$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

Potenssisarjat¶

Kuten reaalianalyysissa, myös kompleksitermisten sarjojen tutkimisen luonteva jatkumo on käsitellä sarjojen avulla määriteltäviä funktioita. Näistä yksinkertaisimpia ovat potenssisarjat.

Määritelmä 5.2.1

Olkoon $$z_0$$ kompleksiluku ja $$(a_n)_{n = 0}^{\infty}$$ kompleksinen lukujono. Muotoa

$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+a_3(z-z_0)^3+\cdots,$

olevaa sarjaa, missä tuntematon $$z \in \C$$, kutsutaan potenssisarjaksi. Lukua $$z_0$$ kutsutaan myös potenssisarjan kehityskeskukseksi.

Jatkossa käsitellään usein vain standardimuotoista potenssisarjaa

$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,$

sillä yleinen potenssisarja

$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n$

lineaarisella muuttujanvaihdolla $$w=z-z_0$$. Tämä säilyttää jatkossa esitettävät tulokset. Lisäksi mukavuussyistä sovitaan, että $$0^0 = 1$$ pisteessä $$z_0$$, jotta

$\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z_0 - z_0)^n = a_0 \cdot 0^0 + a_1 \cdot 0^1 + a_2 \cdot 0^2 + \cdots = a_0,$

eikä määrittelemätön.

Esimerkki 5.2.2

Osoitetaan, että sarja $$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$$ suppenee jokaisessa kompleksitason pisteessä $$z$$.

Jos $$z$$ on kiinteä kompleksiluku, niin $$|z|$$ on jokin kiinteä ei-negatiivinen reaaliluku. Sarja

$\sum_{n = 0}^{\infty}\left|\frac{z^n}{n!}\right| = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{|z|^n}{n!}$

suppenee suhdetestin nojalla, sillä

$\left|\frac{\frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^{n}}{n!}}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to 0, \qquad\text{kun } n\to\infty.$

Täten $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$$ suppenee itseisesti, eli suppenee jokaisessa kompleksitason pisteessä.

Seuraava lemma mahdollistaa suppenemissäteen käsitteen määrittelemisen kompleksitermisille potenssisarjoille samaan tapaan kuin reaalisessakin tapauksessa.

Lemma 5.2.3 (Abelin lemma)

Jos $$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n$$ suppenee pisteessä $$z_1\neq 0$$, niin se suppenee itseisesti, kun $$|z|<|z_1|$$.

Todistus

Oletetaan, että $$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_1^n$$ suppenee. Tällöin lauseen 5.1.13 nojalla $$a_n z_1^n\to 0$$, kun $$n\to\infty$$. Suppeneva jono on rajoitettu, joten on olemassa sellainen $$M>0$$, että

$|a_n z_1^n|\leq M.$

Jos nyt $$z\in\C$$ ja $$|z|<|z_1|$$, niin $$r=|z|/|z_1|<1$$, ja täten

$|a_n z^n|=|a_n z_1^n|\left|\frac{z^n}{z_1^n}\right|=|a_n z_1^n|r^n\leq Mr^n.$

Geometrinen sarja $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}Mr^n$$ suppenee, sillä $$|r|<1$$. Näin edelleen majoranttiperiaatteen nojalla sarja $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_n z^n|$$ suppenee. Siis sarja $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n z^n$$ suppenee itseisesti.

Jos potenssisarja $$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz^n$$ kerran suppenee erästä suppenemispistettä lähempänä origoa, niin sen on välttämättä hajaannuttava erästä hajaantumispistettä kauempana origosta. Jos nimittäin $$|z_2| > |z_1|$$, sekä $$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_2^n$$ suppenee ja $$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_1^n$$ hajaantuu, syntyy ristiriita Abelin lemman kanssa.

Seuraus 5.2.4

Jos $$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n$$ hajaantuu pisteessä $$z_2$$, niin se hajaantuu, kun $$|z|>|z_2|$$.

Edelliset tulokset ovat suoraan muuttujanvaihdon $$w = z - z_0$$ kautta voimassa myös yleisille potenssisarjoille. Tällöin sarja suppenee erästä suppenemispistettä lähempänä keskusta $$z_0$$, eli jos potenssisarja $$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$$ suppenee pisteessä $$z_1 \not= z_0$$, se suppenee itseisesti aina, kun $$|z - z_0| < |z_1 - z_0|$$. Hajaantumistulos muotoillaan vastaavasti.

Nyt siis joukon

$\left\{z \in \C \,\middle|\, \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n \text{ suppenee}\right\}$

on oltava $$z_0$$-keskinen kiekko. Sen pisteisiin liittyvien pisteestä $$z_0$$ mitattujen etäisyyksien joukko

$\left\{|z - z_0| \,\middle|\, z \in \C \land \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n \text{ suppenee}\right\}$

on (ei-negatiivisten) reaalilukujen osajoukko, ja täten se on rajoittamaton tai sillä on oltava supremum.

