$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Kompleksiluvut

Tässä luvussa käydään läpi kompleksilukujen määritelmä ja niihin liittyvät peruskäsitteet, niiden muodostaman algebrallisen rakenteen perusominaisuudet, geometrinen tulkinta, kompleksinen juuri sekä topologian peruskäsitteitä. Nämä esitetään mahdollisimman suppeasti ja useiden yksinkertaisten tulosten perusteleminen jätetään lukijalle. Todistettavat tulokset on valittu siten, että lukijalle syntyisi mielikuva siitä, kuinka näitä helpohkoja todistuksia voi tehdä. Aluksi oleellista on hahmottaa, kuinka kompleksilukujen kanssa toimitaan, sillä niiden opettelu jo näin alkuvaiheessa auttaa huomattavasti myöhemmässä osassa kurssia, kun keskitytään täysin uuteen asiaan. Toisaalta nämä perusasiat kertautuvat jatkossa ja niihin viitataan tarvittaessa.

Kompleksiluvut voidaan mieltää reaalilukupareina, mutta vasta niille määritellyt yhteen- ja kertolaskut antavat kompleksiluvuille niiden tyypilliset ominaisuudet. Kompleksiluvuilla laskeminen hoituu varsin samaan tapaan kuin reaaliluvuilla, kun taas niiden geometrinen tulkinta on hyvin pitkälle samanlaista kuin tason vektoreilla. Esimerkiksi kompleksiluvut voidaan esittää kulman ja pituuden avulla napakoordinaattimuodossa aivan kuten tason vektorit. Polaarimuodon avulla kätevästi saatava kompleksisen juuren esitys taas osoittaa, että valitsemalla kompleksilukujen esitystapa sopivasti voi helpottaa ongelman hahmottamista ja käsittelyä. Käytännössä topologiset ominaisuudet ovat samat kuin karteesisen tason $\R^2$ vektorien topologia ja siksi tässä lähinnä tyydytään esittelemään käsitteet, joita tarvitaan myöhemmin, ja tutustumaan niihin esimerkkien kautta.

Jatkossa huomataan, että kuten kompleksilukujen peruslaskenta ja geometrinen tulkinta myös monet kompleksinanalyysin tulokset ovat tuttuja reaalianalyysistä ja/tai käyttävät hyväksi niitä. Tämän vuoksi vahvat pohjatiedot (usean muuttujan) reaalianalyysista ja vektorilaskennasta auttavat jatkossa (vaikkakaan eivät missään nimessä ole pakollisia).

Kompleksiluvut saivat alkunsa yrityksistä ratkaista polynomiyhtälöitä, kuten

$$x^2 + 2x + 2 = 0 \quad \text{tai}\quad x^3 - 3x^2 + 3x + 7 = 0.$$

Kummallakaan niistä ei ole asteensa verran reaalisia ratkaisuja, mutta käyttämällä sokeasti tuttuja reaalilukujen laskusääntöjä voidaan ajatella, että

$$\left(-1 + \sqrt{-1}\right)^2 + 2 \cdot \left(-1 + \sqrt{-1}\right) + 2 = 1 - 2\sqrt{-1} - 1 - 2 + 2\sqrt{-1} + 2 = 0$$

ja

$$\begin{split}\begin{aligned} &\left(2 + \sqrt{-3}\right)^3 - 3 \cdot \left(2 + \sqrt{-3}\right)^2 + 3 \cdot \left(2 + \sqrt{-3}\right) + 7 \\ &\qquad= 8 + 12\sqrt{-3} - 18 - 3\sqrt{-3} - 12 - 12\sqrt{-3} + 9 + 6 + 3\sqrt{-3} + 7 = 0. \end{aligned}\end{split}$$

Tavanomaisen määritelmän mukaan siis $-1 + \sqrt{-1}$ on ensimmäisen ja $2 + \sqrt{-3}$ toisen yhtälön ratkaisu. Nämä eivät kuitenkaan ole reaalilukuja! Tästä “mahdottomuudesta” alkoi kompleksilukujen matemaattisen teorian kehitys. Lisätietoa kompleksilukujen historiasta löytyy tästä artikkelista. Viihdyttävä johdatus ja historiallinen kertaus löytyy taas tästä videosta.

