l’Hôpital’n sääntö¶

l’Hôpitalin sääntö kuvailee menetelmän, jolla raja-arvo yritetään löytää epämääräisissä tapauksissa \(\frac00\) tai \(\frac{\infty}{\infty}\).

Lause.

Olkoot \(f\) ja \(g\) derivoituvia funktioita ja \(g'(x)\ne0\) jossakin pisteen \(a\) punkteeratussa ympäristössä. Jos

\[\lim_{x\to a}f(x)=0=\lim_{x\to a}g(x),\]

niin

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},\]

mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös tapauksissa \(a=\pm\infty\) ja \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty=\lim_{x\to a}g(x)\).

Todistus.

Rajoitutaan todistamaan väite siinä tapauksessa, kun \(f\) ja \(g\) ovat derivoituvia myös pisteessä \(a\), \(g'(a)\ne0\) ja \(f'\) ja \(g'\) ovat jatkuvia. Silloin \(f\) ja \(g\) ovat jatkuvia \(a\), joten oletuksen vuoksi on oltava \(f(a)=g(a)=0\). Aikaisempaa lausetta ja derivaatan määritelmää käyttäen saadaan

\[\begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\frac{\lim\limits_{x\to a}f'(x)}{\lim\limits_{x\to a}g'(x)} =\frac{f'(a)}{g'(a)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}} =\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}\lim_{x \to a}\frac{x - a}{x - a} =\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}.\end{aligned}\]

\(\square\)

Esimerkki.

\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{2x} =\lim_{x\to1}\frac{1}{2x^2} =\frac{1}{2}\).
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(2x)}{\ln x} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}1=1\).
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6} =\frac16\)

Mikään ei kiellä soveltamasta l’Hôpital’n sääntöä toistuvasti, kunnes raja-arvo ei enää suoran sijoituksen jälkeen ole epämääräisessä muodossa.

Huomautus.

On syytä muistaa, että l’Hôpital’n sääntö sopii vain tapauksiin \(\frac00\) tai \(\frac{\infty}{\infty}\), ei esimerkiksi tapauksiin \(\frac01\) tai \(\frac\infty0\). Tarvittaessa funktion lauseketta voi muokata siten, että haluttu epämääräinen muoto syntyy suoralla sijoituksella, ja sen jälkeen soveltaa sääntöä.
l’Hôpital’n säännössä esiintyvää derivaattojen osamäärän raja-arvoa varten lasketaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat erikseen, eikä osamäärän derivaattaa.

Esimerkki.

Olkoon \(n\) luonnollinen luku. Tutkitaan raja-arvoa \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}\) soveltamalla toistuvasti l’Hôpital’n sääntöä.

\[\begin{split}\begin{aligned} &\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{nx^{n-1}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}\\ &=\cdots =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2x^1} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1} =\infty.\end{aligned}\end{split}\]

Sama tulos on voimassa muillekin kuin reaaliluvun \(x\) kokonaislukueksponenteille,

\[\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^a}=\infty,\]

kun \(a > 0\). Vastaasti voidaan osoittaa, että

\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\ln x}=\infty,\]

kun \(a > 0\). Nämä vertailut antavat keinon asettaa eksponentti-, potenssi- ja logaritmifunktiot kasvunopeuden suhteen järjestykseen.

Eksponenttifunktio \(e^x\) kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa potenssifunktio \(x^a\).
Logaritmifunktio \(\ln x\) kasvaa hitaammin kuin mikä tahansa potenssifunktio \(x^a\).