\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Reaalitermisten sarjojen kertaus¶

Tässä liitteessä kerrataan reaalitermisten sarjojen määritelmä ja perusominaisuuksia. Lauseiden todistukset jätetään harjoitustehtäviksi.

Määritelmä 8.2.1

Reaalinen (päättymätön) lukujono $(a_n)_{n = 0}^{\infty}$ on funktio $\N \to \R$, jossa $n \mapsto a_n$. Sitä merkitään myös päättymättömänä listana

\[(a_n)_{n = 0}^{\infty} = (a_0, a_1, a_2, \ldots).\]

Oletetaan, että $L \in \R$. Lukujono $(a_n)_{n = 0}^{\infty}$ suppenee kohti lukua $L$, jos jokaista $\epsilon > 0$ kohti löytyy sellainen luonnollinen luku $N$, että

\[\text{jos}\qquad n \geq N, \qquad\text{niin}\qquad |a_n - L| < \epsilon.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{n \to \infty}a_n = L \qquad\text{tai}\qquad a_n \to L, \text{ kun } n \to \infty.\]

Lukujono $(a_n)_{n = 0}^{\infty}$ suppenee, jos edellä kuvattu $L$ on olemassa. Muussa tapauksessa se hajaantuu.

Määritelmä 8.2.2

Olkoon $(a_k)_{k = 0}^{\infty}$ reaalinen lukujono. Muodollista summaa

\[\sum_{k = 0}^{\infty}a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots\]

kutsutaan (reaalitermiseksi) sarjaksi. Tässä $a_n$ on sarjan $n$:s termi ja $n$ ensimmäisen termin summa

\[S_n = \sum_{k = 0}^{n}a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

sarjan $n$:s osasumma. Sarja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ suppenee, jos sen osasummien jono

\[(S_n)_{n = 0}^{\infty} = (S_0, S_1, S_2, \ldots)\]

suppenee, ja tällöin raja-arvoa $S = \lim\limits_{n \to \infty}S_n$ kutsutaan sarjan summaksi. Muussa tapauksessa sarja hajaantuu.

Lause 8.2.3

Olkoot $\alpha$ ja $\beta$ reaalilukuja. Jos sarjat $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ ja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}b_k$ suppenevat summinaan $S_1$ ja $S_2$, niin myös sarja

\[\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(\alpha a_k + \beta b_k)\]

suppenee summanaan $\alpha S_1 + \beta S_2$.

Lukujonon tai sarjan indeksointi voidaan aloittaa myös nollaa suuremmasta luonnollisesta luvusta, ja ne määritellään vastaavasti kuin edellä. Seuraava lause ilmaisee erityisesti sen, että mikään äärellinen määrä sarjan alkupään termejä ei vaikuta sen suppenemiseen.

Lause 8.2.4

Olkoon $(a_k)_{k = 0}^{\infty}$ reaalinen lukujono. Sarja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ suppenee, jos ja vain jos sarja $\sum\limits_{k = n}^{\infty}a_k$ suppenee kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$.

Tiettyjen reaalisten sarjojen suppenemisominaisuudet tunnetaan erityisen tarkasti. Muistutellaan mieleen tutut $p$-sarja ja geometrinen sarja.

Lause 8.2.5 ($p$-sarja)

Olkoon $p$ reaaliluku. Sarja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}k^{-p}$ suppenee, jos ja vain jos $p > 1$.

Edellisille $p$-sarjoille annetaan erityisnimityksiä parametrin $p$ mukaan.

Jos $p = 1$, sarjaa $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}k^{-p}$ kutsutaan harmoniseksi sarjaksi.
Jos $p < 1$, sarjaa $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}k^{-p}$ kutsutaan aliharmoniseksi sarjaksi.
Jos $p > 1$, sarjaa $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}k^{-p}$ kutsutaan yliharmoniseksi sarjaksi.

Tiivistetysti siis yliharmoniset sarjat suppenevat, sekä harmoninen sarja ja aliharmoniset sarjat hajaantuvat.

Lause 8.2.6 (Geometrinen sarja)

Oletetaan, että $a, r \in \R$ ja että $a \not= 0$. Sarja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}ar^k$ suppenee, jos ja vain jos $|r| < 1$. Lisäksi sarjan summa

\[S = \frac{a}{1 - r}.\]

Sarjan summalle löytyy vain harvoin suoraa raja-arvon määritystä yksinkertaisempi laskukaava. Tämä ei kuitenkaan haittaa, sillä usein sovelluksissa ollaan kiinnostuneita vain sarjan suppenevuudesta. Tämän tutkimiseen on olemassa useita erilaisia testejä, joita kerrataan seuraavaksi. Kaikki testit eivät sovellu kaikkien sarjojen tutkimiseen.