Pohdi 1.1.1

Miksi negatiivisen reaaliluvun neliöjuurta ei voida pitää reaalilukuna?

Määritelmä 1.1.2

Kompleksiluku on reaalilukujen $x$ ja $y$ pari, jota merkitään lausekkeena $x+\im y$. Symbolia $\im$ kutsutaan imaginaariyksiköksi. Kompleksilukujen joukko on $\C = \{x+\im y \mid x,y\in\R\}$. Kompleksiluvun $x + \im y$ reaaliosa on $\real(z) = x$ ja imaginaariosa on $\imag(z) = y$. Kompleksiluvut $z_1$ ja $z_2$ ovat samat, jos $\real(z_1) = \real(z_2)$ ja $\imag(z_1) = \imag(z_2)$.

Kompleksiluku $x + \im y$ voidaan ymmärtää myös reaalilukuparina $(x, y) \in \R^2$. Tästä syystä kompleksilukujen joukkoa $\C$ kutsutaan myös kompleksitasoksi, ja sitä voidaan havainnollistaa karteesisen tason $\R^2$ tapaan koordinaatistona. Seuraava tulkinta kuitenkin erottaa kompleksiluvut järjestetyistä pareista: jos $z \in \C$ ja $\imag(z) = 0$, niin $z = x + \im \cdot 0 = x$ jollekin reaaliluvulle $x$, ja siten $z \in \R$. Toisin sanoen reaaliluvut sisältyvät kompleksilukujen joukkoon, $\R \subset \C$. Näin ei voida sanoa suoraan reaaliluvuista ja karteesisesta tasosta.

Kompleksiluvut reaalilukupareina eivät ole kovin mielenkiintoisia, vaan käyttökelpoinen ja erittäin mukavia ominaisuuksia omaava algebrallinen rakenne saadaan määrittelemällä kompleksiluvuille sopivat yhteen- ja kertolaskut. Tämä voidaan tehdä reaalilukujen yhteen- ja kertolaskun avulla.

Määritelmä 1.1.3

Olkoot kompleksiluvut $z_1 = x_1 + \im y_1$ ja $z_2 = x_2 + \im y_2$. Tällöin summa

$$z_1+z_2=(x_1+x_2)+\im (y_1+y_2)$$

ja tulo

$$z_1 z_2=(x_1 x_2-y_1 y_2)+\im (x_1 y_2+x_2 y_1).$$

Kompleksiluvut yhdessä yllä esitettyjen yhteen- ja kertolaskutoimitusten kanssa muodostavat kunnan $(\C, +, \cdot)$, eli seuraavat laskusäännöt (kunta-aksioomat) ovat voimassa.

1. $z_1 + z_2 \in\C$ ja $z_1z_2\in\C$ aina, kun $z_1, z_2 \in \C$ (suljettuus).
2. $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ ja $z_1z_2 = z_2z_1$ aina, kun $z_1, z_2 \in \C$ (vaihdannaisuus).
3. $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ ja $(z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$ aina, kun $z_1, z_2, z_3 \in \C$ (liitännäisyys).
4. $z_1(z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3$ aina, kun $z_1, z_2, z_3 \in \C$ (osittelulaki).
5. On olemassa yksikäsitteinen kompleksiluku $0 = 0 + \im \cdot 0$, jolle $z + 0 = z$ aina, kun $z \in \C$ (nolla-alkio).
6. Aina, kun $z \in \C$, on olemassa yksikäsitteinen kompleksiluku $-z$, jolle $z + (-z) = 0$ (vastaluku).
7. On olemassa yksikäsitteinen kompleksiluku $1 = 1 + \im \cdot 0$, jolle $1z = z$ aina, kun $z \in \C$ (ykkösalkio).
8. Aina, kun $z \in \C \setminus \{0\}$, on olemassa yksikäsitteinen kompleksiluku $z^{-1}$, jolle $zz^{-1} = 1$ (käänteisluku).

