Määritelmä ja perusominaisuudet¶

Olkoon $s(t)$ kuljettu matka ajan $t$ funktiona. Kun nopeudella tarkoitetaan kuljetun matkan muutosta aikayksikössä, keskimääräinen nopeus aikavälillä $(t, t+\Delta t)$ on

$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.$

Lyhentämällä tarkasteltavan aikavälin pituutta $\Delta t$ saadaan tarkempi käsitys kuljetun matkan käyttäytymisestä, ja kun $\Delta t \to 0$ päädytään käsittelemään hetkellistä nopeutta

$v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.$

Näistä kinematiikan käsitteistä voidaan yleistää reaalifunktion $f$ derivaatan käsite.

Määritelmä.

Funktion $f : I\to\mathbb R$ derivaatta (derivative) määrittelyvälin $I$ pisteessä $a$ on

$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$

mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Tällöin sanotaan, että $f$ on derivoituva (differentiable) pisteessä $a$ . Funktion $f$ oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä $a$ on

$f'(a+)=\lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

ja vasemmanpuoleinen derivaatta

$f'(a-)=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$

mikäli kyseiset raja-arvot ovat olemassa. Funktio $f$ on derivoituva (differentiable), mikäli sillä on oikean- tai vasemmanpuoleinen derivaatta välin $I$ päätepisteissä ja se on derivoituva kaikissa muissa välin $I$ pisteissä. Tällöin derivaatat joukon $I$ pisteissä $x$ määrittelevät funktion $f'(x)$ , jota kutsutaan funktion $f$ derivaataksi.

Oikean- ja vasemmanpuoleisten raja-arvojen luonnehdinnasta havaitaan, että funktio on derivoituva pisteessä $a$ jos ja vain jos sillä on pisteessä $a$ sekä oikean- että vasemmanpuoleinen derivaatta ja ne ovat yhtäsuuret. Tällöin $f'(a)=f'(a-)=f'(a+)$ . Funktion $f$ derivaattaa merkitään myös

$f'(x)=D_xf(x)=Df(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}.$

Määritelmässä esiintyvää osamäärää kutsutaan erotusosamääräksi (difference quotient). Asettamalla $x=a+h$ funktion $f$ derivaatta pisteessä $a$ voidaan yhtäpitävästi kirjoittaa myös raja-arvona

$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$

Muistetaan, että pisteiden $(x_1,y_1)$ ja $(x_2,y_2)$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin (slope) on

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$

jolloin geometrisesti erotusosamäärä on $xy$ -koordinaatiston pisteiden $(a,f(a))$ ja $(x,f(x))$ kautta kulkevan sekantin (secant) kulmakerroin. Kun näiden pisteiden vaakasuuntaista etäisyyttä $h = x - a$ pienennetään, sekantti lähestyy funktion $f$ kuvaajan pisteeseen $(a, f(a))$ piirrettyä tangenttia (tangent). Pisteessä $a$ syntyvän derivaatan geometrinen tulkinta onkin pisteeseen $(a, f(a))$ piirretyn tangentin kulmakerroin.

Funktion $f$ derivoituvuus pisteessä $a$ tarkoittaa sitä, että kuvaajalla $y=f(x)$ on pisteessä $(a,f(a))$ yksikäsitteinen tangenttisuora kulmakertoimella $f'(a)$ . Pisteen $(x_1, y_1)$ kautta kulmakertoimella $k$ kulkevan suoran yhtälö on

$y = y_1 + k(x - x_1),$

joten funktion $f$ kuvaajalle kohtaan $a$ piirretyn tangenttisuoran yhtälö on

$y=f(a)+f'(a)(x-a).$

Tangenttisuoran yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että kuvaajalla ei voi olla pisteessä $a$ terävää kärkeä. Oheisessa kuvassa on hahmoteltu sekantti- ja tangenttisuoria, kun $h>0$ ( $h$ voi olla myös negatiivinen).

../_images/derivaattasekanttitangentti.svg

Esimerkki.

Lasketaan funktion $f(x)=3x^2-7x+5$ derivaatta pisteessä $3$ määritelmän avulla.

$\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} &=\frac{(3(3+h)^2-7(3+h)+5)-(3\cdot3^2-7\cdot3+5)}{h}\\ &=\frac{3h^2+11h}{h}=3h+11\to11,\end{aligned}\end{split}$

kun $h \to 0$ , joten $f'(3)=11$ .

Lause.

Jos $f$ on derivoituva pisteessä $a$ , niin $f$ on jatkuva pisteessä $a$ .

Todistus.

