Hyperboliset funktiot ja niiden käänteisfunktiot¶

Monissa sovelluksissa esiintyy tiettyjä funktioiden $e^x$ ja $e^{-x}$ kombinaatioita, joille annetaan omat nimensä käsittelyn helpottamiseksi.

Määritelmä.

Hyperbolinen sini $\sinh$ ja hyperbolinen kosini $\cosh$ ovat reaalifunktioita, joiden lausekkeet ovat

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\qquad\text{ja}\qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$

Hyperbolinen tangentti $\tanh$ on näiden suhde

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}.$

../_images/funktiohyperbolisetkuvaajat.svg

Kaikkien hyperbolisten funktioiden määrittelyjoukoksi käy koko reaalilukujen joukko $\mathbb R$ . Funktioiden kuvaajat on hahmoteltu kuvaan. Hyperbolisen sinin arvojoukko on $\mathbb R$ , hyperbolisen kosinin $[1,\infty)$ ja hyperbolisen tangentin $(-1,1)$ .

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö $\sinh x=3$ .

Ratkaisu.

Hyödynnetään hyperbolisen sinin määritelmää ja lavennetaan lausekkeella $e^x$ .

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^{2x} - 1}{2e^{x}} = 3.$

Koska $e^{x} \not= 0$ , yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $e^{2x} - 6e^x - 1 = 0$ , joka on toisen asteen polynomiyhtälö muuttujanaan $e^{x}$ . Täten

$e^x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = 3 + \sqrt{10},$

eli $x=\ln(3+\sqrt{10})\approx1{,}8184$ .

Hyperbolisille funktioille on voimassa monia samantapaisia kaavoja kuin trigonometrisille funktioille, kuten

$\begin{split}\begin{aligned} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\left(e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})\right) = 1.\end{aligned}\end{split}$

Ne on helppo johtaa tarvittaessa määritelmiin perustuvalla suoralla laskulla.

Kuten mistä tahansa funktiosta, myös hyperbolisista funktioista saadaan surjektioita rajoittamalla niiden maalijoukko arvojoukoksi. Hyperbolinen sini ja tangentti ovat aidosti kasvavia funktioita joukossa $\mathbb R$ ja hyperbolinen kosini joukossa $[0,\infty)$ , joten näissä joukoissa ne ovat myös injektioita. Täten niille voidaan määritellä käänteisfunktiot.

Määritelmä.

Areafunktiot ovat hyperbolisten funktioiden bijektiivisten rajoittumien käänteisfunktiot.

$\begin{split}\begin{aligned} &\sinh : \mathbb R\to \mathbb R&& \operatorname{ar\,sinh}: \mathbb R\to \mathbb R\\ &\cosh : [0, \infty) \to [1, \infty) && \operatorname{ar\,cosh}: [1, \infty) \to [0, \infty) \\ &\tanh : \mathbb R\to (-1, 1) && \operatorname{ar\,tanh}: (-1, 1) \to \mathbb R\end{aligned}\end{split}$

Näistä funktioista käytetään myös merkintöjä $\operatorname{ar\,sinh}= \sinh^{-1}$ , $\operatorname{ar\,cosh}= \cosh^{-1}$ ja $\operatorname{ar\,tanh}= \tanh^{-1}$ , joita ei tule sekoittaa potenssiin $-1$ .

Areafunktioille voidaan kehittää myös lausekkeet hyperbolisten funktioiden määritelmien avulla. Tässä voidaan edetä kuten aiemmassa esimerkissä, mutta merkitsemällä symbolisesti $\sinh x = y$ . Areasinin, areakosinin ja areatangentin säännöt ovat seuraavanlaiset.

$\begin{split}\begin{aligned} \operatorname{ar\,sinh}x&=\ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\big) && (x\in\mathbb R)\\ \operatorname{ar\,cosh}x&=\ln\big(x+\sqrt{x^2-1}\big) && (x\ge1)\\ \operatorname{ar\,tanh}x&=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) && (-1<x<1) \end{aligned}\end{split}$