Esimerkki 1.1.4

Todistetaan kompleksilukujen osittelulaki. Oletetaan, että $z_k = x_k + \im y_k$ reaaliluvuille $x_k$ ja $y_k$, kun $k \in \{1, 2, 3\}$. Tällöin

$$z_2 + z_3 = (x_2 + x_3) + \im (y_2 + y_3),$$

joten

$$z_1(z_2 + z_3) = (x_1(x_2 + x_3) - y_1(y_2 + y_3)) + \im(x_1(y_2 + y_3) + (x_2 + x_3)y_1).$$

Reaalilukujen osittelulain, sekä summan ja tulon vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden avulla päätellään edelleen, että

$$\begin{split}\begin{aligned} z_1(z_2 + z_3) &= (x_1x_2 + x_1x_3 - (y_1y_2 + y_1y_3)) + \im(x_1y_2 + x_1y_3 + x_2y_1 + x_3y_1) \\ &= ((x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1x_3 - y_1y_3)) + \im((x_1y_2 + x_2y_1) + (x_1y_3 + x_3y_1)). \end{aligned}\end{split}$$

Koska

$$z_1z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + \im(x_1y_2 + x_2y_1) \qquad\text{ja}\qquad z_1z_3 = (x_1x_3 - y_1y_3) + \im(x_1y_3 + x_3y_1),$$

voidaan todeta, että $z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3$, kuten väitettiinkin.

Muiden kunta-aksioomien todistaminen jätetään edellisen kaltaisiksi harjoitustehtäviksi. Peruslaskutoimitukset seuraavat tavalliseen tapaan summan ja tulon määritelmistä.

Määritelmä 1.1.5

Olkoot kompleksiluvut $z_1 = x_1 + \im y_1$ ja $z_2 = x_2 + \im y_2$. Tällöin erotus

$$z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) = (x_1 - x_2) + \im (y_1 - y_2).$$

Jos lisäksi $z_2 \neq 0$, niin osamäärä

$$\frac{z_1}{z_2} = z_1z_2^{-1}.$$

Jos $z \in \C$ ja $n \in \Z$, niin potenssi

$$\begin{split}z^n = \begin{cases} 0, & \text{jos } z = 0 \text{ ja } n \not= 0 \\ 1, & \text{jos } z \not= 0 \text{ ja } n = 0 \\ zz^{n - 1}, & \text{jos } z \not= 0 \text{ ja } n > 0 \\ (z^{-n})^{-1}, & \text{jos } z \not= 0 \text{ ja } n < 0. \end{cases}\end{split}$$

On tärkeää huomata, että edellä imaginaariyksikköä $\im$ on käsitelty vain symbolina, jolla erotetaan toisistaan kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosat. Sille saadaan kuitenkin myös hyvin konkreettinen tulkinta omana kompleksilukunaan. Tämä perustuu täysin siihen, että imaginaariyksikön $\im$ sovitaan esittävän kompleksilukua $0 + \im 1$.

Lause 1.1.6

Imaginaariyksikön neliö $\im^2 = -1$.

Todistus

Väite seuraa suoraan kompleksiluvun potenssin määritelmästä, kun $\im = 0 + \im 1$:

$$\im^2 = (0 + \im 1)(0 + \im 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \im(0 \cdot 1 + 0 \cdot 1) = -1 + \im 0 = -1.\qedhere$$

Huomautus 1.1.7

Imaginaariyksikköä merkitään joskus mukavuussyistä $\im = \sqrt{-1}$. Tämä ei kuitenkaan ole yleisesti käytetty merkintätapa, joten sen kanssa on syytä olla hyvin varovainen.