On osoitettava, että $f(x)\to f(a)$ , kun $x\to a$ . Näin on, sillä

$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\to f'(a)\cdot0=0,$

kun $x \to a$ . Huomaa, että $x \not= a$ , jolloin luvulla $x - a$ laventaminen ei tuota ongelmia. $\square$

Tälle lauseelle käänteinen väite ei ole voimassa, eli jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi tästä käy itseisarvofunktion $f(x)=|x|$ käyttäytyminen pisteessä $x=0$ .

Lause.

Olkoot $f$ ja $g$ pisteessä $x$ derivoituvia funktioita ja olkoon $c$ reaaliluku. Tällöin

$D(cf(x))=cf'(x)$
$D(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x)$
$D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ , jos $g(x)\ne0$ .

Todistus.

Kohtaa 1 varten tarkastellaan funktion $cf$ erotusosamäärää, jolle

$\frac{cf(x + h) - cf(x)}{h} = c\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \to cf'(x),$

kun $h \to 0$ , sillä $f$ on derivoituva pisteessä $x$ . Kohta 2 todistuu vastaavalla menetelmällä.

Kohdan 3 funktion $f(x)g(x)$ erotusosamäärän osoittajassa voidaan lisätä ja vähentää termi $f(x)g(x + h)$ , jolloin

$\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} &=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &\to f'(x)g(x)+f(x)g'(x),\end{aligned}\end{split}$

kun $h \to 0$ . Tässä $\lim\limits_{h\to0}g(x+h)=g(x)$ , sillä $g$ on jatkuva pisteessä $x$ .

Kohdan 4 todistamiseksi tutkitaan ensin funktion $1/g(x)$ erotusosamäärää. Lavennetaan termillä $g(x+h)g(x)$ , missä $g(x) \not= 0$ , jolloin

$\begin{aligned} \frac{\dfrac{1}{g(x+h)}-\dfrac{1}{g(x)}}{h} =\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\,\frac{1}{g(x+h)g(x)} \to-g'(x)\frac{1}{g(x)^2},\end{aligned}$

kun $h\to0$ . On siis osoitettu, että

$D\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2},$

kun $g(x) \not= 0$ . Nyt kohdasta 3 seuraa

$\begin{split}\begin{aligned} D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &=D\left(f(x)\dfrac{1}{g(x)}\right) =f'(x)\dfrac{1}{g(x)}+f(x)\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\frac{g'(x)}{g(x)^2} =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.\end{aligned}\end{split}$

$\square$

Lause.

Vakiofunktion $f(x)=c$ derivaatta on $f'(x) = 0$ .

Todistus.

Määritelmän mukaan

$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.$

$\square$

Esimerkki.

Laske $D\left(x^{-1}\right)$ , $D\left(x\right)$ ja $D\left(x^2\right)$ määritelmän avulla.

Ratkaisu.

Sovelletaan derivaatan määritelmää.

$\begin{split}\begin{aligned} D\left(x^{-1}\right) &=D\left(\frac1x\right) =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x} =-\frac{1}{x^2} =-x^{-2}\\ D\left(x\right)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}1=1\\ D(x^2)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x\end{aligned}\end{split}$

Jokaisen vastaantulevan funktion derivointi suoraan määritelmän avulla käy työlääksi, joten käsitellään muutamia derivointikaavoja laskujen suoraviivaistamiseksi. Yleistetään tämän esimerkin laskujen perusteella potenssifunktion derivointikaava.

Lause.

Jos $n\in\mathbb Z$ , ja $x\ne0$ jos $n<0$ , niin $D(x^n) = nx^{n - 1}$ .

Todistus.

Jos $n = 0$ , niin väite on $D(1) = 0$ , joka on tosi vakiofunktion derivointisäännön nojalla. Todistetaan väite positiiville kokonaisluvuille induktiolla.

Alkuaskel. Jos $n = 1$ , niin väite on $D(x) = 1$ , mikä osoitettiin edellä.
Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan $D(x^k) = kx^{k - 1}$ , kun $k$ on positiivinen kokonaisluku. Pyritään osoittamaan, että $D(x^{k + 1}) = (k + 1)x^k$ . Tulon derivointisäännön nojalla

$D(x^{k + 1}) = D(x \cdot x^k) = D(x)x^k + xD(x^k) \stackrel{\text{io}}{=} x^k + kx^k = (k + 1)x^k,$

eli induktioväite on tosi.

Induktioperiaatteen nojalla $D(x^n) = nx^{n - 1}$ aina, kun $n$ on positiivinen kokonaisluku.

