l’Hôpital’n sääntö¶

l’Hôpitalin sääntö kuvailee menetelmän, jolla raja-arvo yritetään löytää epämääräisissä tapauksissa $\frac00$ tai $\frac{\infty}{\infty}$ .

Lause.

Olkoot $f$ ja $g$ derivoituvia funktioita ja $g'(x)\ne0$ jossakin pisteen $a$ punkteeratussa ympäristössä. Jos

$\lim_{x\to a}f(x)=0=\lim_{x\to a}g(x),$

niin

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$

mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös tapauksissa $a=\pm\infty$ ja $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty=\lim_{x\to a}g(x)$ .

Todistus.

Rajoitutaan todistamaan väite siinä tapauksessa, kun $f$ ja $g$ ovat derivoituvia myös pisteessä $a$ , $g'(a)\ne0$ ja $f'$ ja $g'$ ovat jatkuvia. Silloin $f$ ja $g$ ovat jatkuvia $a$ , joten oletuksen vuoksi on oltava $f(a)=g(a)=0$ . Aikaisempaa lausetta ja derivaatan määritelmää käyttäen saadaan

$\begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\frac{\lim\limits_{x\to a}f'(x)}{\lim\limits_{x\to a}g'(x)} =\frac{f'(a)}{g'(a)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}} =\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}\lim_{x \to a}\frac{x - a}{x - a} =\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}.\end{aligned}$

$\square$

Esimerkki.

$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{2x} =\lim_{x\to1}\frac{1}{2x^2} =\frac{1}{2}$ .
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(2x)}{\ln x} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}1=1$ .
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6} =\frac16$

Mikään ei kiellä soveltamasta l’Hôpital’n sääntöä toistuvasti, kunnes raja-arvo ei enää suoran sijoituksen jälkeen ole epämääräisessä muodossa.

Huomautus.

On syytä muistaa, että l’Hôpital’n sääntö sopii vain tapauksiin $\frac00$ tai $\frac{\infty}{\infty}$ , ei esimerkiksi tapauksiin $\frac01$ tai $\frac\infty0$ . Tarvittaessa funktion lauseketta voi muokata siten, että haluttu epämääräinen muoto syntyy suoralla sijoituksella, ja sen jälkeen soveltaa sääntöä.
l’Hôpital’n säännössä esiintyvää derivaattojen osamäärän raja-arvoa varten lasketaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat erikseen, eikä osamäärän derivaattaa.

Esimerkki.

Olkoon $n$ luonnollinen luku. Tutkitaan raja-arvoa $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}$ soveltamalla toistuvasti l’Hôpital’n sääntöä.

$\begin{split}\begin{aligned} &\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{nx^{n-1}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}\\ &=\cdots =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2x^1} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1} =\infty.\end{aligned}\end{split}$

Sama tulos on voimassa muillekin kuin reaaliluvun $x$ kokonaislukueksponenteille,

$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^a}=\infty,$

kun $a > 0$ . Vastaasti voidaan osoittaa, että

$\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\ln x}=\infty,$

kun $a > 0$ . Nämä vertailut antavat keinon asettaa eksponentti-, potenssi- ja logaritmifunktiot kasvunopeuden suhteen järjestykseen.

Eksponenttifunktio $e^x$ kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa potenssifunktio $x^a$ .
Logaritmifunktio $\ln x$ kasvaa hitaammin kuin mikä tahansa potenssifunktio $x^a$ .