Processing math: 22%
"

Raja-arvon määritelmä ja perusominaisuudet

Raja-arvolla tarkoitetaan sellaista reaalilukua, jota funktion f arvot lähestyvät tietyn pisteen lähistöllä. Ajatuksena on, että näin voidaan kuvailla funktion käyttäytymistä kyseisellä alueella. Tällaisella löysällä määritelmällä ei kuitenkaan saada aikaan matemaattiseen päättelyyn kelpaavaa työkalua. Ennen tarkkoja määritelmiä on syytä käydä läpi esimerkein miten erilaiset funktiot voivat käyttäytyä lähellä tiettyä pistettä, ja näin selvittää mihin erilaisten raja-arvon määritelmien tulisi ottaa kantaa.

Esimerkki.

  1. Funktio f(x)=x21 lähestyy lukua 1, kun x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 raja-arvo 1.

  2. Funktio

    f(x)=|x|x={1,kun x<01,kun x>0

    lähestyy lukua 1, kun x lähestyy nollaa oikealta ja lukua 1, kun x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen raja-arvo 1 ja vasemmanpuoleinen raja-arvo 1.

  3. Funktion f(x)=1x2 arvot kasvavat rajatta, kun x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 epäoleellinen raja-arvo .

    ../_images/funktioraja-arvokokeilut1.svg
    align:center
  4. Funktion f(x)=1x arvot kasvavat rajatta, kun x lähestyy nollaa oikealta ja vähenevät rajatta, kun x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo ja vasemmanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo .

  5. Funktion f(x)=sin(1x) arvot heilahtelevat kasvavalla taajuudella lukujen 1 ja 1 välissä, kun x lähestyy nollaa. Funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä 0.

    ../_images/funktioraja-arvokokeilut2.svg
    align:center

Määritelmä.

Reaaliluvun a sisältävää avointa väliä (c,d) kutsutaan pisteen a ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa (c,a)(a,d) pisteen a punkteeratuksi ympäristöksi.

../_images/funktioymparistotaalle.svg

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio f määritelty jossakin pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla f on raja-arvo (limit) LR pisteessä a, jos jokaista ε>0 kohti löydetään sellainen δ>0, että |f(x)L|<ε aina, kun 0<|xa|<δ,

ε>0 δ>0:0<|xa|<δ|f(x)L|<ε.

Tällöin merkitään

L=lim
../_images/funktioraja-arvoepsilondelta.svg

Tämän määritelmän avulla voidaan tarkentaa, mitä sanonnat ”x on lähellä pistettä a” ja ”f(x) on lähellä arvoa L” tarkoittavat. Näissä tarkasteluissa funktion f ei välttämättä tarvitse edes olla määritelty pisteessä a, sillä raja-arvon määritelmän ehto 0<|x-a| takaa, että x\ne a eikä funktion arvoa siten koskaan lasketa pisteessä a.

Esimerkki.

Osoita, että \lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1, kun f(x) = 3x + 7.

Ratkaisu.

Esimerkki.

Osoita, että \lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3, kun f(x) = x^2 + 3x - 7.

Todistus.

Kerrataan kolmioepäyhtälö, jota tarvitaan monissa seuraavista todistuksista.

Lause.

Jos x ja y ovat reaalilukuja, niin epäyhtälöt

  1. |x + y| \leq |x| + |y|
  2. |x - y| \leq |x| + |y|
  3. \big||x| - |y|\big| \leq |x - y|

ovat voimassa.

Todistus.

Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä.

Lause.

Jos \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L} ja \displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}, sekä c \in \mathbb R, niin

  1. \displaystyle{\lim_{x\to a}\big(cf(x)\big)}=cL
  2. \displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M},
  3. \displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)g(x)\big)=LM},
  4. \displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}}, jos M\ne0.
Todistus.

Seuraus.

Jos \lim\limits_{x\to a}f(x) on olemassa, niin

\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n,

kun n\in\mathbb N.

Todistus.

Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä osoitettuihin raja-arvojen laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden raja-arvojen määrittämiseen.

Lause.

Jos c \in \mathbb R, niin \lim\limits_{x \to a}c = c ja \lim\limits_{x \to a}x = a.

Todistus.

Esimerkki.

Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia raja-arvojen laskusääntöjä sekä edellisen lauseen tuloksia.

\begin{aligned} \lim_{x\to3}\frac{2x^3-7}{5x+3}&=\frac{\lim\limits_{x\to3}(2x^3-7)}{\lim\limits_{x\to3}(5x + 3)}=\frac{2\left(\lim\limits_{x\to3}x\right)^3-\lim\limits_{x\to3}7}{5\lim\limits_{x\to3}x + \lim\limits_{x\to3}3}=\frac{2\cdot3^3-7}{5\cdot3+3}=\frac{47}{18}\end{aligned}

Esimerkki.

  1. Raja-arvo

    \lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}

    on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee 0. Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa supistamalla yhteisen tekijä.

    \begin{aligned} \lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)(x+3)} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)}{(x+2)} =4 \end{aligned}
  2. Raja-arvoa

    \lim_{x\to2}\frac{1}{2-x}

    ei ole olemassa, sillä funktion \frac{1}{2-x} itseisarvo kasvaa rajatta, kun x\to2.

Lause.

\lim\limits_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}

Todistus.

Lause.

Jos \lim\limits_{x\to a}g(x)=L ja \lim\limits_{y\to L}f(y)=f(L), niin

\lim_{x\to a}f(g(x))=f\Big(\lim_{x\to a}g(x)\Big)=f(L).
Todistus.

Esimerkki.

  1. Juuri kirjoitetuista tuloksista seuraa, että

    \lim_{x\to5}\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{\lim_{x\to5}(2x^2-1)}=\sqrt{49}=7.
  2. Tutkitaan raja-arvoa

    \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.

    Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee 0, mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla lausekkeella \sqrt{x+4}+2.

    \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} =\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} =\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \to\frac14,

    kun x \to 0.

Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on kuristusperiaate.

Lause.

Olkoon f(x)\le g(x)\le h(x) aina, kun x\ne a jossakin pisteen a ympäristössä ja oletetaan, että

\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x).

Tällöin \lim\limits_{x\to a}g(x)=L.

Esimerkki.

Funktiolla g(x)=x\sin\frac1x on raja-arvo 0 pisteessä 0, sillä

-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|

ja f(x)=-|x|\to0 ja h(x)=|x|\to0, kun x\to0.

../_images/funktiokuristusraja-arvo.svg