\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Vektoriavaruus \(\R^n\)

Edellä hahmoteltiin, millä eri tavoilla vektoreita voi ajatella. Matematiikassa on kuitenkin tapana sopia käsitteille määritelmät eli sopimukset, jotka kertovat, mitä käsitteellä tarkoitetaan. Määritelmät saattavat vaihdella kontekstista toiseen. Esimerkiksi yhdellä kurssilla saattaa olla käytössä yhdenlainen vektorin määritelmä ja toisella kurssilla toisenlainen. Määritelmän esittäminen takaakin, että kaikki tietävät, mitä käsitteellä tässä yhteydessä tarkalleen ottaen tarkoitetaan.

Määritelmä 1.2.1

Oletetaan, että \(n \in \{1,2,3,\dots\}\). Vektori on \(n\)-jono

\[(v_1,v_2,\dots,v_n),\]

missä \(v_1,v_2,\dots,v_n \in \R\).

Tässä materiaalissa vektori määritellään siis listana lukuja. Kuten edellä todettiin, lukulistamerkintöjä on useita erilaisia. Tässä materiaalissa käytetään kahta erilaista tapaa:

\[\begin{split}(v_1,v_2,\dots,v_n) \quad \text{ja} \quad \begin{augmatrix}{c} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{augmatrix}.\end{split}\]

Vektoreita voidaan merkitä kummalla tahansa näistä tavoista.

Geometrinen tulkinta tulee olemaan jatkuvasti läsnä vektoreita käsiteltäessä, sillä sen avulla pystyy havainnollistamaan vektoreiden ominaisuuksia. Vektoreita voi ajatella origosta lähtevinä nuolina tai koordinaatiston pisteinä. Se, millainen havainnollistamistapa on paras, riippuu siitä, mitä ollaan tekemässä. Yksittäistä vektoria tutkittaessa origosta lähteävä nuoli on yleensä hyödyllisin. Vektoreiden muodostamia joukkoja tutkittaessa puolestaan pistetulkinta on hyödyllinen.

Vektorit muodostavat vektoriavaruuksia. Esimerkiksi muotoa \((a,b)\) olevat vektorit muodostavat vektoriavaruuden \(\R^2\) ja muotoa \((a,b,c)\) olevat vektorit muodostavat vektoriavaruuden \(\R^3\).

Määritelmä 1.2.2

Vektoriavaruus \(\R^n\) on joukko

\[\{(v_1,v_2,\dots,v_n) \mid v_1,v_2,\dots,v_n \in \R\}.\]

Usein termin vektoriavaruus sijasta käytetäään lyhyesti ilmaisua avaruus.

Vektorin \(\bv=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in \R^n\) komponenteiksi kutsutaan lukuja \(v_1,v_2,\dots,v_n\). Esimerkiksi vektorin \(\bv=(4,-1)\) ovat komponentit ovat \(4\) ja \(-1\). Vektorin \(\bu=\bigl(\frac{1}{2}, -\sqrt{50},0\bigr)\) komponentit ovat puolestaan \(\frac{1}{2}\), \(-\sqrt{5}\) ja \(0\). Huomaa, että komponenttien järjestys on vektoreissa oleellinen. Esimerkiksi vektori \((101, 7)\) on eri asia kuin vektori \((7, 101)\). Sovimme, että ellei toisin mainita, vektorin \(\bv\) komponentteja merkitään symboleilla \(v_1,v_2,\dots,v_n\).

Pohdi 1.2.3

Eräässä pikkukaupungissa on liikenneympyrä, johon johtaa neljä tietä. Kaupungin liikennesuunnittelijat seuraavat liikenneympyrän liikennevirtoja. Joka päivä kaupungin järjestelmiin tallentuu liikenneympyrään eri teitä pitkin saapuvien autojen lukumäärä. Liikennemäärät tallennetaan vektoriin, jossa on neljä komponenttia. Kukin komponentti vastaa yhtä liikenneympyrään saapuvista teistä. Eräänä maanantaina liikennettä kuvasi vektori \(\bv=(150,400,200, 80)\). Tiistaina liikennettä kuvasi vektori \(\bw=(130,350,150,120)\).

