Processing math: 96%

Vektoriavaruus Rn

Edellä hahmoteltiin, millä eri tavoilla vektoreita voi ajatella. Matematiikassa on kuitenkin tapana sopia käsitteille määritelmät eli sopimukset, jotka kertovat, mitä käsitteellä tarkoitetaan. Määritelmät saattavat vaihdella kontekstista toiseen. Esimerkiksi yhdellä kurssilla saattaa olla käytössä yhdenlainen vektorin määritelmä ja toisella kurssilla toisenlainen. Määritelmän esittäminen takaakin, että kaikki tietävät, mitä käsitteellä tässä yhteydessä tarkalleen ottaen tarkoitetaan.

Määritelmä 1.2.1

Oletetaan, että n{1,2,3,}. Vektori on n-jono

(v1,v2,,vn),

missä v1,v2,,vnR.

Tässä materiaalissa vektori määritellään siis listana lukuja. Kuten edellä todettiin, lukulistamerkintöjä on useita erilaisia. Tässä materiaalissa käytetään kahta erilaista tapaa:

(v1,v2,,vn)ja[v1v2vn].

Vektoreita voidaan merkitä kummalla tahansa näistä tavoista.

Geometrinen tulkinta tulee olemaan jatkuvasti läsnä vektoreita käsiteltäessä, sillä sen avulla pystyy havainnollistamaan vektoreiden ominaisuuksia. Vektoreita voi ajatella origosta lähtevinä nuolina tai koordinaatiston pisteinä. Se, millainen havainnollistamistapa on paras, riippuu siitä, mitä ollaan tekemässä. Yksittäistä vektoria tutkittaessa origosta lähteävä nuoli on yleensä hyödyllisin. Vektoreiden muodostamia joukkoja tutkittaessa puolestaan pistetulkinta on hyödyllinen.

Vektorit muodostavat vektoriavaruuksia. Esimerkiksi muotoa (a,b) olevat vektorit muodostavat vektoriavaruuden R2 ja muotoa (a,b,c) olevat vektorit muodostavat vektoriavaruuden R3.

Määritelmä 1.2.2

Vektoriavaruus Rn on joukko

{(v1,v2,,vn)v1,v2,,vnR}.

Usein termin vektoriavaruus sijasta käytetäään lyhyesti ilmaisua avaruus.

Vektorin v=(v1,v2,,vn)Rn komponenteiksi kutsutaan lukuja v1,v2,,vn. Esimerkiksi vektorin v=(4,1) ovat komponentit ovat 4 ja 1. Vektorin u=(12,50,0) komponentit ovat puolestaan 12, 5 ja 0. Huomaa, että komponenttien järjestys on vektoreissa oleellinen. Esimerkiksi vektori (101,7) on eri asia kuin vektori (7,101). Sovimme, että ellei toisin mainita, vektorin v komponentteja merkitään symboleilla v1,v2,,vn.

Pohdi 1.2.3

Eräässä pikkukaupungissa on liikenneympyrä, johon johtaa neljä tietä. Kaupungin liikennesuunnittelijat seuraavat liikenneympyrän liikennevirtoja. Joka päivä kaupungin järjestelmiin tallentuu liikenneympyrään eri teitä pitkin saapuvien autojen lukumäärä. Liikennemäärät tallennetaan vektoriin, jossa on neljä komponenttia. Kukin komponentti vastaa yhtä liikenneympyrään saapuvista teistä. Eräänä maanantaina liikennettä kuvasi vektori v=(150,400,200,80). Tiistaina liikennettä kuvasi vektori w=(130,350,150,120).

  1. Suunnittelijat haluavat tutkia yhden päivän sijasta alkuviikon liikennevirtoja. Miten muodostetaan vektori, joka kuvaa maanantaina ja tiistain yhdenlaskettuja liikennevirtoja?
  2. Seuraavan viikon maanantaina kaikki liikennevirrat kaksinkertaistuivat. Miten muodostetaan vektori, joka kuvaa seuraavan viikon maanatain liikennevirtoja?

Vektoreille voidaan määritellä erilaisia laskutoimituksia. Käsitellään ensin yhteenlaskua. Yhteenlasku suoritetaan lisäämällä yhteenlaskettavien vektorien komponentit yhteen.

Määritelmä 1.2.4

Oletetaan, että vRn, wRn. Tällöin

v+w=[v1+w1v2+w2vn+wn].

Laskutoimitusta nimitetään vektorien yhteenlaskuksi.

Esimerkiksi vektoreiden v=(4,1) ja w=(3,2) summa on

v+w=[41]+[32]=[4+(3)1+2]=[13].