Kun nyt yhdistetään kompleksilukujen osittelulaki, reaalilukujen tulkinta kompleksilukuina ja tulos $\im^2 = -1$, saadaan seuraava miellyttävä laskutapa kompleksilukujen tulolle. Jos $z_1 = x_1 + \im y_1$ ja $z_2 = x_2 + \im y_2$, missä reaaliluvut $x_1$, $x_2$, $y_1$ ja $y_2$ tulkitaan kompleksilukuina, niin osittelulain, sekä vaihdannaisuus- ja liitännäisyyslakien nojalla

$$\begin{split}\begin{aligned} z_1z_2 &= (x_1 + \im y_1)(x_2 + \im y_2) = (x_1 + \im y_1)x_2 + (x_1 + \im y_1)\im y_2 \\ &= x_1x_2 + \im y_1x_2 + x_1\im y_2 + \im y_1\im y_2 = x_1x_2 + \im^2y_1y_2 + \im(x_1y_2 + x_2y_1). \end{aligned}\end{split}$$

Sijoittamalla $\im^2 = -1$ päätellään, että

$$z_1z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + \im(x_1y_2 + x_2y_1),$$

mikä on tulon $z_1z_2$ määritelmä. Kompleksilukujen tulo voidaan laskea siis täsmälleen samoin kuin reaalisten binomien tulo, kun imaginaariyksikköä pidetään tuntemattomana, ja sieventää lopuksi perusmuotoiseksi kompleksiluvuksi käyttämällä tietoa $\im^2 = -1$.

Esimerkki 1.1.8

Kompleksilukujen $1 + 2\im$ ja $3 - \im$ summa, tulo ja erotus ovat

$$\begin{split}\begin{aligned} (1 + 2\im) + (3 - \im) &= 1 + 3 + (2 - 1)\im = 4 + \im, \\ (1 + 2\im)(3 - \im) &= 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-\im) + 2\im \cdot 3 + 2\im \cdot (-\im) = 3 - \im + 6\im - 2\im^2 \\ &= 3 + 2 + (-1 + 6)\im = 5 + 5\im \\ (1 + 2\im) - (3 - \im) &= 1 - 3 + (2 - (-1))\im = -2 + 3\im. \end{aligned}\end{split}$$

Luvun $1 + 2\im$ käänteisluku $(1 + 2\im)^{-1}$ on $\frac{1}{5} - \frac{2}{5}\im$, sillä

$$(1 + 2\im)\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{5}\im\right) = \frac{1}{5} - \left(-\frac{4}{5}\right) + \left(-\frac{2}{5} + \frac{2}{5}\right)\im = 1 + 0\im = 1.$$

Täten osamäärä

$$\frac{3 - \im}{1 + 2\im} = (3 - \im)\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{5}\im\right) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} + \left(-\frac{6}{5} - \frac{1}{5}\right)\im = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}\im.$$

Huomautus 1.1.9

Kompleksiluvun merkinnän $x + \im y$ rinnalla käytetään saumattomasti myös merkintää $x + y\im$. Molemmat tarkoittavat samaa asiaa, joskin näistä jälkimmäinen on tyypillisempi silloin, kun käsitellään konkreettisia lukuarvoja $x$ ja $y$.

Reaalilukujen itseisarvon määritelmää on syytä laajentaa kompleksilukuja varten. Intuitiona käytetään edelleen sitä, että luvun itseisarvo kertoo sen etäisyyden origosta. Karteesisen tason pisteiden $(0, 0)$ ja $(x, y)$ etäisyys voidaan tuttuun tapaan päätellä Pythagoraan lauseen avulla. Lisäksi on hyödyllistä käsitellä kompleksiluvun “peilikuvaa $x$-akselin suhteen”.

Määritelmä 1.1.10

Olkoon kompleksiluku $z = x + \im y$. Tällöin luvun $z$ itseisarvo, eli moduli on reaaliluku

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

ja luvun $z$ liittoluku, eli kompleksikonjugaatti on kompleksiluku

$$\overline{z} = x - \im y.$$

Kuva 1.1.1. Kompleksiluvun itseisarvo on sen etäisyys origosta ja liittoluku sen peilikuva reaaliakselin suhteen.