1. Suunnittelijat haluavat tutkia yhden päivän sijasta alkuviikon liikennevirtoja. Miten muodostetaan vektori, joka kuvaa maanantaina ja tiistain yhdenlaskettuja liikennevirtoja?
2. Seuraavan viikon maanantaina kaikki liikennevirrat kaksinkertaistuivat. Miten muodostetaan vektori, joka kuvaa seuraavan viikon maanatain liikennevirtoja?

Vektoreille voidaan määritellä erilaisia laskutoimituksia. Käsitellään ensin yhteenlaskua. Yhteenlasku suoritetaan lisäämällä yhteenlaskettavien vektorien komponentit yhteen.

Määritelmä 1.2.4

Oletetaan, että \(\bv \in \R^n\), \(\bw \in \R^n\). Tällöin

\[\begin{split}\bv+\bw = \begin{augmatrix}{c} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ \vdots \\ v_n + w_n \end{augmatrix}.\end{split}\]

Laskutoimitusta nimitetään vektorien yhteenlaskuksi.

Esimerkiksi vektoreiden \(\bv=(4,1)\) ja \(\bw=(-3,2)\) summa on

\[\begin{split}\bv+\bw= \begin{augmatrix}{c} 4 \\ 1 \end{augmatrix} + \begin{augmatrix}{r} -3 \\ 2 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 4 + (-3) \\ 1 + 2 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 3 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Yhteenlaskua voidaan havainnollistaa geometrisesti (kuva 1). Nyt on hyödyllistä ajatella vektoreita suuntajanoina, joiden paikalla ei ole merkitystä. Ainoastaan suunta ja pituus merkitsevät. Tällöin vektoreita voi liikutella koordinaatistossa. Vektorien summa nähdään asettamalla vektoreita vastaavat suuntajanat peräkkäin niin, että jälkimmäinen vektori alkaa siitä, mihin ensimmäinen päättyi. Summavektorin alkupiste on ensimmäisen vektorin alkupiste ja päätepiste jälkimmäisen vektorin päätepiste.

Fig. 1: Vektorit \(\bv\) ja \(\bw\) sekä niiden summa \(\bv + \bw\).

Vektoreita voidaan kertoa reaaliluvuilla.

Määritelmä 1.2.5

Oletetaan, että \(\bv \in \R^n\), \(\bw \in \R^n\) ja \(c \in \R\). Tällöin

\[\begin{split}c\bv= \begin{augmatrix}{c} cv_1 \\ cv_2 \\ \vdots \\ cv_n \end{augmatrix}.\end{split}\]

Laskutoimitusta kutsutaan skalaarikertolaskuksi.

Tutkitaan vaikkapa vektoria \(\bv=(4,1)\). Nyt

\[\begin{split}2\bv=2 \begin{augmatrix}{c} 4 \\ 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 2 \cdot 4 \\ 2 \cdot 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 8 \\ 2 \end{augmatrix}\end{split}\]

ja

\[\begin{split}-\frac{1}{2}\bv = -\frac{1}{2} \begin{augmatrix}{c} 4 \\ 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} -\frac{1}{2} \cdot 4 \\ -\frac{1}{2} \cdot 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} -2 \\ -\frac{1}{2} \end{augmatrix}.\end{split}\]

Skalaarimonikerrat \(2\bv\) ja \(-\frac{1}{2}\bv\) on piirretty kuvaan 2. Huomataan, että skalaarikertolasku venyttää tai kutistaa vektoria. Toisin sanoen se skaalaa vektoria. Vektorin suunta säilyy samana, jos kerroin on positiivinen ja kääntyy vastakkaiseksi, jos kerron on negatiivinen.

