\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Potenssisarjat

Kuten reaalianalyysissa, myös kompleksitermisten sarjojen tutkimisen luonteva jatkumo on käsitellä sarjojen avulla määriteltäviä funktioita. Näistä yksinkertaisimpia ovat potenssisarjat.

Määritelmä 5.2.1

Olkoon \(z_0\) kompleksiluku ja \((a_n)_{n = 0}^{\infty}\) kompleksinen lukujono. Muotoa

\[\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+a_3(z-z_0)^3+\cdots,\]

olevaa sarjaa, missä tuntematon \(z \in \C\), kutsutaan potenssisarjaksi. Lukua \(z_0\) kutsutaan myös potenssisarjan kehityskeskukseksi.

Jatkossa käsitellään usein vain standardimuotoista potenssisarjaa

\[\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\]

sillä yleinen potenssisarja

\[\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n\]

lineaarisella muuttujanvaihdolla \(w=z-z_0\). Tämä säilyttää jatkossa esitettävät tulokset. Lisäksi mukavuussyistä sovitaan, että \(0^0 = 1\) pisteessä \(z_0\), jotta

\[\sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z_0 - z_0)^n = a_0 \cdot 0^0 + a_1 \cdot 0^1 + a_2 \cdot 0^2 + \cdots = a_0,\]

eikä määrittelemätön.

Esimerkki 5.2.2

Osoitetaan, että sarja \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\) suppenee jokaisessa kompleksitason pisteessä \(z\).

Jos \(z\) on kiinteä kompleksiluku, niin \(|z|\) on jokin kiinteä ei-negatiivinen reaaliluku. Sarja

\[\sum_{n = 0}^{\infty}\left|\frac{z^n}{n!}\right| = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{|z|^n}{n!}\]

suppenee suhdetestin nojalla, sillä

\[\left|\frac{\frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^{n}}{n!}}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to 0, \qquad\text{kun } n\to\infty.\]

Täten \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\) suppenee itseisesti, eli suppenee jokaisessa kompleksitason pisteessä.

Seuraava lemma mahdollistaa suppenemissäteen käsitteen määrittelemisen kompleksitermisille potenssisarjoille samaan tapaan kuin reaalisessakin tapauksessa.

Lemma 5.2.3 (Abelin lemma)

Jos \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n\) suppenee pisteessä \(z_1\neq 0\), niin se suppenee itseisesti, kun \(|z|<|z_1|\).

Todistus

Oletetaan, että \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_1^n\) suppenee. Tällöin lauseen 5.1.13 nojalla \(a_n z_1^n\to 0\), kun \(n\to\infty\). Suppeneva jono on rajoitettu, joten on olemassa sellainen \(M>0\), että

\[|a_n z_1^n|\leq M.\]

Jos nyt \(z\in\C\) ja \(|z|<|z_1|\), niin \(r=|z|/|z_1|<1\), ja täten

\[|a_n z^n|=|a_n z_1^n|\left|\frac{z^n}{z_1^n}\right|=|a_n z_1^n|r^n\leq Mr^n.\]

Geometrinen sarja \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}Mr^n\) suppenee, sillä \(|r|<1\). Näin edelleen majoranttiperiaatteen nojalla sarja \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_n z^n|\) suppenee. Siis sarja \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n z^n\) suppenee itseisesti.

Jos potenssisarja \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz^n\) kerran suppenee erästä suppenemispistettä lähempänä origoa, niin sen on välttämättä hajaannuttava erästä hajaantumispistettä kauempana origosta. Jos nimittäin \(|z_2| > |z_1|\), sekä \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_2^n\) suppenee ja \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nz_1^n\) hajaantuu, syntyy ristiriita Abelin lemman kanssa.

Seuraus 5.2.4

Jos \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n\) hajaantuu pisteessä \(z_2\), niin se hajaantuu, kun \(|z|>|z_2|\).

Edelliset tulokset ovat suoraan muuttujanvaihdon \(w = z - z_0\) kautta voimassa myös yleisille potenssisarjoille. Tällöin sarja suppenee erästä suppenemispistettä lähempänä keskusta \(z_0\), eli jos potenssisarja \(\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n\) suppenee pisteessä \(z_1 \not= z_0\), se suppenee itseisesti aina, kun \(|z - z_0| < |z_1 - z_0|\). Hajaantumistulos muotoillaan vastaavasti.

Nyt siis joukon

\[\left\{z \in \C \,\middle|\, \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n \text{ suppenee}\right\}\]

on oltava \(z_0\)-keskinen kiekko. Sen pisteisiin liittyvien pisteestä \(z_0\) mitattujen etäisyyksien joukko

\[\left\{|z - z_0| \,\middle|\, z \in \C \land \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n \text{ suppenee}\right\}\]

on (ei-negatiivisten) reaalilukujen osajoukko, ja täten se on rajoittamaton tai sillä on oltava supremum.

