Raja-arvon määritelmä ja perusominaisuudet¶
Raja-arvolla tarkoitetaan sellaista reaalilukua, jota funktion f arvot lähestyvät tietyn pisteen lähistöllä. Ajatuksena on, että näin voidaan kuvailla funktion käyttäytymistä kyseisellä alueella. Tällaisella löysällä määritelmällä ei kuitenkaan saada aikaan matemaattiseen päättelyyn kelpaavaa työkalua. Ennen tarkkoja määritelmiä on syytä käydä läpi esimerkein miten erilaiset funktiot voivat käyttäytyä lähellä tiettyä pistettä, ja näin selvittää mihin erilaisten raja-arvon määritelmien tulisi ottaa kantaa.
Esimerkki.
Funktio f(x)=x2−1 lähestyy lukua −1, kun x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 raja-arvo −1.
Funktio
f(x)=|x|x={−1,kun x<01,kun x>0lähestyy lukua 1, kun x lähestyy nollaa oikealta ja lukua −1, kun x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen raja-arvo 1 ja vasemmanpuoleinen raja-arvo −1.
Funktion f(x)=1x2 arvot kasvavat rajatta, kun x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 epäoleellinen raja-arvo ∞.
align: center Funktion f(x)=1x arvot kasvavat rajatta, kun x lähestyy nollaa oikealta ja vähenevät rajatta, kun x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo ∞ ja vasemmanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo −∞.
Funktion f(x)=sin(1x) arvot heilahtelevat kasvavalla taajuudella lukujen −1 ja 1 välissä, kun x lähestyy nollaa. Funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä 0.
align: center
Tämän määritelmän avulla voidaan tarkentaa, mitä sanonnat ”x on lähellä pistettä a” ja ”f(x) on lähellä arvoa L” tarkoittavat. Näissä tarkasteluissa funktion f ei välttämättä tarvitse edes olla määritelty pisteessä a, sillä raja-arvon määritelmän ehto 0<|x−a| takaa, että x≠a eikä funktion arvoa siten koskaan lasketa pisteessä a.
Esimerkki.
Osoita, että limx→−2f(x)=1, kun f(x)=3x+7.
Esimerkki.
Osoita, että limx→1f(x)=−3, kun f(x)=x2+3x−7.
Kerrataan kolmioepäyhtälö, jota tarvitaan monissa seuraavista todistuksista.
Lause.
Jos x ja y ovat reaalilukuja, niin epäyhtälöt
- |x+y|≤|x|+|y|
- |x−y|≤|x|+|y|
- ||x|−|y||≤|x−y|
ovat voimassa.
Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä.
Lause.
Jos limx→af(x)=L ja limx→ag(x)=M, sekä c∈R, niin
- limx→a(cf(x))=cL
- limx→a(f(x)±g(x))=L±M,
- limx→a(f(x)g(x))=LM,
- limx→af(x)g(x)=LM, jos M≠0.
Seuraus.
Jos limx→af(x) on olemassa, niin
kun n∈N.
Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä osoitettuihin raja-arvojen laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden raja-arvojen määrittämiseen.
Lause.
Jos c∈R, niin limx→ac=c ja limx→ax=a.
Esimerkki.
Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia raja-arvojen laskusääntöjä sekä edellisen lauseen tuloksia.
Esimerkki.
Raja-arvo
limx→−3x2+2x−3x2+5x+6on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee 0. Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa supistamalla yhteisen tekijä.
limx→−3x2+2x−3x2+5x+6=limx→−3(x−1)(x+3)(x+2)(x+3)=limx→−3(x−1)(x+2)=4Raja-arvoa
limx→212−xei ole olemassa, sillä funktion 12−x itseisarvo kasvaa rajatta, kun x→2.
Lause.
limx→a√x=√a
Lause.
Jos limx→ag(x)=L ja limy→Lf(y)=f(L), niin
Esimerkki.
Juuri kirjoitetuista tuloksista seuraa, että
limx→5√2x2−1=√limx→5(2x2−1)=√49=7.Tutkitaan raja-arvoa
limx→0√x+4−2x.Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee 0, mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla lausekkeella √x+4+2.
√x+4−2x=(x+4)−4x(√x+4+2)=1√x+4+2→14,kun x→0.
Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on kuristusperiaate.
Lause.
Olkoon f(x)≤g(x)≤h(x) aina, kun x≠a jossakin pisteen a ympäristössä ja oletetaan, että
Tällöin limx→ag(x)=L.
Esimerkki.
Funktiolla g(x)=xsin1x on raja-arvo 0 pisteessä 0, sillä
ja f(x)=−|x|→0 ja h(x)=|x|→0, kun x→0.