Vektorien yhteydessä reaalilukuja kutsutaan skalaareiksi. Jos \(\bv \in \R^n\) ja \(c \in \R\), vektoria \(c\bv\) nimitetään vektorin \(\bv\) skalaarimonikerraksi. Nimitys juontuu siitä, että reaaliluvulla kertominen skaalaa vektoria.

Fig. 2: Skalaarimonikerrat \(2\bv\) ja \(-\frac{1}{2}\bv\).

Skalaarikertolasku säilyttää (tai kääntää vastakkaiseksi) vektorin suunnan. Otetaan tämä havainto yleisten vektorien yhdensuuntaisuuden määritelmäksi.

Määritelmä 1.2.6

Vektoriavaruuden \(\R^n\) vektorit \(\bv\) ja \(\bw\) ovat yhdensuuntaiset, jos \(\bv=r\bw\) jollakin vakiolla \(r \in \R \setminus \{0\}\). Tällöin merkitään \(\bv \parallel \bw\).

Esimerkki 1.2.7

Tutkitaan vektoreita \(\bv=(-2,1)\), \(\bw=(6,-3)\) ja \(\bu=(3,-1)\). Ne on esitetty kuvassa 3.

Fig. 3: Vektorit \(\bv\) ja \(\bw\) ovat yhdensuuntaiset. Vektorit \(\bv\) ja \(\bu\) eivät ole yhdensuuntaisia.

Kuvan perusteella vektorit \(\bv=(-2,1)\) ja \(\bw=(6,-3)\) ovat yhdensuuntaiset. Tämä voidaan osoittaa täsmällisesti huomaamalla, että

\[\bv=(-2,1)=-\frac{1}{3}(6,-3)=-\frac{1}{3}\bw.\]

Osoitetaan sitten, että vektorit \(\bv=(-2,1)\) ja \(\bu=(3,-1)\) eivät ole yhdensuuntaiset. Tehdään tämä niin kutsutulla epäsuoralla todistuksella. Oletetaan vastoin väitettä, että vektorit ovat yhdensuuntaiset. Tavoitteena on päätyä ristiriitaan. Oletuksen mukaan on olemassa \(r \in \R\), jolle pätee \(\bv=r\bu\). Tästä seuraa, että

\[\underbrace{(-2,1)}_{\bv}=r\underbrace{(3,-1)}_{\bu}=(3r,-r).\]

Siispä \(-2=3r\) ja \(1=-r\). Ensimmäisen yhtälön mukaan \(r=-2/3\), mutta toisen yhtälön mukaan \(r=-1\). Tämä on mahdotonta. Olettamalla, että vektorit \(\bv\) ja \(\bu\) ovat yhdensuuntaiset, päädyttiin ristiriitaan. Siten vektorit eivät ole yhdensuuntaiset.

Määritelmä 1.2.8

Vektorin \(\bv\) vastavektori on skalaarimonikerta \((-1)\bv\). Sitä merkitään \(-\bv\).

Esimerkiksi vektorin \(\bv=(-3, 5/6)\) vastavektori on \(-\bv=(3,-5/6)\). Näitä on havainnollistettu kuvassa 4. Vastavektori \(-\bv\) on yhtä pitkä kuin \(\bv\) ja osoittaa vastakkaiseen suuntaan.

Fig. 4: Vektori \(\bv\) ja sen vastavektori \(-\bv\).

Summan ja vastavektorin avulla voidaan määritellä vektorien erotus.

Määritelmä 1.2.9

Vektoreiden \(\bv\) ja \(\bw\) erotus on summa \(\bv+(-\bw)\). Sitä merkitään \(\bv-\bw\).

