Korkeammat derivaatat¶

Jos derivoituvan funktion $f$ derivaatta $f'$ on sekin derivoituva, niin derivaattaa $D(f'(x))$ kutsutaan funktion $f$ toiseksi derivaataksi ja merkitään

$f''(x)=f^{(2)}(x)=D(f'(x)).$

Vastaavasti määritellään $f$ :n kolmas derivaatta

$f^{(3)}(x)=D(f''(x)),$

ja yleisesti $n$ :s derivaatta

$f^{(n)}(x)=D(f^{(n-1)}(x)).$

Esimerkki.

Lasketaan funktion $f(x)=x^3+x^{3/2}$ neljä ensimmäistä derivaattaa.

$\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=3x^2+\frac32x^{1/2}\\ f''(x)&=6x+\frac34x^{-1/2}\\ f^{(3)}(x)&=6-\frac38x^{-3/2}\\ f^{(4)}(x)&=\frac{9}{16}x^{-5/2}\end{aligned}\end{split}$

Korkeampia derivaattoja käytetään esimerkiksi funktion approksimointiin Taylorin polynomeilla, jotka parantavat lineaarista approksimaatiota. Toisen derivaatan avulla voidaan lisäksi tutkia derivaattafunktion kulkua ja tehdä tarkempia päätelmiä myös funktion $f$ käyttäytymisestä.

Lause.

Olkoon $f$ kahdesti derivoituva välillä $(a,b)$ ja olkoon välin $(a,b)$ piste $c$ funktion $f$ kriittinen piste, eli $f'(c)=0$ .

Jos $f''(x)>0$ välillä $(a,b)$ , niin $c$ on funktion $f$ lokaali minimipiste.
Jos $f''(x)<0$ välillä $(a,b)$ , niin $c$ on funktion $f$ lokaali maksimipiste.

Todistus.

Jos

$f''(x)>0$ , niin aiemman lauseen nojalla funktio

$f'$ on aidosti kasvava välillä

$(a,b)$ . Tämän vuoksi sen merkin on vaihduttava negatiivisesta positiiviseksi pisteessä

$c$ , ja

$c$ on funktion

$f$ lokaali minimipiste. Tapaus

$f''(x)<0$ todistuu vastaavasti.

$\square$

Esimerkki.

Aiemman esimerkin funktion $f(x)=x^3-3x+1$ derivaatalla $f'(x)=3x^2-3$ on nollakohdat pisteissä $\pm 1$ . Toinen derivaatta $f''(x)=6x$ on negatiivinen pisteen $-1$ ja positiivinen pisteen $1$ ympäristössä, joten funktiolla $f$ on pisteissä $-1$ ja $1$ lokaalit maksimi- ja minimipisteet.

Määritelmä.

Kahdesti derivoituva funktio $f$ on välillä $(a,b)$ alaspäin kupera (concave upward), jos $f''(x)>0$ ja ylöspäin kupera (concave downward), jos $f''(x)<0$ aina, kun $x \in (a,b)$ . Pistettä $x$ , jossa kuperuussuunta, eli toisen derivaatan merkki muuttuu kutsutaan käännepisteeksi (inflection point).

Alaspäin kuperan funktion $f$ kuvaaja kaareutuu aina ylöspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa yläpuolella, sillä $f'$ on kasvava funktio. Vastaavasti ylöspäin kuperan funktion derivaatta on vähenevä, joten funktion kuvaaja kaareutuu alaspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa alapuolella.

../_images/derivaattakonkaavitsuunnat.svg

Esimerkki.

Tarkastellaan funktiota $f(x)=\sin x$ välillä $(-\pi,\pi)$ . Nyt $f'(x)=\cos x$ ja $f''(x)=-\sin x$ . Toisen derivaatan arvo pisteessä $0$ on $f''(0) = 0$ , ja samalla $f''$ vaihtaa merkkiä. Piste $0$ on siis funktion $f$ käännepiste, jossa se muuttuu alaspäin kuperasta ylöspäin kuperaksi..