\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Ongelmia ja ratkaisuja

Tässä luvussa käsitellään lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarisia yhtälöryhmiä esiintyy niin käytännön elämää koskevissa ongelmissa kuin vektoreita ja matriiseja tutkittaessa.

Pohdi 4.1.1

Kahvialan yrityksellä on kolme eri paahtimoa, joissa kussakin paahdetaan kolmenlaisia kahvipapuja. Oheisesssa taulukossa on kuvattu, kukin paahtimon kahvipavuntuotto yhden päivän aikana.

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccc} & \text{paahtimo 1} & \text{paahtimo 2} & \text{paahtimo 3} \\ \hline \text{vaalea paahto} & 1000 \text{ kg} & 1000 \text{ kg} & 2000 \text{ kg} \\ \text{keskipaahto} & 1000 \text{ kg} & 2000 \text{ kg} & 2000 \text{ kg} \\ \text{tumma paahto} & 2000 \text{ kg} & 1000 \text{ kg} & 0 \text{ kg} \\ \end{array}\end{split}\]

Johtaja miettii, pystyykö yritys tuottamaan täsmälleen \(80~000\) kg vaaleaa paahtoa, \(100~000\) kg keskipaahtoa ja \(40~000\) kg tummaa paahtoa ja kuinka monta päivää tähän menee. Millaiset yhtälöt johtajan pitää muodostaa, jotta hän voi ratkaista ongelman?

Edellinen pohdintatehtävä tuottaa yhtälöryhmän. Olkoon \(x_1\) paahtimon 1 vaatima päivien määrä, \(x_2\) paahtimon 2 vaatima päivien määrä ja \(x_3\) paahtimon 3 vaatima päivien määrä. Saadaan seuraavanlaiset yhtälöt:

\[\begin{split}\begin{aligned} 1000x_1+1000x_2+2000x_3&= 80~000 \\ 1000x_1+2000x_2+2000x_3&= 100~000 \\ 2000x_1+1000x_2+0x_3&= 40~000. \end{aligned}\end{split}\]

Jotta pystyttäisiin vastaamaa kysymykseen, pitäisi löytää luvut \(x_1\), \(x_2\) ja \(x_3\), jotka toteuttavat nämä kaikki kolme yhtälöä yhtä aikaa.

Yhtälöryhmiin on jo törmätty vektorien yhteydessä. Esimerkisssä 1.2.15 tutkittiin, onko vektori \(\bw=(-2,3,2,-1)\) vektoreiden

\[\bv_1=(0,-1,2,1), \quad \bv_2=(2,0,1,-1) \quad \text{ja} \quad \bv_3=(4,2,2,0)\]

lineaarikombinaatio. Tutkimuksessa päädyttiin yhtälöryhmään

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{rcr} 2x_2+4x_3 & = & -2 \\ -x_1\hphantom{{}+x_2}+2x_3 & = & 3 \\ 2x_1+x_2+2x_3 & = & 2 \\ x_1-x_2\hphantom{{}+2x_3} & = & -1. \end{array}\right.\end{split}\]

Yhtälöryhmän ratkaisusta riippui, onko vektori \(\bw\) annettujen vektoreiden lineaarikombinaatio. Esimerkissä 2.2.10 puolestaan tutkittiin, mitkä pisteet kuuluvat tasojen

\[T=\{\bx \in \R^3 \mid x+2y+3z-9=0\} \text{ ja } T=\{\bx \in \R^3 \mid 3x-2y+4z+5=0\}\]

leikkaukseen. Tällön päädyttiin lineaariseen yhtälöryhmään

\[\begin{split}\begin{cases} x+2y+3z-9=0 \\ 3x-2y+4z+5=0, \end{cases}\end{split}\]

jonka ratkaisujen joukko kertoo, mikä tasojen leikkaus on.

Tämäntyyppisiä tilanteita esiintyy lineaarialgebrassa jatkuvasti, ja kysymykset voivat olla hyvin monimuotoisia. Esimerkiksi lineaarikombinaation tapauksessa ei itse asiassa tarvita yhtälöryhmän varsinaista ratkaisua, vaan on ainoastaan osoitettava sen olemassaolo. Tasojen kohdalla puolestaan haluamme selvittää, minkälaisen joukon ratkaisut muodostavat. Joskus taas olennaista saattaa olla, onko mahdollisia ratkaisuja yksi vai useampia.

Palautusta lähetetään...