Määritelmä 5.2.5

Potenssisarjan $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n$$ suppenemissäde

$R = \sup\left\{|z - z_0| \,\middle|\, \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \text{ suppenee}\right\},$

jos se on olemassa, ja muuten $$R = \infty$$. Suppenemissäde on siis suurin mahdollinen säde, jonka määräämän $$z_0$$-keskisen kiekon jokaisessa sisäpisteessä potenssisarja suppenee.

Suppenemissäteen määrittäminen tapahtuu käytännössä helpoiten suhde- tai juuritestin avulla. Ideana on tutkia jompaan kumpaan testiin liittyvän suhde- tai juurilausekkeen raja-arvoa indeksin lähestyessä ääretöntä, ja asettaa tämä raja-arvo pienemmäksi kuin $$1$$. Syntyvän epäyhtälön avulla voidaan päätellä suppenemissäteen arvo. Seuraavat esimerkit havainnollistavat tätä periaatetta.

Esimerkki 5.2.6

Sarjan $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$$ suppenemissäde on $$R=\infty$$, sillä esimerkissä 5.2.2 sarjan osoitettiin suppenevan kaikkialla.

Potenssisarjan suppenevuutta ja hajaantumista voidaan käsitellä yleisesti vain keskipisteen $$z_0$$ ja suppenemissäteen $$R$$ määräämässä avoimessa kiekossa ja sen ulkopuolella. Sarjan suppenevuus tähän liittyvällä reunakäyrällä $$|z - z_0| = R$$ on aina tarkasteltava erikseen (vertaa reaalianalyysin suppenemisvälin päätepisteisiin). Joissain tapauksissa myös reunakäyrä on paloiteltava useampaan käsiteltävään tapaukseen.

Esimerkki 5.2.7

1. Potenssisarja $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(z-1)^n$$ suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}}{(z - 1)^n}\right| = |z - 1| < 1$

ja hajaantuu, kun $$|z - 1| > 1$$. Jos $$|z - 1| = 1$$, niin

$|(z - 1)^n| = |z - 1|^n = 1 \geq 0$

kaikille luonnollisille luvuille $$n$$. Täten jono $$((z - 1)^n)_{n = 0}^{\infty}$$ ei suppene kohti nollaa, joten lauseen 5.1.13 nojalla sarjakaan ei suppene. Tämä potenssisarja ei siis suppene missään suppenemisalueensa reunakäyrällä.

2. Potenssisarja $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{n}$$ suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}/(n + 1)}{(z - 1)^n/n}\right| = |z - 1|\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n + 1} = |z - 1| < 1$

ja hajaantuu, kun $$|z - 1| > 1$$. Reunakäyrän $$|z - 1| = 1$$ pisteessä $$z = 2$$ sarjasta tulee harmoninen, ja siten se hajaantuu. Muualla reunakäyrällä potenssisarja suppenee (vaativa harjoitustehtävä).

3. Potenssisarja $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{n^2}$$ suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}/(n + 1)^2}{(z - 1)^n/n^2}\right| = |z - 1|\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n + 1)^2} = |z - 1| < 1$

ja hajaantuu, kun $$|z - 1| > 1$$. Reunakäyrällä $$|z - 1| = 1$$ toteutuu

$\left|\frac{(z - 1)^n}{n^2}\right| = \frac{|z - 1|^n}{n^2} = \frac{1}{n^2},$

joten sarjasta $$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{(z - 1)^n}{n^2}\right|$$ tulee reunakäyrällä suppeneva yliharmoninen sarja. Täten potenssisarja suppenee koko reunakäyrällä.

Esimerkki 5.2.8

Tutkitaan sarjan

\begin{split}\begin{aligned} \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{n(z+\im)^{3n}}{2^n} &= \frac{(z + \im)^6}{2} + \frac{3(z + \im)^9}{8} + \cdots \\ &= \frac{(z + \im)^6}{2} + 0 \cdot (z + \im)^7 + 0 \cdot (z + \im)^8 + \frac{3(z + \im)^9}{8} + 0 \cdot (z + \im)^{10} + \cdots \end{aligned}\end{split}

suppenemissädettä. Nyt

$\left|\frac{(n + 1)(z + \im)^{3(n + 1)}/2^{n + 1}}{n(z + \im)^{3n}/2^n}\right| = \frac{n + 1}{2n}|z + \im|^3 \to \frac{1}{2}|z + \im|^3,$

kun $$n \to \infty$$, joten suhdetestin nojalla sarja suppenee itseisesti silloin, kun $$\frac{1}{2}|z + \im|^3 < 1$$, eli kun $$|z + \im| < \sqrt[3]{2}$$. Vastaavasti sarja hajaantuu, kun $$\frac{1}{2}|z + \im|^3 > 1$$, eli kun $$|z + \im| > \sqrt[3]{2}$$. Täten sarjan suppenemissäde on $$R = \sqrt[3]{2}$$.