Esimerkiksi vektorien \(\bv=(2,2)\) ja \(\bw = (-2,3)\) erotus on

\[\bv- \bw = (2,2)-(-2,3)=(2,2)+(-1)(-2,3)=(2,2)+(2,-3)=(4,-1).\]

Vektoreiden erotus on erikoistapaus vektorien summasta, ja erotuksen voikin määrittää kuvasta samaan tapaan kuin summan (kuva 5). Määritelmän mukaan vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) erotus \(\bv-\bw\) saadaan laskemalla yhteen vektori \(\bv\) ja vastavektori \(-\bw\). Piirroksessa tämä tarkoittaa sitä, että jälkimmäisen vektorin suunta on käännettävä ennen yhteenlaskua.

Fig. 5: Vektorit \(\bv\) ja \(\bw\) sekä niiden erotus \(\bv - \bw\).

Määritelmä 1.2.10

Vektoria \((0,0,\dots,0)\) kutsutaan nollavektoriksi. Sille käytetään merkintää \(\nv\).

Pohdi 1.2.11

Marty McFlyn leijulaudalla pystyy kulkemaan vektorien \((3,-2)\) ja \((4,0)\) suuntaisesti (eteen ja taaksepäin). Loun kahvila sijaitsee pisteessä \((-4,4)\).

1. Mitä yhtälö \((-4,4)=-2(3,-2)+(1/2)(4,0)\) kertoo Martyn leijulaudan toiminnasta? Mitä vektorien edessä olevat kertoimet kuvaavat?
2. Havainnollista kohdan 1 yhtälöä kuvan avulla.

Lineaarikombinaatioita on havainnollistettu seuraavan videon alussa.

Videon loppupuolella käsitellään myös aliavaruuksia ja kantavektoreita, joihin perehdytään myöhemmissä luvuissa.

Kun yhteenlasku ja skalaarikertolasku yhdistetään, saadaan aikaiseksi lineaarikombinaatioita. Esimerkiksi vektoreiden \(\bv=(-5,6)\) ja \(\bw=(3,6)\) eräs lineaarikombinaatio on

\[-2\bv+(1/3)\bw=-2(-5,6)+(1/3)(3,6)=(10,-12)+(1,2)=(11,-10).\]

Määritelmä 1.2.12

Vektori \(\bw \in \R^n\) on vektoreiden \(\bv_1, \bv_2, \dots \bv_k \in \R^n\) lineaarikombinaatio eli lineaariyhdistelmä, jos on olemassa sellaiset reaaliluvut \(a_1, a_2, \dots, a_k\), että

\[\bw = a_1\bv_1 + a_2\bv_2 + \cdots + a_k\bv_k.\]

Pohdi 1.2.13

Jasminilla on taikamatto, jota voi ohjata vektorien \((0,1,-3)\) sekä \((-4,2,2)\) suuntaisesti eteen- tai taaksepäin. Jasmin lähtee Bagdadista, jonka koordinaatit ovat \((0,0,0)\). Hän haluaa matkustaa naapurikaupunkiin, jonka koordinaatit ovat \((-8,5,4)\). Onnistuuko matka Jasminin taikamatolla?

Esimerkki 1.2.14

Merkitään \(\bv_1 = (1,1)\), \(\bv_2 = (-1,2)\) ja \(\bw = (5,-1)\). Tutkitaan, onko \(\bw\) vektoreiden \(\bv_1\) ja \(\bv_2\) lineaarikombinaatio. Hetken pohdinnan jälkeen huomataan, että

\[\begin{split} 3\bv_1 - 2\bv_2 = 3(1,1) - 2(-1,2) = (3,3)-(-2,4) = (5,-1) = \bw. \end{split}\]

Siten \(\bw\) on vektoreiden \(\bv_1\) ja \(\bv_2\) lineaarikombinaatio.

Fig. 6: Vektori \(\bw\) on vektoreiden \(\bv_1\) ja \(\bv_2\) lineaarikombinaatio.

Edellisessä esimerkissä arvattiin, mitkä kertoimien \(a_1\) ja \(a_2\) pitää olla, jotta pätisi \(\bw=a_1\bv_1+a_2\bv_2\). Läheskään aina arvaaminen ei onnistu. Tällöin tarvitaan tietoa yhtälöryhmien ratkaisemisesta kuten seuraava esimerkki osoittaa.