Kompleksilukuja voidaan todellakin havainnollistaa karteesisessa tasossa kuten kuvassa 1.1.1 pitämällä reaaliosaa $x$-koordinaattina ja imaginaariosaa $y$-koordinaattina. Havainnollistuksessa käytetyn kompleksitason vaaka- ja pystyakseleita kutsutaan reaali- ja imaginaariakseleiksi. Näin saadaan myös itseisarvolle ja liittoluvulle geometrinen tulkinta. Kuvissa esiintyvän kulman $\phi$ tulkintaan palataan myöhemmin.

Huomautus 1.1.11

Vaikka kompleksilukujen juuria ei vielä olekaan määritelty, on syytä muistuttaa että niiden reaalisten vastineiden kaavat $\sqrt{a^2}=|a|$ ja $a^2=|a|^2$ eivät ole yleisesti voimassa kompleksiluvuille. Esimerkiksi

$$\sqrt{\im^2} = \sqrt{-1} \not= 1 = |\im|$$

ja

$$(1 + \im)^2 = 1 + 2\im + \im^2 = 2\im \neq 2 = \sqrt{1^2+1^2}^2 = |1+\im|^2.$$

Seuraavien hyödyllisten aputulosten todistaminen jätetään pääosin harjoitustehtäviksi. Todistukset on helpointa muotoilla merkitsemällä kompleksiluvut reaali- ja imaginaariosien avulla, ja sen jälkeen noudattamalla laskutoimitusten määritelmiä.

Lemma 1.1.12

Olkoot $z_1$, $z_2$ ja $z$ kompleksilukuja. Tällöin

1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z}_1+\overline{z}_2$,
2. $\overline{z_1 z_2}=\overline{z}_1 \overline{z}_2$,
3. $\overline{\overline{z}}=z$,
4. $z\overline{z}=|z|^2$,
5. $\displaystyle z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$, jos $z\neq 0$.
6. $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$,
7. $|\overline{z}|=|z|$,
8. $z + \overline{z} = 2\real(z) \leq 2|z|$,
9. $z - \overline{z} = 2\im\imag(z)$,
10. $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 \pm z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (kolmioepäyhtälö).

Todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi kohdat 2, 8 ja 10. Oletetaan, että $z = x + \im y$ reaaliluvuille $x$ ja $y$ ja että $z_k = x_k + \im y_k$ reaaliluvuille $z_k$ ja $y_k$, kun $k \in \{1, 2\}$. Tällöin

$$\begin{split}\begin{aligned} \overline{z_1z_2} &= \overline{(x_1x_2 - y_1y_2) + \im(x_1y_2 + x_2y_1)} = (x_1x_2 - y_1y_2) - \im(x_1y_2 + x_2y_1) \\ &= (x_1x_2 - y_1y_2) + \im(-x_1y_2 - x_2y_1) = (x_1x_2 - (-y_1)(-y_2)) + \im(x_1(-y_2) + x_2(-y_1)) \\ &= (x_1 - \im y_1)(x_2 - \im y_2) = (\overline{x_1 + \im y_1})(\overline{x_2 + \im y_2}) = \overline{z}_1\overline{z}_2. \end{aligned}\end{split}$$

Näin kohta 2 on todistettu. Kohtaa 8 varten todetaan ensin, että

$$z + \overline{z} = x + \im y + (\overline{x + \im y}) = x + \im y + x - \im y = 2x = 2\real(z).$$