Yhteenlaskua voidaan havainnollistaa geometrisesti (kuva 1). Nyt on hyödyllistä ajatella vektoreita suuntajanoina, joiden paikalla ei ole merkitystä. Ainoastaan suunta ja pituus merkitsevät. Tällöin vektoreita voi liikutella koordinaatistossa. Vektorien summa nähdään asettamalla vektoreita vastaavat suuntajanat peräkkäin niin, että jälkimmäinen vektori alkaa siitä, mihin ensimmäinen päättyi. Summavektorin alkupiste on ensimmäisen vektorin alkupiste ja päätepiste jälkimmäisen vektorin päätepiste.

../_images/kuva5.svg

Fig. 1: Vektorit v ja w sekä niiden summa v+w.

Vektoreita voidaan kertoa reaaliluvuilla.

Määritelmä 1.2.5

Oletetaan, että vRn, wRn ja cR. Tällöin

cv=[cv1cv2cvn].

Laskutoimitusta kutsutaan skalaarikertolaskuksi.

Tutkitaan vaikkapa vektoria v=(4,1). Nyt

2v=2[41]=[2421]=[82]

ja

12v=12[41]=[124121]=[212].

Skalaarimonikerrat 2v ja 12v on piirretty kuvaan 2. Huomataan, että skalaarikertolasku venyttää tai kutistaa vektoria. Toisin sanoen se skaalaa vektoria. Vektorin suunta säilyy samana, jos kerroin on positiivinen ja kääntyy vastakkaiseksi, jos kerron on negatiivinen.

Vektorien yhteydessä reaalilukuja kutsutaan skalaareiksi. Jos vRn ja cR, vektoria cv nimitetään vektorin v skalaarimonikerraksi. Nimitys juontuu siitä, että reaaliluvulla kertominen skaalaa vektoria.

../_images/kuva6.svg

Fig. 2: Skalaarimonikerrat 2v ja 12v.

Skalaarikertolasku säilyttää (tai kääntää vastakkaiseksi) vektorin suunnan. Otetaan tämä havainto yleisten vektorien yhdensuuntaisuuden määritelmäksi.

Määritelmä 1.2.6

Vektoriavaruuden Rn vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset, jos v=rw jollakin vakiolla rR{0}. Tällöin merkitään vw.

Esimerkki 1.2.7

Tutkitaan vektoreita v=(2,1), w=(6,3) ja u=(3,1). Ne on esitetty kuvassa 3.

../_images/kuva7.svg

Fig. 3: Vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset. Vektorit v ja u eivät ole yhdensuuntaisia.

Kuvan perusteella vektorit v=(2,1) ja w=(6,3) ovat yhdensuuntaiset. Tämä voidaan osoittaa täsmällisesti huomaamalla, että

v=(2,1)=13(6,3)=13w.

Osoitetaan sitten, että vektorit v=(2,1) ja u=(3,1) eivät ole yhdensuuntaiset. Tehdään tämä niin kutsutulla epäsuoralla todistuksella. Oletetaan vastoin väitettä, että vektorit ovat yhdensuuntaiset. Tavoitteena on päätyä ristiriitaan. Oletuksen mukaan on olemassa rR, jolle pätee v=ru. Tästä seuraa, että

(2,1)v=r(3,1)u=(3r,r).

Siispä 2=3r ja 1=r. Ensimmäisen yhtälön mukaan r=2/3, mutta toisen yhtälön mukaan r=1. Tämä on mahdotonta. Olettamalla, että vektorit v ja u ovat yhdensuuntaiset, päädyttiin ristiriitaan. Siten vektorit eivät ole yhdensuuntaiset.

Määritelmä 1.2.8

Vektorin v vastavektori on skalaarimonikerta (1)v. Sitä merkitään v.

Esimerkiksi vektorin v=(3,5/6) vastavektori on v=(3,5/6). Näitä on havainnollistettu kuvassa 4. Vastavektori v on yhtä pitkä kuin v ja osoittaa vastakkaiseen suuntaan.

../_images/vastavektori.svg

Fig. 4: Vektori v ja sen vastavektori v.

Summan ja vastavektorin avulla voidaan määritellä vektorien erotus.

Määritelmä 1.2.9

Vektoreiden v ja w erotus on summa v+(w). Sitä merkitään vw.

Esimerkiksi vektorien v=(2,2) ja w=(2,3) erotus on

vw=(2,2)(2,3)=(2,2)+(1)(2,3)=(2,2)+(2,3)=(4,1).

Vektoreiden erotus on erikoistapaus vektorien summasta, ja erotuksen voikin määrittää kuvasta samaan tapaan kuin summan (kuva 5). Määritelmän mukaan vektorien v ja w erotus vw saadaan laskemalla yhteen vektori v ja vastavektori w. Piirroksessa tämä tarkoittaa sitä, että jälkimmäisen vektorin suunta on käännettävä ennen yhteenlaskua.