Esimerkki 1.2.15

Tutkitaan, onko vektori \(\bw=(-2,3,2,-1)\) vektoreiden

\[\bv_1=(0,-1,2,1), \quad \bv_2=(2,0,1,-1) \quad \text{ja} \quad \bv_3=(4,2,2,0)\]

lineaarikombinaatio. On siis selvitettävä, onko olemassa reaalilukuja \(x_1,x_2,x_3\), joille pätee

\[x_1\bv_1+x_2\bv_2+x_3\bv_3=\bw.\]

Sijoittamalla annetut vektorit yllä olevaan yhtälöön saadaan

\[x_1(0,-1,2,1)+x_2(2,0,1,-1)+x_3(4,2,2,0)=(-2,3,2,-1)\]

ja laskemalla kerto- ja yhteenlaskut auki yhtälö voidaan vielä muuttaa muotoon

\[(2x_2+4x_3, \; -x_1+2x_3, \; 2x_1+x_2+2x_3, \; x_1-x_2)=(-2,3,2,-1).\]

Vektorit ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki komponentit ovat samat. Kun tarkastellaan jokaista komponenttia erikseen, saatua vektoriyhtälöä vastaa yhtälöryhmä

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{rcr} 2x_2+4x_3 & = & -2 \\ -x_1\hphantom{{}+x_2}+2x_3 & = & 3 \\ 2x_1+x_2+2x_3 & = & 2 \\ x_1-x_2\hphantom{{}+2x_3} & = & -1 \end{array}\right.\end{split}\]

Miten tällainen yhtälöryhmä ratkaistaan? Ennen voidaan syventyä enemmän lineaarikombinaatioihin, tarvitaan tietoa yhtälönratkaisusta. Yhtälöryhmiin tutustutaan myöhemmin.

Vektoreita, joiden lineaarikombinaatioita käsitellään usein, ovat

\[\begin{split}\be_1= \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{augmatrix},\ \be_2= \begin{augmatrix}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{augmatrix},\ \ldots, \ \be_n= \begin{augmatrix}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Jokainen avaruuden \(\R^n\) vektori voidaan kirjoittaa näiden vektoreiden avulla. Esimerkiksi avaruudessa \(\R^3\) vektori

\[\begin{split}\bv=\begin{augmatrix}{c} 5 \\ -11 \\6/7 \end{augmatrix}\end{split}\]

Voidaan kirjoittaa muodossa

\[\begin{split}\bv=\begin{augmatrix}{c} 5 \\ -11 \\6/7 \end{augmatrix} =5\begin{augmatrix}{c} 1 \\ 0 \\0 \end{augmatrix}-11 \begin{augmatrix}{c} 0 \\ 1 \\0 \end{augmatrix}+6/7 \begin{augmatrix}{c} 0 \\ 0 \\1 \end{augmatrix}=5\be_1-11\be_2+6/7\be_3.\end{split}\]

Yleisesti jokainen avaruuden \(\R^n\) vektori \(\bv\) voidaan kirjoittaa näiden vektoreiden avulla:

\[\begin{split}\begin{aligned} \bv = \begin{augmatrix}{c} v_1\\v_2\\ \vdots\\ v_n \end{augmatrix} =v_1\begin{augmatrix}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{augmatrix} +v_2\begin{augmatrix}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{augmatrix} +\cdots+v_n\begin{augmatrix}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{augmatrix} =v_1\be_1+v_2\be_2+\cdots+v_n\be_n. \end{aligned}\end{split}\]

Vektoreita \(\be_1,\dots,\be_n\) kutsutaan avaruuden \(\R^n\) luonnolliseksi kannaksi.

Voidaan osoittaa, että vektoriavaruuden \(\R^n\) vektoreille pätevät koulusta tutut laskusäännöt.