Edellä potenssisarjoja käsiteltiin ikään kuin tuntemattomasta kompleksiluvusta $$z$$ riippuvina sarjafunktioina. Tämä ajatus voitaisiin pukea muodollisempaan asuun määrittelemällä funktiojonon ja sen tasaisen suppenemisen käsitteet. Yksinkertaisuuden vuoksi tämä lähestymistapa jätetään edistyneemmälle kurssille. Toinen teoreettisesti mielenkiintoinen tulos (Cauchy-Hadamardin lause), joka sivuutetaan tässä, käsittelee edistyneempää suppenemissäteen laskukaavaa. Näiden yhteisenä sovelluksena voidaan todistaa täsmällisesti, että potenssisarja määrittelee suppenemisalueessaan analyyttisen funktion.

Lause 5.2.9

Olkoon $$R > 0$$ potenssisarjan $$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$ suppenemissäde. Ehdolla $$S(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n z^n$$ kiekossa $$|z| < R$$ määritelty funktio on analyyttinen, ja sen derivaatta ja integraali

$S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1} \qquad\text{ja}\qquad \int_C S(z)\,\rd z = \sum_{n=0}^{\infty}\int_Ca_nz^n\,\rd z,$

kun $$|z| < R$$ ja paloittain sileä tie $$C$$ sisältyy tähän alueeseen. Lisäksi molempien potenssisarjojen suppenemissäde on $$R$$.

Kompleksiset potenssisarjat (kuten reaalisetkin) voidaan siis sekä derivoida että integroida termeittäin.

Esimerkki 5.2.10

Osoitetaan, että sarjan $$S(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$ ja sen derivaatan $$S'(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1}$$ suppenemissäteet ovat samat siinä erityistapauksessa, kun raja-arvo

$R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

on olemassa. Osoitetaan ensin, että $$R$$ on sarjan $$S(z)$$ suppenemissäde. Jos $$R = 0$$, niin suhdetestin raja-arvo

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}z^{n + 1}}{a_nz^n}\right| = |z|\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \infty$

aina, kun $$|z| > 0$$, joten potenssisarja $$S(z)$$ suppenee vain origossa. Niinpä sen suppenemissäde on $$0 = R$$. Jos $$R > 0$$ ja $$|z| < R$$, niin suhdetestin raja-arvo

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}z^{n + 1}}{a_nz^n}\right| = \frac{|z|}{R} < \frac{R}{R} = 1,$

eli $$S(z)$$ suppenee kun $$|z| < R$$. Vastaavasti osoitetaan, että $$S(z)$$ hajaantuu, kun $$|z| > R$$, joten $$R$$ on suppenemissäde.

Sarja $$S'(z)$$ suppenee nyt suhdetestin nojalla silloin, kun

$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n + 1)a_{n + 1}z^n}{na_nz^{n - 1}}\right| = |z|\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n + 1)a_{n + 1}}{na_n}\right| < 1,$

eli kun $$|z| = 0$$ jos $$R = 0$$, ja kun $$|z| < R$$ jos $$R > 0$$. Vastaavasti $$S'(z)$$ hajaantuu kun $$|z| > 0$$ jos $$R = 0$$, ja kun $$|z| > R$$ jos $$R > 0$$. Niinpä sarjan $$S'(z)$$ suppenemissäde on myös $$R$$.

Esimerkki 5.2.11

Määritellään funktio $$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$$. Esimerkissä 5.2.2 todettiin, että tämä sarja suppenee kaikkialla, joten funktion $$f$$ määrittelyjoukko on $$\C$$. Derivoidaan $$f(z)$$ derivoimalla sen määrittelevä sarja termeittäin:

$f'(z)=\frac{\rd}{\rd z}\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=\frac{\rd}{\rd z} 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\rd}{\rd z}\frac{z^n}{n!}=0+\sum_{n=1}^\infty \frac{n z^{n-1}}{n!}= \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}.$

Indeksin vaihdolla $$m = n - 1$$ päätellään, että

$f'(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{m=0}^\infty \frac{z^{m}}{m!}=f(z).$
• Potenssisarja on potenssifunktioiden äärettömänä summana määritelty funktio.
• Jos potenssisarja suppenee pisteessä, se suppenee kaikissa kehityskeskusta lähempänä olevissa pisteissä.
• Potenssisarjan suppenemissäde on suurin etäisyys kehityskeskuksesta, jota lähempänä sarja suppenee.
• Suhde- ja juuritestit soveltuvat parhaiten potenssisarjan suppenemissäteen ja -alueen tutkimiseen.
• Potenssisarja voidaan derivoida ja integroida termeittäin. Integroinnin yhteydessä integroimistien on kuljettava suppenemissäteen määräämässä kiekossa.
Palautusta lähetetään...