Reaalifunktio¶

Funktio $f : A\to B$ on reaalifunktio, jos $A\subset\mathbb R$ ja $B\subset\mathbb R$ . Tyypillisesti reaalifunktiolle määrittelyjoukko $A$ on väli ja maalijoukko $B=\mathbb R$ .

Määritelmä.

Reaalifunktion $f : A\to\mathbb R$ kuvaaja (graph) on tasojoukko

$G_f=\{(x,f(x))\in\mathbb R^2 : x\in A\}=\{(x,y)\in\mathbb R^2 : x\in A,\ y=f(x)\}.$

Funktion $f$ kuvaajaa merkitään myös lyhyesti kirjoittamalla $y=f(x)$ .

Esimerkki.

Piirrä funktion $f : [-1,4]\to\mathbb R$ , $f(x)=x^3-5x^2+x$ kuvaaja.

Ratkaisu.

Lasketaan joitakin funktion $f$ arvoja.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$-7$	$0$	$-3$	$-10$	$-15$	$-12$

Funktion $f$ kuvaaja kulkee siis ainakin pisteiden $(-1,-7)$ , $(0,0)$ , $(1,-3)$ , $(2,-10)$ , $(3,-15)$ ja $(4,-12)$ kautta. Mitä tiheämpään pisteitä lasketaan, sen paremmin funktion kuvaaja saadaan hahmoteltua.

Myöhemmin funktion kulkua ja myös kuvaajaa tutkitaan derivaatan avulla.

Määritelmä.

Olkoon $f : A\to\mathbb R$ reaalifunktio. Jos kaikilla joukon $A$ alkioilla $x$ ja $y$

$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ , niin $f$ on kasvava,
$x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$ , niin $f$ on aidosti kasvava,
$x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)$ , niin $f$ on vähenevä,
$x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$ , niin $f$ on aidosti vähenevä.

Funktiota, joka on kasvava tai vähenevä, sanotaan monotoniseksi. Vastaavasti aidosti kasvavaa tai aidosti vähenevää funktiota sanotaan aidosti monotoniseksi.

Monotonisen funktion kuvaaja ei vaihda suuntaa, vaan etenee aina yleisesti ottaen ylös- tai alaspäin. Aidosti monotonisen funktion kuvaaja ei tämän lisäksi koskaan etene vaakasuuntaisesti.

Lause.

Aidosti monotoninen reaalifunktio $f : A\to\mathbb R$ on injektio.

Todistus.

Jos

$x\ne y$ , niin

$x<y$ tai

$y<x$ . Aidon monotonisuuden nojalla

$f(x)<f(y)$ tai

$f(y)<f(x)$ , joten

$f(x)\ne f(y)$ . Siis

$f$ on injektio.

$\square$

Funktiosta $f : A\to B$ saadaan aina surjektio, jos sen maalijoukoksi vaihdetaan arvojoukko, eli tarkastellaan funktiota $f : A\to f(A)$ . Niinpä arvojoukkoa muuttamalla mistä tahansa injektiosta saadaan bijektio, ja tällöin sillä on käänteisfunktio. Esimerkiksi funktiolla $f : [0,\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2+1$ ei ole käänteisfunktiota, sillä $f$ ei ole surjektio. Funktiolla $f : [0,\infty)\to[1,\infty)$ , $f(x)=x^2+1$ on puolestaan aiemman esimerkin mukaan käänteisfunktio.

Seuraus.

Aidosti monotonisella reaalifunktiolla $f : A \to f(A)$ on käänteisfunktio.

Reaalifunktion käänteisfunktio voidaan tulkita kuvaajien avulla geometrisesti.

Lause.

Jos reaalifunktiolla $f$ on käänteisfunktio $f^{-1}$ , niin funktioiden $f$ ja $f^{-1}$ kuvaajat $G_f$ ja $G_{f^{-1}}$ ovat peilikuvia suoran $y=x$ suhteen.

Todistus.

Pisteen $(x,y)$ peilikuva suoran $y=x$ suhteen on $(y,x)$ . Riittää siis osoittaa, että $(x,y)\in G_f$ jos ja vain jos $(y,x)\in G_{f^{-1}}$ . Todistetaan väite kahdessa osassa.

Jos $(x, y) \in G_f$ , niin $(y, x) \in G_{f^{-1}}$ . Jos $(x,y)\in G_f$ , niin $y=f(x)$ ja siten $x=f^{-1}(y)$ . Niinpä $(y,x)=(y,f^{-1}(y))\in G_{f^{-1}}$ .
Jos $(y, x) \in G_{f^{-1}}$ , niin $(x, y) \in G_f$ . Käänteisfunktion käänteisfunktio $(f^{-1})^{-1} = f$ , joten väite seuraa edellisestä kohdasta.

$\square$

Lause.

Jos reaalifunktio $f$ on aidosti kasvava (aidosti vähenevä) ja sillä on käänteisfunktio $f^{-1}$ , niin $f^{-1}$ on myös aidosti kasvava (aidosti vähenevä).

Todistus.

Oletetaan, että reaalifunktio

$f : A\to B$ on aidosti kasvava bijektio. Olkoot

$x$ ja

$y$ sellaisia maalijoukon alkioita, että

$x<y$ . Jos olisi

$f^{-1}(x)\ge f^{-1}(y)$ , niin funktion

$f$ aidon kasvavuuden nojalla olisi

$f(f^{-1}(x))\ge f(f^{-1}(y))$ , eli

$x\ge y$ . Tämä on ristiriita, joten on oltava

$f^{-1}(x)<f^{-1}(y)$ ja

$f^{-1}$ on siten aidosti kasvava. Aidosti vähenevän funktion tapaus todistuu vastaavasti.

$\square$

Lause.

Olkoot $f : A\to B$ ja $g : B\to C$ reaalifunktioita.

Jos $f$ ja $g$ ovat kasvavia, niin $g\circ f$ on kasvava.
Jos $f$ on kasvava ja $g$ on vähenevä, niin $g\circ f$ on vähenevä.

Todistus.

Todistetaan esimerkkinä kohta 2. Jos

$x, y\in A$ ja

$x<y$ , niin funktion

$f$ kasvavuuden nojalla

$f(x)\le f(y)$ . Siten funktion

$g$ vähenevyyden nojalla

$g(f(x))\ge g(f(y))$ , eli

$(g\circ f)(x)\ge(g\circ f)(y)$ . Niinpä

$g\circ f$ on vähenevä.

$\square$

Tutki itse tapaukset, joissa $f$ ja $g$ ovat väheneviä tai $f$ vähenevä ja $g$ kasvava.