Lause 1.2.16

Oletetaan, että \(\bv, \bw, \bu \in \R^n\) ja \(a, b \in \R\). Tällöin pätee:

1. \(\bv + \bw = \bw + \bv\) (vaihdannaisuus)
2. \((\bu + \bv) + \bw = \bu + (\bv + \bw)\) (liitännäisyys)
3. \(\bv + \nv = \bv\)
4. \(\bv + (-\bv) = \nv\)
5. \(a(\bv + \bw) = a\bv + a\bw\) (osittelulaki)
6. \((a + b)\bv = a\bv + b\bv\) (osittelulaki)
7. \(a(b\bv) = (ab)\bv\)
8. \(1\bv = \bv\)
9. \(0\bv = \nv\).

Matematiikassa lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin todeksi osoitettuihin väitteisiin.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi kohta 1 ja jätetään loput kohdat harjoitustehtäviksi. Oletetaan kuten lauseessa, että \(\bv\in\R^n\) ja \(\bw\in\R^n\). Tällöin \(\bv=(v_1, \dots, v_n)\) ja \(\bw=(w_1, \dots, w_n)\), ja luvut \(v_1, \dots, v_n\) ja \(w_1, \dots, w_n\) ovat reaalilukuja. Koska reaalilukujen yhteenlasku on vaihdannainen, jokaisella \(i\in\{1,\dots,n\}\) pätee \(v_i+w_i=w_i+v_i\). Nyt nähdään, että

\[\begin{split}\begin{split} \bv + \bw &= (v_1 + w_1,\, v_2 + w_2,\, \dots,\, v_n+w_n) \\ &=(w_1 + v_1,\, w_2 + v_2,\, \dots,\, w_n+v_n)= \bw + \bv. \end{split}\end{split}\]

Väite on todistettu.

Esimerkki 1.2.17

Oletetaan, että \(\bu, \bv, \bw \in \R^n\). Tutkitaan vektoria \(\bz=3(2\bu+\bv+\bw)-(\bu+2\bv+3\bw)\) ja sievennetään sitä vektorien laskusääntöjen avulla:

\[\bz = 3(2\bu+\bv+\bw)-(\bu+2\bv+3\bw)=6\bu+3\bv+3\bw-\bu-2\bv-3\bw=5\bu+\bv.\]

Tiivistelmä

previous | next

• Vektorit ovat järjestettyjä lukulistoja.
• Vektoreita voi havainnollistaa eri tavoin: origosta lähtevänä nuolena tai koordinaatiston pisteenä.
• Vektorit muodostavat vektoriavaruuksia.
• Vektoreita voi laskea yhteen ja kertoa reaaliluvuilla (skalaarikertolasku).
• Kun vektoreita lasketaan yhteen, niitä kannattaa havainnollistaa suuntajanoina, joiden sijainnilla ei ole väliä.
• Lineaarikombinaatioissa yhdistyvät yhteenlasku ja skalaarikertolasku.
• Vektorit ovat yhdensuuntaiset, jos ne saadaan toisistaan skalaarilla kertomalla.

Kysymys 1

Piirrä koordinaatistoon vektorit \(\bu\), \(\bv\) ja \(\bw\), kun

• \(\bu\) alkaa pisteestä \(A = (3,-1)\) ja päättyy pisteeseen \(B = (2,2)\),
• \(\bv\) alkaa pisteestä \(C = (-1,1)\) ja päättyy pisteeseen \(D = (-2,4)\),
• \(\bw\) alkaa pisteestä \(E = (0,0)\) ja päättyy pisteeseen \(F = (-2,6)\).

Valitse sitten epätosi väittämä.

Vektorit \(\bu\) ja \(\bv\) ovat samat.

Vektorit \(\bu\) ja \(\bw\) ovat samat.

Vektorit \(\bu\) ja \(\bw\) ovat yhdensuuntaiset.

