$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Potenssisarjat

Kuten reaalianalyysissa, myös kompleksitermisten sarjojen tutkimisen luonteva jatkumo on käsitellä sarjojen avulla määriteltäviä funktioita. Näistä yksinkertaisimpia ovat potenssisarjat.

Määritelmä 5.2.1

Olkoon $z_0$ kompleksiluku ja $(a_n)_{n = 0}^{\infty}$ kompleksinen lukujono. Muotoa

$$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+a_3(z-z_0)^3+\cdots,$$

olevaa sarjaa, missä tuntematon $z \in \C$, kutsutaan potenssisarjaksi. Lukua $z_0$ kutsutaan myös potenssisarjan kehityskeskukseksi.

Jatkossa käsitellään usein vain standardimuotoista potenssisarjaa

$$\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,$$

sillä yleinen potenssisarja

$$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n$$

lineaarisella muuttujanvaihdolla $w=z-z_0$. Tämä säilyttää jatkossa esitettävät tulokset. Lisäksi mukavuussyistä sovitaan, että $0^0 = 1$ pisteessä $z_0$, jotta

$$\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z_0 - z_0)^n = a_0 \cdot 0^0 + a_1 \cdot 0^1 + a_2 \cdot 0^2 + \cdots = a_0,$$

eikä määrittelemätön.

Esimerkki 5.2.2

Osoitetaan, että sarja $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ suppenee jokaisessa kompleksitason pisteessä $z$.

Jos $z$ on kiinteä kompleksiluku, niin $|z|$ on jokin kiinteä ei-negatiivinen reaaliluku. Sarja

$$\sum_{n = 0}^{\infty}\left|\frac{z^n}{n!}\right| = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{|z|^n}{n!}$$

suppenee suhdetestin nojalla, sillä

$$\left|\frac{\frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^{n}}{n!}}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to 0, \qquad\text{kun } n\to\infty.$$

Täten $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ suppenee itseisesti, eli suppenee jokaisessa kompleksitason pisteessä.

Seuraava lemma mahdollistaa suppenemissäteen käsitteen määrittelemisen kompleksitermisille potenssisarjoille samaan tapaan kuin reaalisessakin tapauksessa.

Lemma 5.2.3 (Abelin lemma)

Jos $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n$ suppenee pisteessä $z_1\neq 0$, niin se suppenee itseisesti, kun $|z|<|z_1|$.

Todistus

Oletetaan, että $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_1^n$ suppenee. Tällöin lauseen 5.1.13 nojalla $a_n z_1^n\to 0$, kun $n\to\infty$. Suppeneva jono on rajoitettu, joten on olemassa sellainen $M>0$, että

$$|a_n z_1^n|\leq M.$$

Jos nyt $z\in\C$ ja $|z|<|z_1|$, niin $r=|z|/|z_1|<1$, ja täten

$$|a_n z^n|=|a_n z_1^n|\left|\frac{z^n}{z_1^n}\right|=|a_n z_1^n|r^n\leq Mr^n.$$

Geometrinen sarja $\sum\limits_{n=0}^{\infty}Mr^n$ suppenee, sillä $|r|<1$. Näin edelleen majoranttiperiaatteen nojalla sarja $\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_n z^n|$ suppenee. Siis sarja $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ suppenee itseisesti.

Jos potenssisarja $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz^n$ kerran suppenee erästä suppenemispistettä lähempänä origoa, niin sen on välttämättä hajaannuttava erästä hajaantumispistettä kauempana origosta. Jos nimittäin $|z_2| > |z_1|$, sekä $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_2^n$ suppenee ja $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_1^n$ hajaantuu, syntyy ristiriita Abelin lemman kanssa.

Seuraus 5.2.4

Jos $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n$ hajaantuu pisteessä $z_2$, niin se hajaantuu, kun $|z|>|z_2|$.

Edelliset tulokset ovat suoraan muuttujanvaihdon $w = z - z_0$ kautta voimassa myös yleisille potenssisarjoille. Tällöin sarja suppenee erästä suppenemispistettä lähempänä keskusta $z_0$, eli jos potenssisarja $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$ suppenee pisteessä $z_1 \not= z_0$, se suppenee itseisesti aina, kun $|z - z_0| < |z_1 - z_0|$. Hajaantumistulos muotoillaan vastaavasti.

Nyt siis joukon

$$\left\{z \in \C \,\middle|\, \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n \text{ suppenee}\right\}$$

on oltava $z_0$-keskinen kiekko. Sen pisteisiin liittyvien pisteestä $z_0$ mitattujen etäisyyksien joukko

$$\left\{|z - z_0| \,\middle|\, z \in \C \land \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n \text{ suppenee}\right\}$$

on (ei-negatiivisten) reaalilukujen osajoukko, ja täten se on rajoittamaton tai sillä on oltava supremum.