Lause 8.2.7 (Hajaantumistesti)

Jos reaalinen lukujono $(a_k)_{k = 0}^{\infty}$ hajaantuu tai $\lim\limits_{k \to \infty}a_k \not= 0$, niin sarja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ hajaantuu.

Lause 8.2.8 (Vertailuperiaate)

Olkoot $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ ja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}b_k$ sarjoja, sekä oletetaan että $0 \leq a_k \leq b_k$ aina, kun $k \geq N$ jollekin luonnolliselle luvulle $N$.

Jos $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}b_k$ suppenee, niin myös $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ suppenee (majoranttiperiaate).
Jos $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ hajaantuu, niin myös $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}b_k$ hajaantuu (minoranttiperiaate).

Esimerkki 8.2.9

Sarja $\sum\limits_{k = 2}^{\infty} \dfrac{k-5}{k^3-k}$ suppenee majoranttiperiaatteen nojalla, sillä

$\dfrac{k-5}{k^3-k} \geq 0$, kun $k \geq 5$,
$\dfrac{k-5}{k^3-k} \leq \dfrac{k}{\frac{1}{2}k^3}=\dfrac{2}{k^2}$, kun $k \geq 5$ ($k-5<k$ ja $k^3-k\geq k^3-\frac{1}{2}k^3=\frac{1}{2}k^3$).
$\sum\limits_{k=2}^\infty \dfrac{2}{k^2}=2\sum\limits_{k=5}^\infty\dfrac{1}{k^2}$ suppenee yliharmonisena sarjana.

Jos reaalisen sarjan $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ jokainen termi $a_k \geq 0$, niin sarjaa sanotaan positiivitermiseksi.

Lause 8.2.10 (Positiivitermisten sarjojen testejä)

Olkoon $\sum\limits_{k=0}^\infty a_k$ positiiviterminen sarja.

Integraalitesti: Jos löydetään $N \in \N$ ja vähenevä funktio $f : [N, \infty) \to \R$, joille $f(x)\geq 0$ kaikille $x$, ja $f(k)=a_k$ aina kun $k \geq N$, niin sarja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$ suppenee, jos ja vain jos integraali $\int_{N}^{\infty} f(x)\,\rd x$ suppenee.
Suhdetesti: Jos $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=L$, niin sarja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$

suppenee, jos $L < 1$,

hajaantuu, jos $L > 1$,

voi supeta tai hajaantua, jos $L = 1$.

Juuritesti: Jos $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=L$, niin sarja $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a_k$

suppenee, jos $L < 1$,

hajaantuu, jos $L > 1$,

voi supeta tai hajaantua, jos $L = 1$.

Esimerkki 8.2.11

Harmoninen sarja $\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k}$ hajaantuu integraalitestin nojalla, sillä

$f(x)=\dfrac{1}{x} \geq 0$, kun $x\geq 1$, ja $f(k)=\dfrac{1}{k}$,
$f(x)=\frac{1}{x} > \frac{1}{y} = f(y)$, kun $1 \leq x < y$.
$\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,\rd x = \lim\limits_{a \to \infty}\int_{1}^{a}\dfrac{1}{x}\,\rd x = \lim\limits_{a \to \infty} \ln(a)-\ln(1)=\infty$.

Esimerkki 8.2.12

Sarjan $\sum\limits_{k=2}^{\infty} \dfrac{k-5}{k^3+k}$ suppenemista voidaan tutkia vertailuperiaatteen lisäksi suhdetestillä, koska sen termit ovat positiivisia kun $k \geq 5$. Tämä ei kuitenkaan johda mihinkään, sillä

\[\frac{\frac{(k+1)-5}{(k+1)^3+(k+1)}}{\frac{k-5}{k^3+k}}=\underbrace{\frac{k-4}{k-5}}_{\to 1}\underbrace{\left(\frac{k}{k+1}\right)^3}_{\to 1}\underbrace{\frac{1+\frac{1}{k^2}}{1+\frac{1}{(k+1)^2}}}_{\to 1}\to 1,\]

kun $n\to \infty$. Tämän sarjan suppenevuutta ei siis voi osoittaa suhdetestillä.