Kysymys 1

Oletetaan, että \(\bu, \bv_1, \bv_2 \in \R^n\). Jos vektori \(\bu\) on vektoreiden \(\bv_1\) ja \(\bv_2\) lineaarikombinaatio, niin

vektori \(\bu\) on vektorien \(\bv_1\) ja \(\bv_2\) tulo,

vektori \(\bu\) on vektorien \(\bv_1\) ja \(\bv_2\) summa,

\(\bu=a\bv_1+b\bv_2\) joillakin reaaliluvuilla \(a\) ja \(b\),

\(\bu=a\bv_1+b\bv_2\) kaikilla reaaliluvuilla \(a\) ja \(b\),

vektori \(\bu\) saadaan kertomalla toinen vektoreista \(\bv_1\) ja \(\bv_2\) skalaarilla,

vektori \(\bu\) saadaan kertomalla vektori \(\bv_1\) vektorin \(\bv_2\) vastavektorilla.

Aseta seuraavan vektorien summan liitännäisyyden todistuksen sekoitetut vaiheet oikeaan järjestykseen.

1. Tässä viimeisen välivaiheen lauseke voidaan kirjoittaa myös muodossa \(\bx + (\by + \bz)\).
2. Todistus: Vektoreiden yhteenlaskun määritelmän nojalla \((\bx + \by) + \bz = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{bmatrix}.\)
3. Näin väite on todistettu.
4. Oletus: Vektorit \(\bx, \by, \bz \in \R^n\), sekä \(\bx = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\), \(\by = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}\) ja \(\bz = \begin{bmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{bmatrix}\). Väite: \((\bx + \by) + \bz = \bx + (\by + \bz)\).
5. Niinpä \((\bx + \by) + \bz = \bx + (\by + \bz)\).
6. Edelleen vektorien yhteenlaskun määritelmän ja reaalilukujen yhteenlaskun liitännäisyyden mukaan \((\bx + \by) + \bz = \begin{bmatrix} (x_1 + y_1) + z_1 \\ \vdots \\ (x_n + y_n) + z_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + (y_1 + z_1) \\ \vdots \\ x_n + (y_n + z_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 + z_1 \\ \vdots \\ y_n + z_n \end{bmatrix}.\)

Jokaiseen vaiheeseen liittyy numero 1–6 edellisen listauksen mukaan. Anna vastauksenasi näiden numeroiden oikeassa järjestyksessä muodostama merkkijono. Jos esimerkiksi uskot vaiheiden jo olevan oikeassa järjestyksessä, vastaa 123456.

Kysymys 1

Todistuksen vaiheiden oikea järjestys on

Kysymys 1

Tarkastellaan vektoreita \(\bx\) ja \(\by\), sekä reaalilukua \(r\). Valitse paikkansa pitävät väittämät.

\(\bx + \by\) on aina pidempi kuin vektori \(\bx\).

Vektorit \(\bx\) ja \(r\bx\) ovat yhdensuuntaiset, jos \(r<0\).

Vektorit \(\bx\) ja \(r\bx\) ovat yhdensuuntaiset, jos \(r>0\).

Vektorit \(\bx\) ja \(r\bx\) ovat yhdensuuntaiset, jos \(r\geq0\).

Vektorit \(\bx\) ja \(r\bx\) ovat yhdensuuntaiset, jos \(r=0\).

\(\bx + \by = \by + \bx\) aina, kun \(\bx,\by \in \R^n\).

Summa \(\bx + \by\) voidaan laskea, jos \(x\in \R\) ja \(y\in \R^n\), missä \(n>1\).

Vektorit \(\bx\) ja \(\by\) ovat samat, jos \(\bx = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}\) ja \(\by = x_1 \begin{bmatrix}1\\0\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix}0\\1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix} + \cdots + x_n \begin{bmatrix}0\\ \vdots \\0\\0\\1\end{bmatrix}\).

Palautusta lähetetään...