Määritelmä 5.2.5

Potenssisarjan \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n\) suppenemissäde

\[R = \sup\left\{|z - z_0| \,\middle|\, \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \text{ suppenee}\right\},\]

jos se on olemassa, ja muuten \(R = \infty\). Suppenemissäde on siis suurin mahdollinen säde, jonka määräämän \(z_0\)-keskisen kiekon jokaisessa sisäpisteessä potenssisarja suppenee.

Suppenemissäteen määrittäminen tapahtuu käytännössä helpoiten suhde- tai juuritestin avulla. Ideana on tutkia jompaan kumpaan testiin liittyvän suhde- tai juurilausekkeen raja-arvoa indeksin lähestyessä ääretöntä, ja asettaa tämä raja-arvo pienemmäksi kuin \(1\). Syntyvän epäyhtälön avulla voidaan päätellä suppenemissäteen arvo. Seuraavat esimerkit havainnollistavat tätä periaatetta.

Esimerkki 5.2.6

Sarjan \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\) suppenemissäde on \(R=\infty\), sillä esimerkissä 5.2.2 sarjan osoitettiin suppenevan kaikkialla.

Potenssisarjan suppenevuutta ja hajaantumista voidaan käsitellä yleisesti vain keskipisteen \(z_0\) ja suppenemissäteen \(R\) määräämässä avoimessa kiekossa ja sen ulkopuolella. Sarjan suppenevuus tähän liittyvällä reunakäyrällä \(|z - z_0| = R\) on aina tarkasteltava erikseen (vertaa reaalianalyysin suppenemisvälin päätepisteisiin). Joissain tapauksissa myös reunakäyrä on paloiteltava useampaan käsiteltävään tapaukseen.

Esimerkki 5.2.7

1. Potenssisarja \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(z-1)^n\) suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

   \[\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}}{(z - 1)^n}\right| = |z - 1| < 1\]

   ja hajaantuu, kun \(|z - 1| > 1\). Jos \(|z - 1| = 1\), niin

   \[|(z - 1)^n| = |z - 1|^n = 1 \geq 0\]

   kaikille luonnollisille luvuille \(n\). Täten jono \(((z - 1)^n)_{n = 0}^{\infty}\) ei suppene kohti nollaa, joten lauseen 5.1.13 nojalla sarjakaan ei suppene. Tämä potenssisarja ei siis suppene missään suppenemisalueensa reunakäyrällä.

2. Potenssisarja \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{n}\) suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

   \[\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}/(n + 1)}{(z - 1)^n/n}\right| = |z - 1|\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n + 1} = |z - 1| < 1\]

   ja hajaantuu, kun \(|z - 1| > 1\). Reunakäyrän \(|z - 1| = 1\) pisteessä \(z = 2\) sarjasta tulee harmoninen, ja siten se hajaantuu. Muualla reunakäyrällä potenssisarja suppenee (vaativa harjoitustehtävä).

3. Potenssisarja \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^n}{n^2}\) suppenee suhdetestin nojalla silloin, kun

   \[\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(z - 1)^{n + 1}/(n + 1)^2}{(z - 1)^n/n^2}\right| = |z - 1|\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n + 1)^2} = |z - 1| < 1\]

   ja hajaantuu, kun \(|z - 1| > 1\). Reunakäyrällä \(|z - 1| = 1\) toteutuu

   \[\left|\frac{(z - 1)^n}{n^2}\right| = \frac{|z - 1|^n}{n^2} = \frac{1}{n^2},\]

   joten sarjasta \(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{(z - 1)^n}{n^2}\right|\) tulee reunakäyrällä suppeneva yliharmoninen sarja. Täten potenssisarja suppenee koko reunakäyrällä.

Esimerkki 5.2.8

Tutkitaan sarjan

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{n(z+\im)^{3n}}{2^n} &= \frac{(z + \im)^6}{2} + \frac{3(z + \im)^9}{8} + \cdots \\ &= \frac{(z + \im)^6}{2} + 0 \cdot (z + \im)^7 + 0 \cdot (z + \im)^8 + \frac{3(z + \im)^9}{8} + 0 \cdot (z + \im)^{10} + \cdots \end{aligned}\end{split}\]

suppenemissädettä. Nyt

\[\left|\frac{(n + 1)(z + \im)^{3(n + 1)}/2^{n + 1}}{n(z + \im)^{3n}/2^n}\right| = \frac{n + 1}{2n}|z + \im|^3 \to \frac{1}{2}|z + \im|^3,\]

kun \(n \to \infty\), joten suhdetestin nojalla sarja suppenee itseisesti silloin, kun \(\frac{1}{2}|z + \im|^3 < 1\), eli kun \(|z + \im| < \sqrt[3]{2}\). Vastaavasti sarja hajaantuu, kun \(\frac{1}{2}|z + \im|^3 > 1\), eli kun \(|z + \im| > \sqrt[3]{2}\). Täten sarjan suppenemissäde on \(R = \sqrt[3]{2}\).