../_images/erotus.svg

Fig. 5: Vektorit v ja w sekä niiden erotus vw.

Määritelmä 1.2.10

Vektoria (0,0,,0) kutsutaan nollavektoriksi. Sille käytetään merkintää 0.

Pohdi 1.2.11

Marty McFlyn leijulaudalla pystyy kulkemaan vektorien (3,2) ja (4,0) suuntaisesti (eteen ja taaksepäin). Loun kahvila sijaitsee pisteessä (4,4).

  1. Mitä yhtälö (4,4)=2(3,2)+(1/2)(4,0) kertoo Martyn leijulaudan toiminnasta? Mitä vektorien edessä olevat kertoimet kuvaavat?
  2. Havainnollista kohdan 1 yhtälöä kuvan avulla.

Lineaarikombinaatioita on havainnollistettu seuraavan videon alussa.

Videon loppupuolella käsitellään myös aliavaruuksia ja kantavektoreita, joihin perehdytään myöhemmissä luvuissa.

Kun yhteenlasku ja skalaarikertolasku yhdistetään, saadaan aikaiseksi lineaarikombinaatioita. Esimerkiksi vektoreiden v=(5,6) ja w=(3,6) eräs lineaarikombinaatio on

2v+(1/3)w=2(5,6)+(1/3)(3,6)=(10,12)+(1,2)=(11,10).

Määritelmä 1.2.12

Vektori wRn on vektoreiden v1,v2,vkRn lineaarikombinaatio eli lineaariyhdistelmä, jos on olemassa sellaiset reaaliluvut a1,a2,,ak, että

w=a1v1+a2v2++akvk.

Pohdi 1.2.13

Jasminilla on taikamatto, jota voi ohjata vektorien (0,1,3) sekä (4,2,2) suuntaisesti eteen- tai taaksepäin. Jasmin lähtee Bagdadista, jonka koordinaatit ovat (0,0,0). Hän haluaa matkustaa naapurikaupunkiin, jonka koordinaatit ovat (8,5,4). Onnistuuko matka Jasminin taikamatolla?

Esimerkki 1.2.14

Merkitään v1=(1,1), v2=(1,2) ja w=(5,1). Tutkitaan, onko w vektoreiden v1 ja v2 lineaarikombinaatio. Hetken pohdinnan jälkeen huomataan, että

3v12v2=3(1,1)2(1,2)=(3,3)(2,4)=(5,1)=w.

Siten w on vektoreiden v1 ja v2 lineaarikombinaatio.

../_images/kuva9.svg
../_images/kuva10.svg

Fig. 6: Vektori w on vektoreiden v1 ja v2 lineaarikombinaatio.

Edellisessä esimerkissä arvattiin, mitkä kertoimien a1 ja a2 pitää olla, jotta pätisi w=a1v1+a2v2. Läheskään aina arvaaminen ei onnistu. Tällöin tarvitaan tietoa yhtälöryhmien ratkaisemisesta kuten seuraava esimerkki osoittaa.

Esimerkki 1.2.15

Tutkitaan, onko vektori w=(2,3,2,1) vektoreiden

v1=(0,1,2,1),v2=(2,0,1,1)jav3=(4,2,2,0)

lineaarikombinaatio. On siis selvitettävä, onko olemassa reaalilukuja x1,x2,x3, joille pätee

x1v1+x2v2+x3v3=w.

Sijoittamalla annetut vektorit yllä olevaan yhtälöön saadaan

x1(0,1,2,1)+x2(2,0,1,1)+x3(4,2,2,0)=(2,3,2,1)

ja laskemalla kerto- ja yhteenlaskut auki yhtälö voidaan vielä muuttaa muotoon

(2x2+4x3,x1+2x3,2x1+x2+2x3,x1x2)=(2,3,2,1).

Vektorit ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki komponentit ovat samat. Kun tarkastellaan jokaista komponenttia erikseen, saatua vektoriyhtälöä vastaa yhtälöryhmä

{2x2+4x3=2x1+x2+2x3=32x1+x2+2x3=2x1x2+2x3=1

Miten tällainen yhtälöryhmä ratkaistaan? Ennen voidaan syventyä enemmän lineaarikombinaatioihin, tarvitaan tietoa yhtälönratkaisusta. Yhtälöryhmiin tutustutaan myöhemmin.

Vektoreita, joiden lineaarikombinaatioita käsitellään usein, ovat

e1=[100], e2=[010], , en=[001].

Jokainen avaruuden Rn vektori voidaan kirjoittaa näiden vektoreiden avulla. Esimerkiksi avaruudessa R3 vektori

v=[5116/7]

Voidaan kirjoittaa muodossa

v=[5116/7]=5[100]11[010]+6/7[001]=5e111e2+6/7e3.