Epäyhtälön todistamista varten muistetaan, että $x \leq |x| = \sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2 + y^2}$, kun $x$ ja $y$ ovat mielivaltaisia reaalilukuja, joten

$$\real(z) = x \leq \sqrt{x^2 + y^2} = |z|.$$

Mainittu epäyhtälö seuraa tästä. Kolmioepäyhtälön todistamista varten todetaan, että kohtien 4, 1, 3, 8, 6 ja 7 perusteella

$$\begin{split}\begin{aligned} |z_1 + z_2|^2 &= (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) = (z_1 + z_2)(\overline{z}_1 + \overline{z}_2) = z_1\overline{z}_1 + z_1\overline{z}_2 + z_2\overline{z}_1 + z_2\overline{z}_2 \\ &= |z_1|^2 + (z_1\overline{z}_2 + \overline{z_1\overline{z}_2}) + |z_2|^2 = |z_1|^2 + 2\real(z_1\overline{z}_2) + |z_2|^2 \\ &\leq |z_1|^2 + 2|z_1\overline{z}_2| + |z_2|^2 = |z_1|^2 + 2|z_1||\overline{z}_2| + |z_2|^2 = |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \\ &= (|z_1| + |z_2|)^2. \end{aligned}\end{split}$$

Tässä sekä $|z_1 + z_2|$ että $|z_1| + |z_2|$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, jolloin myös

$$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.$$

Loput osat väitteestä seuraavat tästä (harjoitustehtävä).

Kompleksiluvut toteuttavat muodoltaan saman kolmioepäyhtälön kuin reaaliluvut ja avaruuden $\R^n$ vektoritkin. Ainoa ero näiden välillä on itseisarvon paikalla käytettävän operaation määritelmä (reaalilukujen itseisarvo, vektorin normi). Geometrisesti kolmioepäyhtälö ilmaisee sen, että yksikään kompleksitason pisteiden muodostaman kolmion sivuista ei ole kahden muun sivun summaa suurempi (kuva 1.1.2). Tästä seuraa myös, että kompleksitason pisteiden välinen lyhyin reitti on niiden välinen jana.

Kuva 1.1.2. Kolmion jokainen sivu on lyhyempi kuin kahden muun sivun pituuksien summa.

Edellisen lemman avulla kompleksilukujen $z_1$ ja $z_2$ jakolaskulle saadaan myös miellyttävä laskukaava

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \overline{z}_2}{z_2\overline{z}_2}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2}.$$

Laventamalla nimittäjän liittoluvulla saadaan reaalinen nimittäjä, joka voidaan ositella osamäärän reaali- ja imaginaariosien määrittämiseksi.

Esimerkki 1.1.13

Osamäärä

$$\frac{3 - \im}{1 + 2\im} = \frac{(3 - \im)(1 - 2\im)}{(1 + 2\im)(1 - 2\im)} = \frac{3 - 2 + (-6 - 1)\im}{1^2 + 5^2} = \frac{1 - 7\im}{5} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}\im,$$

kuten esimerkissä 1.1.8. Vastaavasti käänteisluku

$$(1 + 2\im)^{-1} = \frac{1}{1 + 2\im} = \frac{1 - 2\im}{(1 + 2\im)(1 - 2\im)} = \frac{1 - 2\im}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}\im.$$

Kompleksilukuja käsittelevät yhtälöt kannattaa usein palauttaa yhtäsuuruuden määritelmän avulla reaali- ja imaginaariosien yhtäsuuruuteen.

Esimerkki 1.1.14

Etsi kaikki kompleksiluvut, jotka toteuttavat yhtälön

$$|z|-z=1+2\im.$$

Ratkaisu

Jos $z = x + \im y$, niin

$$|x + \im y| - x - \im y = 1 + 2\im, \qquad\text{eli}\qquad \left(\sqrt{x^2 + y^2} - x\right) + \im (-y) = 1 + 2\im.$$

Koska reaaliluvut ovat samat jos ja vain jos niiden reaali- ja imaginääriosat ovat samat, niin

$$\begin{split}\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} - x = 1 \\ -y = 2. \end{cases}\end{split}$$

Siis $y = -2$, ja sijoittamalla tämä ylempään yhtälöön nähdään, että

$$\sqrt{x^2 + 4} = x + 1.$$

Neliöidään ja sievennetään, jolloin saadaan yhtälö $4 = 2x + 1$, eli $x = \frac{3}{2}$. Alkuperäisen yhtälön ainoa ratkaisu on siis $z = \frac{3}{2} - 2\im$.

Palautusta lähetetään...