Negatiivisia kokonaislukuja $n$ varten oletetaan, että $x \not= 0$ ja merkitään $m = -n$ . Tällöin $m$ on positiivinen kokonaisluku, ja edellä todistetun sekä osamäärän derivointisäännön nojalla

$D(x^n) = D\left(\frac{1}{x^m}\right) = \frac{D(1)x^m - D(x^m)}{(x^m)^2} = -\frac{mx^{m - 1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n - 1}.$

$\square$

Polynomi- ja rationaalifunktiot rakentuvat täsmälleen tämän lauseen käsittelemistä potenssifunktioista, jolloin derivaatan laskusääntöjen vuoksi ne ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan.

Esimerkki.

Funktion $f(x) = x^3 - \dfrac{1}{x^5}$ derivaatta on

$f'(x) = D(x^3 - x^{-5}) = D(x^3) - D(x^{-5}) = 3x^2 - (-5)x^{-6} = 3x^2 + \frac{5}{x^6}.$
Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 - 7}$ derivaatta on

$\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \frac{D(x^2 + x)(x^3 - 7) - (x^2 + x)D(x^3 - 7)}{(x^3 - 7)^2}\\ &= \frac{(2x + 1)(x^3 - 7) - 3x^2(x^2 + x)}{(x^3 - 7)^2} = \frac{-x^4-2x^3-14x-7}{(x^3-7)^2}. \end{aligned}\end{split}$

Esimerkki.

Mikä on käyrän $y=x^3-4x^2+7$ pisteeseen $(3,-2)$ piirretyn tangenttisuoran yhtälö?

Ratkaisu.

Kyseessä on funktion $y=y(x)$ kuvaaja, joten tangenttisuoran kulmakertoimen antaa derivaatan arvo pisteessä $3$ . Nyt $y(3) = -2$ $y'(x)=3x^2-8x$ , joten $y'(3)=3$ ja tangenttisuoran yhtälö on

$y=-2+3(x-3)=3x-11.$

Oman derivointisääntönsä ansaitsevat myös yhdistetty funktio ja käänteisfunktio.

Lause.

Olkoon funktio $g$ derivoituva pisteessä $x$ ja funktio $f$ derivoituva pisteessä $g(x)$ . Tällöin yhdistetty funktio $f \circ g$ on derivoituva pisteessä $x$ ja

$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$

Todistus.

Koska $g$ on derivoituva pisteessä $x$ , erotusosamäärä

$\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \to g'(x) \Leftrightarrow \frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) \to 0,$

kun $h \to 0$ . Merkitään tässä

$\frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) = \varepsilon_g(h),$

jolloin siis $\varepsilon_g(h) \to 0$ , kun $h \to 0$ . Ratkaisemalla nähdään, että

$g(x + h) = g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h).$

Vastaavasti, koska $f$ on derivoituva pisteessä $y = g(x)$ , erotusosamäärä

$\frac{f(y + k) - f(y)}{k} \to f'(y) \Leftrightarrow \frac{f(y + k) - f(y)}{k} - f'(y) \to 0,$

kun $h \to 0$ . Voidaan määritellä rinnakkainen $\varepsilon_f(k)$ , joka toteuttaa ehdot

$f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k)$

ja $\varepsilon_f(k) \to 0$ , kun $k \to 0$ .

Tutkitaan nyt yhdistetyn funktion $f \circ g$ arvoa pisteessä $x + h$ .

$(f \circ g)(x + h) = f(g(x + h)) = f\Big(g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\Big),$

missä $g(x) = y$ ja $0 \not= g'(x)h + h\varepsilon_g(h) = k$ on reaaliluku. Sijoittamalla nämä nähdään, että

$\begin{aligned} f(g(x + h)) = f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k) = f(g(x)) + f'(g(x))k + k\varepsilon_f(k).\end{aligned}$

Järjestellään termejä uudelleen ja sijoitetaan $k = g'(x)h + h\varepsilon_g(h)$ , jolloin

$\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} - f'(g(x))g'(x) \\ &= f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) = \varepsilon_{f \circ g}(h).\end{aligned}\end{split}$

Nyt väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että

$\varepsilon_{f \circ g}(h) = f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) \to 0,$

kun $h \to 0$ . Tämä toteutuu, sillä oletusten nojalla $\varepsilon_g(h) \to 0$ , kun $h \to 0$ , ja luvut $f'(g(x))$ ja $g'(x)$ ovat vakioita. Täten

$(f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = f'(g(x))g'(x).$

$\square$

Merkintöjä $u=f(g(x))$ ja $y=g(x)$ käyttäen edellinen derivointisääntö voidaan kirjoittaa muotoon

$D_x(u) = D_y(u)D_x(y)\qquad\text{tai}\qquad\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$

Kyseessä on siis eräänlainen ketju muuttujia, joiden suhteen edellinen funktio derivoidaan, ja lopuksi lasketaan derivaattojen tulo. Usein puhutaankin ketjusäännöstä, ja se on helppo muistaa derivaatan osamäärämerkinnässä. Kolmen funktion yhdistelmälle merkinnöin $u = f(g(h(x)))$ , $v = g(h(x))$ , $y = h(x)$ ketjusääntö voitaisiin kirjoittaa muodossa

$(f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\qquad\text{tai}\qquad \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$

Useammankin funktion yhdistelmän käsitteleminen on luonnollisesti myös mahdollista.

