Korkeammat derivaatat¶

Jos derivoituvan funktion \(f\) derivaatta \(f'\) on sekin derivoituva, niin derivaattaa \(D(f'(x))\) kutsutaan funktion \(f\) toiseksi derivaataksi ja merkitään

\[f''(x)=f^{(2)}(x)=D(f'(x)).\]

Vastaavasti määritellään \(f\):n kolmas derivaatta

\[f^{(3)}(x)=D(f''(x)),\]

ja yleisesti \(n\):s derivaatta

\[f^{(n)}(x)=D(f^{(n-1)}(x)).\]

Esimerkki.

Lasketaan funktion \(f(x)=x^3+x^{3/2}\) neljä ensimmäistä derivaattaa.

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=3x^2+\frac32x^{1/2}\\ f''(x)&=6x+\frac34x^{-1/2}\\ f^{(3)}(x)&=6-\frac38x^{-3/2}\\ f^{(4)}(x)&=\frac{9}{16}x^{-5/2}\end{aligned}\end{split}\]

Korkeampia derivaattoja käytetään esimerkiksi funktion approksimointiin Taylorin polynomeilla, jotka parantavat lineaarista approksimaatiota. Toisen derivaatan avulla voidaan lisäksi tutkia derivaattafunktion kulkua ja tehdä tarkempia päätelmiä myös funktion \(f\) käyttäytymisestä.

Lause.

Olkoon \(f\) kahdesti derivoituva välillä \((a,b)\) ja olkoon välin \((a,b)\) piste \(c\) funktion \(f\) kriittinen piste, eli \(f'(c)=0\).

Jos \(f''(x)>0\) välillä \((a,b)\), niin \(c\) on funktion \(f\) lokaali minimipiste.
Jos \(f''(x)<0\) välillä \((a,b)\), niin \(c\) on funktion \(f\) lokaali maksimipiste.

Todistus.

Jos \(f''(x)>0\), niin aiemman lauseen nojalla funktio \(f'\) on aidosti kasvava välillä \((a,b)\). Tämän vuoksi sen merkin on vaihduttava negatiivisesta positiiviseksi pisteessä \(c\), ja \(c\) on funktion \(f\) lokaali minimipiste. Tapaus \(f''(x)<0\) todistuu vastaavasti. \(\square\)

Esimerkki.

Aiemman esimerkin funktion \(f(x)=x^3-3x+1\) derivaatalla \(f'(x)=3x^2-3\) on nollakohdat pisteissä \(\pm 1\). Toinen derivaatta \(f''(x)=6x\) on negatiivinen pisteen \(-1\) ja positiivinen pisteen \(1\) ympäristössä, joten funktiolla \(f\) on pisteissä \(-1\) ja \(1\) lokaalit maksimi- ja minimipisteet.

Määritelmä.

Kahdesti derivoituva funktio \(f\) on välillä \((a,b)\) alaspäin kupera (concave upward), jos \(f''(x)>0\) ja ylöspäin kupera (concave downward), jos \(f''(x)<0\) aina, kun \(x \in (a,b)\). Pistettä \(x\), jossa kuperuussuunta, eli toisen derivaatan merkki muuttuu kutsutaan käännepisteeksi (inflection point).

Alaspäin kuperan funktion \(f\) kuvaaja kaareutuu aina ylöspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa yläpuolella, sillä \(f'\) on kasvava funktio. Vastaavasti ylöspäin kuperan funktion derivaatta on vähenevä, joten funktion kuvaaja kaareutuu alaspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa alapuolella.

../_images/derivaattakonkaavitsuunnat.svg

Esimerkki.

Tarkastellaan funktiota \(f(x)=\sin x\) välillä \((-\pi,\pi)\). Nyt \(f'(x)=\cos x\) ja \(f''(x)=-\sin x\). Toisen derivaatan arvo pisteessä \(0\) on \(f''(0) = 0\), ja samalla \(f''\) vaihtaa merkkiä. Piste \(0\) on siis funktion \(f\) käännepiste, jossa se muuttuu alaspäin kuperasta ylöspäin kuperaksi..