\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
Matriisit kuvauksina
Seuraavassa videossa näytetään, kuinka matriiseja voi ajatella kuvauksina. Tätä kautta saadaan myös havainnollistus matriisikertolaskulle.
Matriisia voidaan ajatella kuvauksena, joka kuvaa vektoreita toisiksi vektoreiksi kertolaskun avulla. Tutkitaan tätä esimerkkien avulla.
Esimerkki 3.3.1
Matriisi
\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc}
2 & 0\\
0 & 1
\end{augmatrix}\end{split}\]
tuottaa kuvauksen, joka kuvaa avaruuden \(\R^2\) vektorin \(\bx\) vektoriksi \(A\bx\).
Esimerkiksi vektori \(\bx=(-4,3)\) kuvautuu vektoriksi
\[\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{cc}
2 & 0\\
0 & 1
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{r}
-4 \\
3
\end{augmatrix}=
\begin{augmatrix}{r}
-8 \\
3
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Toisin sanoen \((-4,3) \mapsto (-8,3)\).
Yleisesti vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
\[\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{cc}
2 & 0\\
0 & 1
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{c}
x_1\\
x_2
\end{augmatrix}=
\begin{augmatrix}{c}
2x_1\\
x_2
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (2x_1,x_2)\). Vektorin ensimmäinen komponentti siis kaksinkertaistuu ja toinen kompontentti pysyy samana. Niinpä matriisi \(A\) venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa (kuva 1).
Kuva 1. Matriisi \(A\) venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa.
Esimerkki 3.3.2
Tutkitaan, sitten millaisen kuvauksen määrää matriisi
\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{rc}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
\[\begin{split}B\bx
=\begin{augmatrix}{rc}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{c}
x_1\\
x_2
\end{augmatrix}=
\begin{augmatrix}{r}
-x_1\\
x_2
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (-x_1,x_2)\). Matriisi \(B\) peilaa vektorit \(x_2\)-akselin suhteen (kuva 2).
Kuva 2. Matriisi \(B\) peilaa vektorit pystyakselin suhteen.
Esimerkki 3.3.3
Tutkitaan vielä matriisin
\[\begin{split}C=\begin{augmatrix}{cr}
0 & -1\\
1 & 0
\end{augmatrix}\end{split}\]
määräämää kuvausta.
Vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
\[\begin{split}C\bx
=\begin{augmatrix}{cr}
0 & -1\\
1 & 0
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{c}
x_1\\
x_2
\end{augmatrix}=
\begin{augmatrix}{r}
-x_2\\
x_1
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (-x_2,x_1)\). Matriisi \(C\) kiertää vektoreita kulman \(\pi/2\) verran vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan (kuva 3).
Kuva 3. Matriisi \(C\) kiertää vektoreita kulman \(\pi/2\) verran positiiviseen kiertosuuntaan.
Esimerkki 3.3.4
Tarkastellaan matriisia
\[\begin{split}P=\begin{augmatrix}{cc}
1&0\\
0&0
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Vektori \(\bx \in \R^2\) kuvautuu kuvauksessa vektoriksi
\[\begin{split}P\bx
=\begin{augmatrix}{cc}
1&0\\
0&0
\end{augmatrix}
\begin{augmatrix}{c}
x_1\\
x_2
\end{augmatrix}=
\begin{augmatrix}{c}
x_1 \\
0
\end{augmatrix}.\end{split}\]
Toisin sanoen \((x_1,x_2) \mapsto (x_1,0)\). Matriisi \(P\) projisoi vektorit vaaka-akselille (kuva 4).
Kuva 4. Matriisi \(P\) projisoi vektorit vaaka-akselille.
Kun matriisia ajatellaan kuvauksena, matriisin sarakkeina ovat luonnollisen kannan vektoreiden kuvavektorit. Esimerkiksi edellä esitetyn matrisiin \(A\) sarakkeet ovat \(A\be_1\) ja \(A\be_2\), missä \(\be_1=(1,0)\) ja \(\be_2=(0,1)\). Tämä seuraa suoraan lauseesta 3.2.11, jonka nojalla matriisin tulo luonnollisen kannan vektorin kanssa poimii matriisista vastaavan sarakkeen.
Kun matriiseja ajatellaan kuvauksina, matriisitulo vastaa sitä, että kaksi kuvausta tehdään peräkkäin. Toisin sanoen matriisitulo vastaa yhdistettyä kuvausta.
Tutkitaan, mitä matriisien yhdistetty kuvaus näyttää geometrisesti. Tehdään ensin peilaus \(B\) ja sitten kierto \(C\). Yhdistetty kuvaus ensin peilaa vektorit pysty-akselin suhteen ja sen jälkeen kiertää niitä kulman \(\pi/2\) verran vastapäivään (ks. kuva 5).
Kuva 5. Ylemmässä kuvassa näytetään, mitä vektoreille tapahtuu, kun niitä kerrotaan ensin matriisilla \(B\) ja sitten matriisilla \(C\). Alemmassa kuvassa sama saadaan aikaan kertomalla vektoreita matriisilla \(CB\).
Tutkitaan sitten, miten yhdistetty kuvaus lasketaan. Kun vektoria \(\bx \in \R^2\) kuvataan matriisilla \(B\), saadaan vektori \(B\bx\). Kun tätä tulosvektoria kuvataan matriisilla \(C\) saadaan vektori \(C(B\bx)\). Matriisien laskusääntöjen (lause 3.4.1) nojalla tämä on sama asia kuin \((CB)\bx\). Toisin sanoen tulomatriisi \(CB\) on kuvaus, joka ensin kiertää ja sitten peilaa vektoreita.
Ensi alkuun voi tuntua siltä, että matriisit ovat tulomatriisissa väärin päin. Jos peilaus \(B\) tehdään ensin, miksi se on tulossa \(CB\) vasta toisena tulon tekijänä? Tämä kuitenkin johtuu tavasta, jolla kuvauksia kirjoitetaan. Kuvaus \(B\) kirjoitetaan alkion \(\bx\) vasemmalle puolelle (\(B\bx\)). Siksi tulossa \(CB\) kuvaus \(B\) tehdään ensin.
Matriisien määrittämät kuvaukset ovat niin kutsuttuja lineaarikuvauksia. Kuvaus \(L \colon \R^m \to \R^n\) on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot pätevät:
- \(L(\bv+\bw)=L(\bv)+L(\bw)\) kaikilla \(\bv,\bw \in \R^m\)
- \(L(t\bv)=tL(\bv)\) kaikilla \(t \in \R\) ja \(\bv\in \R^m\).
- Matriiseja voidaan ajatella kuvauksina, jotka kuvaavat vektoreita.
- Matriisien kertolasku vastaa kuvausten yhdistämistä.
Tiivistelmä