A\). Integraalin \(\int_S f(z)\, \rd z\) sanotaan olevan polkuriippumaton alueessa \(A\), jos integraalin arvo ei riipu alkupisteen \(z_1\) loppupisteeseen \(z_2\) yhdistävästä integroimistiestä \(S \subseteq A\).

Seuraavaksi osoitetaan, että funktiolla on alueessa \(A\) antiderivaatta, mikäli sen integraalit ovat siinä polkuriippumattomia. Lauseen todistus on tyypillinen matemaattisen analyysin todistus, jossa esiintyy epsilonia ja deltaa, joten etenkin teoreettisesti suuntautuneen lukijan kannattaa käyttää sen läpikäymiseen muutama tovi.

Lause 4.3.9

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva alueessa \(A\) ja että \(z_0 \in A\). Funktiolla \(f\) on antiderivaatta alueessa \(A\), jos ja vain jos integraali \(\int_S f(z)\,\rd z\) on polkuriippumaton alueessa \(A\) aina, kun \(S \subseteq A\) on paloittain sileä tie. Lisäksi tämän toteutuessa ehdolla

\[F(z)=\int_{z_0}^z f(s)\,\rd s\]

määritelty funktio \(F\) on funktion \(f\) eräs antiderivaatta alueessa \(A\).

Todistus

“\(\Rightarrow\)” Jos funktiolla \(f\) on antiderivaatta, niin analyysin peruslauseen nojalla ja aiemman huomautuksen tapaan todetaan, että funktion integraalit alueessa \(A\) ovat polkuriippumattomia.

“\(\Leftarrow\)” Kiinnitetään mielivaltainen \(z\in A\) ja osoitetaan antiderivaatan määritelmän mukaisesti, että \(F'(z)=f(z)\), kun \(F\) on lauseen esittämä funktio.

Olkoon \(\epsilon>0\) ja \(\Delta z\) nollasta eroava kompleksiluku. Kirjoitetaan

\[F(z+\Delta z)-F(z)=\int_{z_0}^{z+\Delta z} f(s)\,\rd s - \int_{z_0}^z f(s)\,\rd s=\int_{z}^{z+\Delta z} f(s)\,\rd s.\]

ja edelleen

\[\frac{F(z + \Delta z) - F(z)}{\Delta z}=\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z}f(s)\,\rd s.\]

Koska funktio \(f\) on jatkuva ja \(A\) avoin joukko, niin on olemassa sellainen \(\delta>0\), että ehdosta \(|s - z| < \delta\) seuraa \(|f(s) - f(z)| < \epsilon\) aina, kun \(s \in A\). Jos nyt \(|\Delta z|<\delta\), niin ML-lauseen ja edellä esitetyn päättelyn nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \left|\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}-f(z)\right| &= \left|\frac{1}{\Delta z}\int_{z}^{z+\Delta z} f(s)-f(z)\,\rd s\right|\\ &\leq \frac{1}{|\Delta z|}\max_{s\in S} |f(s)-f(z)|\cdot|\Delta z|<\epsilon, \end{aligned}\end{split}\]

missä \(S\) on pisteet \(z\) ja \(z + \Delta z\) yhdistävä jana, ja tämän janan pituus on \(|\Delta z|\). Näin on osoitettu, että

\[F'(z)=\lim_{\Delta z\to 0} \frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}=f(z).\qedhere\]

Lemma 4.2.4 toteaa, että yhdesti yhtenäisessä alueessa analyyttisen funktion kaikki integraalit ovat polkuriippumattomia tässä alueessa (Cauchy-Goursat’n lauseen seuraus). Siis edellisen lauseen mukaan yhdesti yhtenäisessä alueessa \(A\) analyyttisella funktiolla on aina antiderivaatta alueessa \(A\).

Esimerkki 4.3.10

Tarkastellaan onko funktiolla \(\overline{z}^2\) antiderivaatta kompleksitasossa. Esimerkissä 3.2.5 todettiin, että \(\overline{z}\) ei derivoidu missään. Tämän vuoksi voi olla syytä epäillä, että sen toisella potenssilla ei ole antiderivaattaa. Funktio \(\overline{z}^2\) on jatkuva, joten analyysin peruslauseen nojalla antiderivaatta on olemassa vain jos funktio on polkuriippumaton. Pyritään siis löytämään kaksi samat pisteet yhdistävää polkua, joita pitkin saadaan erisuuret integraalin arvot.

Tarkastellaan murtoviivaa \(S : 0\to 1+\im\to \im\), jonka muodostavilla yksittäisillä janoilla \(S_1 : 0 \to 1 + \im\) ja \(S_2 : 1 + \im \to \im\) on parametrisoinnit

\[z_1(t)=t(1+\im)\qquad \text{ja}\qquad z_2(t)=1-t+\im,\qquad\text{missä } t\in[0,1].\]

Niinpä määritelmän nojalla integraali

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_S \overline{z}^2\, \rd z & = \int_{S_1} \overline{z}^2\, \rd z+\int_{S_2} \overline{z}^2\, \rd z\\ &=\int_0^1 (\overline{t(1+\im)})^2(1+\im)\, \rd t+\int_0^1 (\overline{(1-t+\im)})^2\cdot(-1)\, \rd t\\ & =\int_0^1 2(1-\im)t^2\, \rd t+\int_0^1 1-(1-t)^2+2(1-t)\im\, \rd t\\ & =\frac{2}{3}(1-\im)+\frac{2}{3}+\im=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\im. \end{aligned}\end{split}\]

Jos taas integroidaan suoraan yli janan \(S_0 : 0 \to \im\), jolla on parametrisointi \(z_0(t)=t\im\), \(t\in[0,1]\), niin integraalin arvoksi saadaan

\[\int_{S_0} \overline{z}^2\, \rd z =\int_0^1 (\overline{(t\im)})^2\cdot \im\, \rd t =\int_0^1 -t^2\im\, \rd t =-\frac{1}{3}\im.\]

Huomataan, että integraali ei ole polkuriippumaton ja siten funktiolla \(\overline{z}^2\) ei ole olemassa antiderivaattaa missään alueessa, joka sisältää tiet \(S\) ja \(S_0\). Erityisesti funktiolla \(\overline{z}^2\) ei ole antiderivaattaa koko kompleksitasossa, mutta vielä on olemassa mahdollisuus että antiderivaatta on olemassa jossakin pienemmässä alueessa.

Palautusta lähetetään...