Raja-arvon määritelmä ja perusominaisuudet¶

Olkoon \(\varepsilon > 0\) mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen \(\delta > 0\), että olettamalla \(0 < |x - (-2)| < \delta\) saadaan perusteltua rajaus \(|f(x) - 1| < \varepsilon\). Pyritään kirjoittamaan lauseketta \(|f(x) - 1|\) sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke \(|x - (-2)| = |x + 2|\).

Valitaan \(\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0\) ja oletetaan, että \(0 < |x + 2| < \delta\). Tällöin edellisen nojalla

mikä todistaa väitteen.

Olkoon \(\varepsilon > 0\) mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen \(\delta > 0\), että olettamalla \(0 < |x - 1| < \delta\) saadaan perusteltua ehto \(|f(x) + 3| < \varepsilon\). Pyritään jälleen tuomaan \(|x - 1|\) näkyviin lausekkeessa \(|f(x) + 3|\).

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle \(\delta\) voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi \(1\). Jos tiedetään, että \(\delta \leq 1\), niin rajauksen \(|x-1|<\delta\) jälkeen on oltava \(0 < x < 1\). Mutta tämän vuoksi \(4 < |x + 4| < 5\), eli

Valitaan \(\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{5}, 1\right\}\) ja oletetaan, että \(0 < |x - 1| < \delta\). Tällöin

mikä todistaa väitteen. \(\square\)

Olkoot \(x\) ja \(y\) reaalilukuja ja todistetaan väitteet järjestyksessä.

1. Itseisarvon määritelmän mukaan \(x=-|x|\) tai \(x=|x|\), joten

   \[-|x|\le x\le|x|\]

   ja vastaavasti

   \[-|y|\le y\le|y|.\]

   Laskemalla nämä epäyhtälöt puolittain yhteen saadaan

   \[-(|x|+|y|)\le x+y\le|x|+|y|,\]

   joten \(|x+y|\le|x|+|y|\).

2. Väite seuraa suoraan ensimmäisestä kohdasta.

   \[|x-y|=|x+(-y)|\le|x|+|-y|=|x|+|y|.\]

3. Ensimmäisen kohdan nojalla

   \[|x|=|(x-y)+y|\le|x-y|+|y|,\]

   joten \(|x|-|y|\le|x-y|\). Vastaavasti osoitetaan, että \(|y|-|x| \leq |y - x| = |x - y|\), jolloin \(-|x - y| \leq |x| - |y|\), ja täten \(\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|\).

\(\square\)

Olkoon \(\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}\) ja \(\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}\), sekä \(\varepsilon > 0\). Nyt määritelmän mukaisesti on löydyttävä \(\delta_1 > 0\) ja \(\delta_2 > 0\), joille

kun \(0<|x-a|<\delta_1\) ja

kun \(0<|x-a|<\delta_2\). Nyt voidaan päätellä jokaista kohtaa varten sopiva \(\delta > 0\), jolla asianmukaisen funktion arvot voidaan rajata tietylle etäisyydelle väitetystä raja-arvosta. Esimerkiksi summalle \(f(x)+g(x)\) valitaan \(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}\) ja oletetaan, että \(0 < |x - a| < \delta\). Tällöin molemmat edellä mainituista epäyhtälöistä ovat voimassa, ja täten kolmioepäyhtälön nojalla

Koska \(\varepsilon > 0\) on mielivaltainen, myös \(2\varepsilon > 0\) edustaa mitä tahansa reaalilukua, ja täten väite on todistettu. \(\square\)

Oletetaan, että \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) on olemassa ja todistetaan väite induktiolla.

1. Alkuaskel. Jos \(n = 1\), niin väite on ilmeisesti tosi.

2. Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan

   \[\lim_{x\to a}f(x)^k=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^k,\]

   kun \(k \in \mathbb N\). Pyritään osoittamaan, että

   \[\lim_{x\to a}f(x)^{k+1}=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^{k+1}.\]

   Induktio-oletuksen ja edellisen lauseen nojalla voidaan kirjoittaa

   \[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x \to a}f(x)^{k + 1} &= \lim_{x \to a}\left(f(x)f(x)^k\right) = \lim_{x \to a}f(x)\lim_{x \to a}f(x)^k \\ &\stackrel{\text{io}}{=} \left(\lim_{x \to a}f(x)\right)\left(\lim_{x \to a}f(x)\right)^k = \left(\lim_{x \to a}f(x)\right)^{k + 1}, \end{aligned}\end{split}\]

   eli induktioväite on tosi.

Induktioperiaatteen nojalla siis \(\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n\) kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\). \(\square\)

Olkoon \(\varepsilon > 0\) ja \(\delta = \varepsilon > 0\). Tällöin

aina, kun \(0 < |x - a| < \delta\). Näin molemmat väitteet on todistettu. \(\square\)

Tarkastellaan lauseketta

Jos \(0 < x < a\), niin \(\sqrt{x}\sqrt{a} < \sqrt{a}\sqrt{a} = a\), ja jos \(0 < a < x\), niin \(\sqrt{x}\sqrt{a} < \sqrt{x}\sqrt{x} = x\), sillä neliöjuuri on kasvava funktio. Tämän vuoksi

eli \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{a}\right)^2\leq|x-a|\) ja edelleen

Olkoon nyt \(\varepsilon > 0\) ja valitaan \(\delta = \varepsilon^2\). Jos \(0 < |x - a| < \delta\), niin

Tämä todistaa väitteen. \(\square\)

Olkoon \(\epsilon>0\). Oletusten nojalla on löydyttävä sellaiset \(\delta'>0\) ja \(\delta>0\), että

kun \(0 < |y - L| < \delta'\) ja edelleen

kun \(0 < |x - a| < \delta\). Merkitään \(y=g(x)\), jolloin oletuksesta \(0 < |x - a| < \delta\) seuraa \(|g(x) - L| < \delta'\). Jos \(g(x) = L\), niin

ja jos \(g(x) \not= L\), niin \(0 < |g(x) - L| < \delta'\) ja täten

\(\square\)