Edellä potenssisarjoja käsiteltiin ikään kuin tuntemattomasta kompleksiluvusta \(z\) riippuvina sarjafunktioina. Tämä ajatus voitaisiin pukea muodollisempaan asuun määrittelemällä funktiojonon ja sen tasaisen suppenemisen käsitteet. Yksinkertaisuuden vuoksi tämä lähestymistapa jätetään edistyneemmälle kurssille. Toinen teoreettisesti mielenkiintoinen tulos (Cauchy-Hadamardin lause), joka sivuutetaan tässä, käsittelee edistyneempää suppenemissäteen laskukaavaa. Näiden yhteisenä sovelluksena voidaan todistaa täsmällisesti, että potenssisarja määrittelee suppenemisalueessaan analyyttisen funktion.

Lause 5.2.9

Olkoon \(R > 0\) potenssisarjan \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n\) suppenemissäde. Ehdolla \(S(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n z^n\) kiekossa \(|z| < R\) määritelty funktio on analyyttinen, ja sen derivaatta ja integraali

\[S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1} \qquad\text{ja}\qquad \int_C S(z)\,\rd z = \sum_{n=0}^{\infty}\int_Ca_nz^n\,\rd z,\]

kun \(|z| < R\) ja paloittain sileä tie \(C\) sisältyy tähän alueeseen. Lisäksi molempien potenssisarjojen suppenemissäde on \(R\).

Kompleksiset potenssisarjat (kuten reaalisetkin) voidaan siis sekä derivoida että integroida termeittäin.

Esimerkki 5.2.10

Osoitetaan, että sarjan \(S(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n\) ja sen derivaatan \(S'(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1}\) suppenemissäteet ovat samat siinä erityistapauksessa, kun raja-arvo

\[R=\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\]

on olemassa. Osoitetaan ensin, että \(R\) on sarjan \(S(z)\) suppenemissäde. Jos \(R = 0\), niin suhdetestin raja-arvo

\[\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}z^{n + 1}}{a_nz^n}\right| = |z|\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \infty\]

aina, kun \(|z| > 0\), joten potenssisarja \(S(z)\) suppenee vain origossa. Niinpä sen suppenemissäde on \(0 = R\). Jos \(R > 0\) ja \(|z| < R\), niin suhdetestin raja-arvo

\[\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}z^{n + 1}}{a_nz^n}\right| = \frac{|z|}{R} < \frac{R}{R} = 1,\]

eli \(S(z)\) suppenee kun \(|z| < R\). Vastaavasti osoitetaan, että \(S(z)\) hajaantuu, kun \(|z| > R\), joten \(R\) on suppenemissäde.

Sarja \(S'(z)\) suppenee nyt suhdetestin nojalla silloin, kun

\[\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n + 1)a_{n + 1}z^n}{na_nz^{n - 1}}\right| = |z|\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n + 1)a_{n + 1}}{na_n}\right| < 1,\]

eli kun \(|z| = 0\) jos \(R = 0\), ja kun \(|z| < R\) jos \(R > 0\). Vastaavasti \(S'(z)\) hajaantuu kun \(|z| > 0\) jos \(R = 0\), ja kun \(|z| > R\) jos \(R > 0\). Niinpä sarjan \(S'(z)\) suppenemissäde on myös \(R\).

Esimerkki 5.2.11

Määritellään funktio \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\). Esimerkissä 5.2.2 todettiin, että tämä sarja suppenee kaikkialla, joten funktion \(f\) määrittelyjoukko on \(\C\). Derivoidaan \(f(z)\) derivoimalla sen määrittelevä sarja termeittäin:

\[f'(z)=\frac{\rd}{\rd z}\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=\frac{\rd}{\rd z} 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\rd}{\rd z}\frac{z^n}{n!}=0+\sum_{n=1}^\infty \frac{n z^{n-1}}{n!}= \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}.\]

Indeksin vaihdolla \(m = n - 1\) päätellään, että

\[f'(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{m=0}^\infty \frac{z^{m}}{m!}=f(z).\]

Tiivistelmä

previous | next

• Potenssisarja on potenssifunktioiden äärettömänä summana määritelty funktio.
• Jos potenssisarja suppenee pisteessä, se suppenee kaikissa kehityskeskusta lähempänä olevissa pisteissä.
• Potenssisarjan suppenemissäde on suurin etäisyys kehityskeskuksesta, jota lähempänä sarja suppenee.
• Suhde- ja juuritestit soveltuvat parhaiten potenssisarjan suppenemissäteen ja -alueen tutkimiseen.
• Potenssisarja voidaan derivoida ja integroida termeittäin. Integroinnin yhteydessä integroimistien on kuljettava suppenemissäteen määräämässä kiekossa.

Palautusta lähetetään...