Määritelmä 5.2.5

Potenssisarjan $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n$ suppenemissäde

$$R = \sup\left\{|z - z_0| \,\middle|\, \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \text{ suppenee}\right\},$$

jos se on olemassa, ja muuten $R = \infty$. Suppenemissäde on siis suurin mahdollinen säde, jonka määräämän $z_0$-keskisen kiekon jokaisessa sisäpisteessä potenssisarja suppenee.

Suppenemissäteen määrittäminen tapahtuu käytännössä helpoiten suhde- tai juuritestin avulla. Ideana on tutkia jompaan kumpaan testiin liittyvän suhde- tai juurilausekkeen raja-arvoa indeksin lähestyessä ääretöntä, ja asettaa tämä raja-arvo pienemmäksi kuin $1$. Syntyvän epäyhtälön avulla voidaan päätellä suppenemissäteen arvo. Seuraavat esimerkit havainnollistavat tätä periaatetta.

Esimerkki 5.2.6

Sarjan $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ suppenemissäde on $R=\infty$, sillä esimerkissä 5.2.2 sarjan osoitettiin suppenevan kaikkialla.

Potenssisarjan suppenevuutta ja hajaantumista voidaan käsitellä yleisesti vain keskipisteen $z_0$ ja suppenemissäteen $R$ määräämässä avoimessa kiekossa ja sen ulkopuolella. Sarjan suppenevuus tähän liittyvällä reunakäyrällä $|z - z_0| = R$ on aina tarkasteltava erikseen (vertaa reaalianalyysin suppenemisvälin päätepisteisiin). Joissain tapauksissa myös reunakäyrä on paloiteltava useampaan käsiteltävään tapaukseen.

Esimerkki 5.2.7

1. Potenssisarja $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(z-1)^n$ suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

   $$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}}{(z - 1)^n}\right| = |z - 1| < 1$$

   ja hajaantuu, kun $|z - 1| > 1$. Jos $|z - 1| = 1$, niin

   $$|(z - 1)^n| = |z - 1|^n = 1 \geq 0$$

   kaikille luonnollisille luvuille $n$. Täten jono $((z - 1)^n)_{n = 0}^{\infty}$ ei suppene kohti nollaa, joten lauseen 5.1.13 nojalla sarjakaan ei suppene. Tämä potenssisarja ei siis suppene missään suppenemisalueensa reunakäyrällä.

2. Potenssisarja $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{n}$ suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

   $$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}/(n + 1)}{(z - 1)^n/n}\right| = |z - 1|\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n + 1} = |z - 1| < 1$$

   ja hajaantuu, kun $|z - 1| > 1$. Reunakäyrän $|z - 1| = 1$ pisteessä $z = 2$ sarjasta tulee harmoninen, ja siten se hajaantuu. Muualla reunakäyrällä potenssisarja suppenee (vaativa harjoitustehtävä).

3. Potenssisarja $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{n^2}$ suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

   $$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}/(n + 1)^2}{(z - 1)^n/n^2}\right| = |z - 1|\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n + 1)^2} = |z - 1| < 1$$

   ja hajaantuu, kun $|z - 1| > 1$. Reunakäyrällä $|z - 1| = 1$ toteutuu

   $$\left|\frac{(z - 1)^n}{n^2}\right| = \frac{|z - 1|^n}{n^2} = \frac{1}{n^2},$$

   joten sarjasta $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{(z - 1)^n}{n^2}\right|$ tulee reunakäyrällä suppeneva yliharmoninen sarja. Täten potenssisarja suppenee koko reunakäyrällä.

Esimerkki 5.2.8

Tutkitaan sarjan

$$\begin{split}\begin{aligned} \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{n(z+\im)^{3n}}{2^n} &= \frac{(z + \im)^6}{2} + \frac{3(z + \im)^9}{8} + \cdots \\ &= \frac{(z + \im)^6}{2} + 0 \cdot (z + \im)^7 + 0 \cdot (z + \im)^8 + \frac{3(z + \im)^9}{8} + 0 \cdot (z + \im)^{10} + \cdots \end{aligned}\end{split}$$

suppenemissädettä. Nyt

$$\left|\frac{(n + 1)(z + \im)^{3(n + 1)}/2^{n + 1}}{n(z + \im)^{3n}/2^n}\right| = \frac{n + 1}{2n}|z + \im|^3 \to \frac{1}{2}|z + \im|^3,$$

kun $n \to \infty$, joten suhdetestin nojalla sarja suppenee itseisesti silloin, kun $\frac{1}{2}|z + \im|^3 < 1$, eli kun $|z + \im| < \sqrt[3]{2}$. Vastaavasti sarja hajaantuu, kun $\frac{1}{2}|z + \im|^3 > 1$, eli kun $|z + \im| > \sqrt[3]{2}$. Täten sarjan suppenemissäde on $R = \sqrt[3]{2}$.

