Raja-arvon määritelmä ja perusominaisuudet
Raja-arvolla tarkoitetaan sellaista reaalilukua, jota funktion f
arvot lähestyvät tietyn pisteen lähistöllä. Ajatuksena on, että näin
voidaan kuvailla funktion käyttäytymistä kyseisellä alueella.
Tällaisella löysällä määritelmällä ei kuitenkaan saada aikaan
matemaattiseen päättelyyn kelpaavaa työkalua. Ennen tarkkoja määritelmiä
on syytä käydä läpi esimerkein miten erilaiset funktiot voivat
käyttäytyä lähellä tiettyä pistettä, ja näin selvittää mihin erilaisten
raja-arvon määritelmien tulisi ottaa kantaa.
Esimerkki.
Funktio f(x)=x2−1 lähestyy lukua −1, kun
x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on
pisteessä 0 raja-arvo −1.
Funktio
f(x)=|x|x={−1,kun x<01,kun x>0
lähestyy lukua 1, kun x lähestyy nollaa oikealta ja
lukua −1, kun x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan,
että funktiolla f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen
raja-arvo 1 ja vasemmanpuoleinen raja-arvo −1.
Funktion f(x)=1x2 arvot kasvavat rajatta, kun
x lähestyy nollaa. Sanotaan, että funktiolla f on
pisteessä 0 epäoleellinen raja-arvo ∞.
Funktion f(x)=1x arvot kasvavat rajatta, kun
x lähestyy nollaa oikealta ja vähenevät rajatta, kun
x lähestyy nollaa vasemmalta. Sanotaan, että funktiolla
f on pisteessä 0 oikeanpuoleinen epäoleellinen
raja-arvo ∞ ja vasemmanpuoleinen epäoleellinen raja-arvo
−∞.
Funktion f(x)=sin(1x) arvot
heilahtelevat kasvavalla taajuudella lukujen −1 ja 1
välissä, kun x lähestyy nollaa. Funktiolla f ei ole
raja-arvoa pisteessä 0.
Tämän määritelmän avulla voidaan tarkentaa, mitä sanonnat ”x
on lähellä pistettä a” ja ”f(x) on lähellä arvoa
L” tarkoittavat. Näissä tarkasteluissa funktion f ei
välttämättä tarvitse edes olla määritelty pisteessä a, sillä
raja-arvon määritelmän ehto 0<|x-a| takaa, että x\ne a
eikä funktion arvoa siten koskaan lasketa pisteessä a.
Esimerkki.
Osoita, että \lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1, kun
f(x) = 3x + 7.
Olkoon \varepsilon > 0 mielivaltainen. Tavoitteena
on löytää sellainen \delta > 0, että olettamalla
0 < |x - (-2)| < \delta saadaan perusteltua rajaus
|f(x) - 1| < \varepsilon. Pyritään kirjoittamaan lauseketta
|f(x) - 1| sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke
|x - (-2)| = |x + 2|.
|3x + 7 - 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3|x + 2|
Valitaan \delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0 ja oletetaan, että
0 < |x + 2| < \delta. Tällöin edellisen nojalla
|f(x) - 1| = 3|x + 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,
mikä todistaa väitteen.
Esimerkki.
Osoita, että \lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3, kun
f(x) = x^2 + 3x - 7.
Olkoon \varepsilon > 0 mielivaltainen. Yritetään
jälleen löytää sellainen \delta > 0, että olettamalla
0 < |x - 1| < \delta saadaan perusteltua ehto
|f(x) + 3| < \varepsilon. Pyritään jälleen tuomaan
|x - 1| näkyviin lausekkeessa |f(x) + 3|.
|x^2 + 3x - 7 + 3| = |x^2 + 3x - 4| = |(x - 1)(x + 4)| = |x - 1||x + 4|
Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää
väliä, ja tämän vuoksi luvulle \delta voidaan asettaa ylärajaksi
esimerkiksi 1. Jos tiedetään, että \delta \leq 1, niin
rajauksen |x-1|<\delta jälkeen on oltava 0 < x < 1.
Mutta tämän vuoksi 4 < |x + 4| < 5, eli
4|x - 1| < |x - 1||x + 4| < 5|x - 1|.
Valitaan \delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{5}, 1\right\} ja
oletetaan, että 0 < |x - 1| < \delta. Tällöin
|f(x) + 3| = |x - 1||x + 4| < 5|x - 1| < 5\delta = 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon,
mikä todistaa väitteen. \square
Kerrataan kolmioepäyhtälö, jota tarvitaan monissa seuraavista
todistuksista.
Lause.
Jos x ja y ovat reaalilukuja, niin
epäyhtälöt
- |x + y| \leq |x| + |y|
- |x - y| \leq |x| + |y|
- \big||x| - |y|\big| \leq |x - y|
ovat voimassa.
Olkoot x ja y reaalilukuja ja todistetaan
väitteet järjestyksessä.
Itseisarvon määritelmän mukaan x=-|x| tai x=|x|,
joten
-|x|\le x\le|x|
ja vastaavasti
-|y|\le y\le|y|.
