Processing math: 100%
"

Raja-arvon määritelmä ja perusominaisuudet

Raja-arvolla tarkoitetaan sellaista reaalilukua, jota funktion f arvot lähestyvät tietyn pisteen lähistöllä. Ajatuksena on, että näin voidaan kuvailla funktion käyttäytymistä kyseisellä alueella. Tällaisella löysällä määritelmällä ei kuitenkaan saada aikaan matemaattiseen päättelyyn kelpaavaa työkalua. Ennen tarkkoja määritelmiä on syytä käydä läpi esimerkein miten erilaiset funktiot voivat käyttäytyä lähellä tiettyä pistettä, ja näin selvittää mihin erilaisten raja-arvon määritelmien tulisi ottaa kantaa.

Esimerkki.

  1. Funktio f(x)=x21 lähestyy lukua 1, kun x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 raja-arvo 1.

  2. Funktio

    f(x)=|x|x={1,kun x<01,kun x>0

    lähestyy lukua 1, kun x lähestyy nollaa oikealta ja lukua 1, kun x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen raja-arvo 1 ja vasemmanpuoleinen raja-arvo 1.

  3. Funktion f(x)=1x2 arvot kasvavat rajatta, kun x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 epäoleellinen raja-arvo .

    ../_images/funktioraja-arvokokeilut1.svg
    align:center
  4. Funktion f(x)=1x arvot kasvavat rajatta, kun x lähestyy nollaa oikealta ja vähenevät rajatta, kun x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo ja vasemmanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo .

  5. Funktion f(x)=sin(1x) arvot heilahtelevat kasvavalla taajuudella lukujen 1 ja 1 välissä, kun x lähestyy nollaa. Funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä 0.

    ../_images/funktioraja-arvokokeilut2.svg
    align:center

Määritelmä.

Reaaliluvun a sisältävää avointa väliä (c,d) kutsutaan pisteen a ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa (c,a)(a,d) pisteen a punkteeratuksi ympäristöksi.

../_images/funktioymparistotaalle.svg

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio f määritelty jossakin pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla f on raja-arvo (limit) LR pisteessä a, jos jokaista ε>0 kohti löydetään sellainen δ>0, että |f(x)L|<ε aina, kun 0<|xa|<δ,

ε>0 δ>0:0<|xa|<δ|f(x)L|<ε.

Tällöin merkitään

L=limxaf(x)taif(x)L, kun xa.
../_images/funktioraja-arvoepsilondelta.svg

Tämän määritelmän avulla voidaan tarkentaa, mitä sanonnat ”x on lähellä pistettä a” ja ”f(x) on lähellä arvoa L” tarkoittavat. Näissä tarkasteluissa funktion f ei välttämättä tarvitse edes olla määritelty pisteessä a, sillä raja-arvon määritelmän ehto 0<|xa| takaa, että xa eikä funktion arvoa siten koskaan lasketa pisteessä a.

Esimerkki.

Osoita, että limx2f(x)=1, kun f(x)=3x+7.

Ratkaisu.

Esimerkki.

Osoita, että limx1f(x)=3, kun f(x)=x2+3x7.

Todistus.

Kerrataan kolmioepäyhtälö, jota tarvitaan monissa seuraavista todistuksista.

Lause.

Jos x ja y ovat reaalilukuja, niin epäyhtälöt

  1. |x+y||x|+|y|
  2. |xy||x|+|y|
  3. ||x||y|||xy|

ovat voimassa.

Todistus.

Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä.

Lause.

Jos limxaf(x)=L ja limxag(x)=M, sekä cR, niin

  1. limxa(cf(x))=cL
  2. limxa(f(x)±g(x))=L±M,
  3. limxa(f(x)g(x))=LM,
  4. limxaf(x)g(x)=LM, jos M0.
Todistus.

Seuraus.

Jos limxaf(x) on olemassa, niin

limxaf(x)n=(limxaf(x))n,

kun nN.

Todistus.

Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä osoitettuihin raja-arvojen laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden raja-arvojen määrittämiseen.

Lause.

Jos cR, niin limxac=c ja limxax=a.

Todistus.

Esimerkki.

Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia raja-arvojen laskusääntöjä sekä edellisen lauseen tuloksia.

limx32x375x+3=limx3(2x37)limx3(5x+3)=2(limx3x)3limx375limx3x+limx33=233753+3=4718

Esimerkki.

  1. Raja-arvo

    limx3x2+2x3x2+5x+6

    on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee 0. Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa supistamalla yhteisen tekijä.

    limx3x2+2x3x2+5x+6=limx3(x1)(x+3)(x+2)(x+3)=limx3(x1)(x+2)=4
  2. Raja-arvoa

    limx212x

    ei ole olemassa, sillä funktion 12x itseisarvo kasvaa rajatta, kun x2.

Lause.

limxax=a

Todistus.

Lause.

Jos limxag(x)=L ja limyLf(y)=f(L), niin

limxaf(g(x))=f(limxag(x))=f(L).
Todistus.

Esimerkki.

  1. Juuri kirjoitetuista tuloksista seuraa, että

    limx52x21=limx5(2x21)=49=7.
  2. Tutkitaan raja-arvoa

    limx0x+42x.

    Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee 0, mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla lausekkeella x+4+2.

    x+42x=(x+4)4x(x+4+2)=1x+4+214,

    kun x0.

Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on kuristusperiaate.

Lause.

Olkoon f(x)g(x)h(x) aina, kun xa jossakin pisteen a ympäristössä ja oletetaan, että

limxaf(x)=L=limxah(x).

Tällöin limxag(x)=L.

Esimerkki.

Funktiolla g(x)=xsin1x on raja-arvo 0 pisteessä 0, sillä

|x|xsin1x|x|

ja f(x)=|x|0 ja h(x)=|x|0, kun x0.

../_images/funktiokuristusraja-arvo.svg