Edellä potenssisarjoja käsiteltiin ikään kuin tuntemattomasta kompleksiluvusta $z$ riippuvina sarjafunktioina. Tämä ajatus voitaisiin pukea muodollisempaan asuun määrittelemällä funktiojonon ja sen tasaisen suppenemisen käsitteet. Yksinkertaisuuden vuoksi tämä lähestymistapa jätetään edistyneemmälle kurssille. Toinen teoreettisesti mielenkiintoinen tulos (Cauchy-Hadamardin lause), joka sivuutetaan tässä, käsittelee edistyneempää suppenemissäteen laskukaavaa. Näiden yhteisenä sovelluksena voidaan todistaa täsmällisesti, että potenssisarja määrittelee suppenemisalueessaan analyyttisen funktion.

Lause 5.2.9

Olkoon $R > 0$ potenssisarjan $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ suppenemissäde. Ehdolla $S(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n z^n$ kiekossa $|z| < R$ määritelty funktio on analyyttinen, ja sen derivaatta ja integraali

$$S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1} \qquad\text{ja}\qquad \int_C S(z)\,\rd z = \sum_{n=0}^{\infty}\int_Ca_nz^n\,\rd z,$$

kun $|z| < R$ ja paloittain sileä tie $C$ sisältyy tähän alueeseen. Lisäksi molempien potenssisarjojen suppenemissäde on $R$.

Kompleksiset potenssisarjat (kuten reaalisetkin) voidaan siis sekä derivoida että integroida termeittäin.

Esimerkki 5.2.10

Osoitetaan, että sarjan $S(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ ja sen derivaatan $S'(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1}$ suppenemissäteet ovat samat siinä erityistapauksessa, kun raja-arvo

$$R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$

on olemassa. Osoitetaan ensin, että $R$ on sarjan $S(z)$ suppenemissäde. Jos $R = 0$, niin suhdetestin raja-arvo

$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}z^{n + 1}}{a_nz^n}\right| = |z|\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \infty$$

aina, kun $|z| > 0$, joten potenssisarja $S(z)$ suppenee vain origossa. Niinpä sen suppenemissäde on $0 = R$. Jos $R > 0$ ja $|z| < R$, niin suhdetestin raja-arvo

$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}z^{n + 1}}{a_nz^n}\right| = \frac{|z|}{R} < \frac{R}{R} = 1,$$

eli $S(z)$ suppenee kun $|z| < R$. Vastaavasti osoitetaan, että $S(z)$ hajaantuu, kun $|z| > R$, joten $R$ on suppenemissäde.

Sarja $S'(z)$ suppenee nyt suhdetestin nojalla silloin, kun

$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n + 1)a_{n + 1}z^n}{na_nz^{n - 1}}\right| = |z|\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n + 1)a_{n + 1}}{na_n}\right| < 1,$$

eli kun $|z| = 0$ jos $R = 0$, ja kun $|z| < R$ jos $R > 0$. Vastaavasti $S'(z)$ hajaantuu kun $|z| > 0$ jos $R = 0$, ja kun $|z| > R$ jos $R > 0$. Niinpä sarjan $S'(z)$ suppenemissäde on myös $R$.

Esimerkki 5.2.11

Määritellään funktio $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$. Esimerkissä 5.2.2 todettiin, että tämä sarja suppenee kaikkialla, joten funktion $f$ määrittelyjoukko on $\C$. Derivoidaan $f(z)$ derivoimalla sen määrittelevä sarja termeittäin:

$$f'(z)=\frac{\rd}{\rd z}\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=\frac{\rd}{\rd z} 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\rd}{\rd z}\frac{z^n}{n!}=0+\sum_{n=1}^\infty \frac{n z^{n-1}}{n!}= \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}.$$

Indeksin vaihdolla $m = n - 1$ päätellään, että

$$f'(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{m=0}^\infty \frac{z^{m}}{m!}=f(z).$$

Tiivistelmä

previous | next

• Potenssisarja on potenssifunktioiden äärettömänä summana määritelty funktio.
• Jos potenssisarja suppenee pisteessä, se suppenee kaikissa kehityskeskusta lähempänä olevissa pisteissä.
• Potenssisarjan suppenemissäde on suurin etäisyys kehityskeskuksesta, jota lähempänä sarja suppenee.
• Suhde- ja juuritestit soveltuvat parhaiten potenssisarjan suppenemissäteen ja -alueen tutkimiseen.
• Potenssisarja voidaan derivoida ja integroida termeittäin. Integroinnin yhteydessä integroimistien on kuljettava suppenemissäteen määräämässä kiekossa.

Palautusta lähetetään...