Esimerkki.

Derivoi $h(x)=\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^{11}$ .

Ratkaisu.

Tulkitaan $h$ funktioksi $h(x)=f(g(x))$ , missä $f(y)=y^{11}$ ja $g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$ . Koska $f'(y)=11y^{10}$ , niin

$h'(x)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}D\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}\Big(2x-\dfrac{1}{x^2}\Big).$

Lause.

Olkoon $f$ aidosti kasvava (vähenevä) ja derivoituva välillä $I$ . Merkitään $y=f(x)$ . Tällöin käänteisfunktio $f^{-1} : f(I)\to I$ on derivoituva niissä välin $f(I)$ pisteissä $y$ , joille $f'(x)\ne0$ , ja derivaatta pisteessä $y = f(x)$ on

$D_y(f^{-1}(y))=\frac{1}{f'(x)}.$

Todistus.

Aikaisemmin todistetun nojalla käänteisfunktio $f^{-1}$ on jatkuva ja $f(I)$ on todella reaalilukuväli. Tutkitaan käänteisfunktion erotusosamäärää pisteessä $y_0=f(x_0)$ . Merkitään $y=f(x)$ ja vaaditaan, että $y\ne y_0$ , jolloin myös $x\ne x_0$ .

$\begin{aligned} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} =\frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \to\frac{1}{f'(x_0)},\end{aligned}$

kun $y \to y_0$ , sillä $f^{-1}$ on jatkuva ja siten $x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0)=x_0$ , kun $y\to y_0$ . $\square$

Muilla merkintätavoilla käänteisfunktion derivoimissääntö voidaan kirjoittaa helposti muistettavaan muotoon

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\,}$

missä $\mathrm{d}x/\mathrm{d}y$ lasketaan pisteessä $y=f(x)$ ja $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ pisteessä $x$ .

Esimerkki.

Olkoon $y=f(x)=\sqrt[3]{x}$ . Laske $f'(x)$ .

Ratkaisu.

Tähän mennessä todistettu potenssifunktion derivointikaava koskee vain kokonaislukupotensseja, joten sitä ei voi soveltaa. Funktion $f$ käänteisfunktio $f^{-1}(y) = y^3$ on kuitenkin aidosti kasvava ja derivoituva, ja $D_yf^{-1}(y) = 3y^2 \not= 0$ , kun $y = f(x) \not= 0$ , eli kun $x \not= 0$ . Täten funktio $f$ on myös derivoituva kaikkialla paitsi pisteessä $0$ , ja

$f'(x) = \frac{1}{3y^2} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$

Käänteisfunktion derivointisäännön avulla potenssifunktion derivointikaava voidaan laajentaa kattamaan kaikki rationaaliluvut.

Lause.

Jos $r\in\mathbb Q$ , $x \not= 0$ ja potenssilausekkeen $x^r$ määrittelyehdot ovat voimassa, niin

$D(x^r)=rx^{r-1}.$

Todistus.

Tutkitaan ensin funktiota $y=f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ , missä $n\in\mathbb N$ . Funktiolla $f$ on aidosti kasvava ja derivoituva käänteisfunktio $x=f^{-1}(y)=y^n$ , jolle $D_yf^{-1}(y)=ny^{n-1} \not= 0$ , kun $y \not= 0$ , eli kun $x \not= 0$ . Täten myös $f$ on derivoituva ja

$f'(x)=\frac{1}{ny^{n-1}}=\frac{1}{n(x^{1/n})^{n-1}}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}.$

Siten lauseen väite on voimassa, kun $r=\frac{1}{n}$ .

Yleisessä tapauksessa kirjoitetaan $r=\frac{m}{n}$ , missä $n\in\mathbb N$ . Nyt ketjusäännön mukaan

$\begin{split}\begin{aligned} D(x^r)&=D\left(\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}D\left(x^{\frac{1}{n}}\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\ &=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}=rx^{r-1}.\end{aligned}\end{split}$

$\square$

Esimerkki.

$\displaystyle D(\sqrt{x})=D(x^{1/2})=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$\displaystyle D\left((3x^2-7)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac32(3x^2-7)^{1/2}\cdot 6x=9x\sqrt{3x^2-7}$ .