Yleisesti jokainen avaruuden Rn vektori v voidaan kirjoittaa näiden vektoreiden avulla:

v=[v1v2vn]=v1[100]+v2[010]++vn[001]=v1e1+v2e2++vnen.

Vektoreita e1,,en kutsutaan avaruuden Rn luonnolliseksi kannaksi.

Voidaan osoittaa, että vektoriavaruuden Rn vektoreille pätevät koulusta tutut laskusäännöt.

Lause 1.2.16

Oletetaan, että v,w,uRn ja a,bR. Tällöin pätee:

  1. v+w=w+v (vaihdannaisuus)
  2. (u+v)+w=u+(v+w) (liitännäisyys)
  3. v+0=v
  4. v+(v)=0
  5. a(v+w)=av+aw (osittelulaki)
  6. (a+b)v=av+bv (osittelulaki)
  7. a(bv)=(ab)v
  8. 1v=v
  9. 0v=0.

Matematiikassa lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella todeksi nojautumalla määritelmiin ja aikaisemmin todeksi osoitettuihin väitteisiin.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi kohta 1 ja jätetään loput kohdat harjoitustehtäviksi. Oletetaan kuten lauseessa, että vRn ja wRn. Tällöin v=(v1,,vn) ja w=(w1,,wn), ja luvut v1,,vn ja w1,,wn ovat reaalilukuja. Koska reaalilukujen yhteenlasku on vaihdannainen, jokaisella i{1,,n} pätee vi+wi=wi+vi. Nyt nähdään, että

v+w=(v1+w1,v2+w2,,vn+wn)=(w1+v1,w2+v2,,wn+vn)=w+v.

Väite on todistettu.

Esimerkki 1.2.17

Oletetaan, että u,v,wRn. Tutkitaan vektoria z=3(2u+v+w)(u+2v+3w) ja sievennetään sitä vektorien laskusääntöjen avulla:

z=3(2u+v+w)(u+2v+3w)=6u+3v+3wu2v3w=5u+v.
  • Vektorit ovat järjestettyjä lukulistoja.
  • Vektoreita voi havainnollistaa eri tavoin: origosta lähtevänä nuolena tai koordinaatiston pisteenä.
  • Vektorit muodostavat vektoriavaruuksia.
  • Vektoreita voi laskea yhteen ja kertoa reaaliluvuilla (skalaarikertolasku).
  • Kun vektoreita lasketaan yhteen, niitä kannattaa havainnollistaa suuntajanoina, joiden sijainnilla ei ole väliä.
  • Lineaarikombinaatioissa yhdistyvät yhteenlasku ja skalaarikertolasku.
  • Vektorit ovat yhdensuuntaiset, jos ne saadaan toisistaan skalaarilla kertomalla.

Piirrä koordinaatistoon vektorit u, v ja w, kun

  • u alkaa pisteestä A=(3,1) ja päättyy pisteeseen B=(2,2),
  • v alkaa pisteestä C=(1,1) ja päättyy pisteeseen D=(2,4),
  • w alkaa pisteestä E=(0,0) ja päättyy pisteeseen F=(2,6).

Valitse sitten epätosi väittämä.

Oletetaan, että u,v1,v2Rn. Jos vektori u on vektoreiden v1 ja v2 lineaarikombinaatio, niin

Aseta seuraavan vektorien summan liitännäisyyden todistuksen sekoitetut vaiheet oikeaan järjestykseen.

  1. Tässä viimeisen välivaiheen lauseke voidaan kirjoittaa myös muodossa x+(y+z).
  2. Todistus: Vektoreiden yhteenlaskun määritelmän nojalla (x+y)+z=[x1+y1xn+yn]+[z1zn].
  3. Näin väite on todistettu.
  4. Oletus: Vektorit x,y,zRn, sekä x=[x1xn], y=[y1yn] ja z=[z1zn]. Väite: (x+y)+z=x+(y+z).
  5. Niinpä (x+y)+z=x+(y+z).
  6. Edelleen vektorien yhteenlaskun määritelmän ja reaalilukujen yhteenlaskun liitännäisyyden mukaan (x+y)+z=[(x1+y1)+z1(xn+yn)+zn]=[x1+(y1+z1)xn+(yn+zn)]=[x1xn]+[y1+z1yn+zn].

Jokaiseen vaiheeseen liittyy numero 1–6 edellisen listauksen mukaan. Anna vastauksenasi näiden numeroiden oikeassa järjestyksessä muodostama merkkijono. Jos esimerkiksi uskot vaiheiden jo olevan oikeassa järjestyksessä, vastaa 123456.

Todistuksen vaiheiden oikea järjestys on
Tarkastellaan vektoreita x ja y, sekä reaalilukua r. Valitse paikkansa pitävät väittämät.
Palautusta lähetetään...