Laskemalla nämä epäyhtälöt puolittain yhteen saadaan
-(|x|+|y|)\le x+y\le|x|+|y|,
joten |x+y|\le|x|+|y|.
Väite seuraa suoraan ensimmäisestä kohdasta.
|x-y|=|x+(-y)|\le|x|+|-y|=|x|+|y|.
Ensimmäisen kohdan nojalla
|x|=|(x-y)+y|\le|x-y|+|y|,
joten |x|-|y|\le|x-y|. Vastaavasti osoitetaan, että
|y|-|x| \leq |y - x| = |x - y|, jolloin
-|x - y| \leq |x| - |y|, ja täten
\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|.
\square
Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo
on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän
raja-arvo on raja-arvojen osamäärä.
Lause.
Jos \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L} ja
\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}, sekä
c \in \mathbb R, niin
- \displaystyle{\lim_{x\to a}\big(cf(x)\big)}=cL
- \displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M},
- \displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)g(x)\big)=LM},
- \displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}},
jos M\ne0.
Olkoon \displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L} ja
\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}, sekä
\varepsilon > 0. Nyt määritelmän mukaisesti on löydyttävä
\delta_1 > 0 ja \delta_2 > 0, joille
|f(x)-L|<\varepsilon,
kun 0<|x-a|<\delta_1 ja
|g(x)-M|<\varepsilon,
kun 0<|x-a|<\delta_2. Nyt voidaan päätellä jokaista kohtaa
varten sopiva \delta > 0, jolla asianmukaisen funktion arvot
voidaan rajata tietylle etäisyydelle väitetystä raja-arvosta.
Esimerkiksi summalle f(x)+g(x) valitaan
\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} ja oletetaan, että
0 < |x - a| < \delta. Tällöin molemmat edellä mainituista
epäyhtälöistä ovat voimassa, ja täten kolmioepäyhtälön nojalla
|f(x) + g(x) - (L + M)| = |f(x) - L + g(x) - M| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.
Koska \varepsilon > 0 on mielivaltainen, myös
2\varepsilon > 0 edustaa mitä tahansa reaalilukua, ja täten
väite on todistettu. \square
Seuraus.
Jos \lim\limits_{x\to a}f(x) on olemassa, niin
\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n,
kun n\in\mathbb N.
Oletetaan, että \lim\limits_{x\to a}f(x) on
olemassa ja todistetaan väite induktiolla.
Alkuaskel. Jos n = 1, niin väite on ilmeisesti tosi.
Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan
\lim_{x\to a}f(x)^k=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^k,
kun k \in \mathbb N. Pyritään osoittamaan, että
\lim_{x\to a}f(x)^{k+1}=\left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^{k+1}.
Induktio-oletuksen ja edellisen lauseen nojalla voidaan kirjoittaa
\begin{split}\begin{aligned}
\lim_{x \to a}f(x)^{k + 1} &= \lim_{x \to a}\left(f(x)f(x)^k\right) = \lim_{x \to a}f(x)\lim_{x \to a}f(x)^k \\
&\stackrel{\text{io}}{=} \left(\lim_{x \to a}f(x)\right)\left(\lim_{x \to a}f(x)\right)^k = \left(\lim_{x \to a}f(x)\right)^{k + 1},
\end{aligned}\end{split}
eli induktioväite on tosi.
Induktioperiaatteen nojalla siis
\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n
kaikilla luonnollisilla luvuilla n. \square
Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä osoitettuihin raja-arvojen
laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden
raja-arvojen määrittämiseen.
Lause.
Jos c \in \mathbb R, niin
\lim\limits_{x \to a}c = c ja
\lim\limits_{x \to a}x = a.
Olkoon \varepsilon > 0 ja
\delta = \varepsilon > 0. Tällöin
|c - c| = 0 < \varepsilon
\qquad\text{ja}\qquad
|x - a| < \delta = \varepsilon
aina, kun 0 < |x - a| < \delta. Näin molemmat väitteet on
todistettu. \square
Esimerkki.
Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia
raja-arvojen laskusääntöjä
sekä edellisen lauseen tuloksia.
\begin{aligned}
\lim_{x\to3}\frac{2x^3-7}{5x+3}&=\frac{\lim\limits_{x\to3}(2x^3-7)}{\lim\limits_{x\to3}(5x + 3)}=\frac{2\left(\lim\limits_{x\to3}x\right)^3-\lim\limits_{x\to3}7}{5\lim\limits_{x\to3}x + \lim\limits_{x\to3}3}=\frac{2\cdot3^3-7}{5\cdot3+3}=\frac{47}{18}\end{aligned}
Esimerkki.
Raja-arvo
\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}
on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan
osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee
0. Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin
nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa
supistamalla yhteisen tekijä.
\begin{aligned}
\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}
=\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)(x+3)}
=\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)}{(x+2)}
=4
\end{aligned}
Raja-arvoa
\lim_{x\to2}\frac{1}{2-x}
ei ole olemassa, sillä funktion \frac{1}{2-x} itseisarvo
kasvaa rajatta, kun x\to2.
Lause.
\lim\limits_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}
Tarkastellaan lauseketta
\begin{aligned}
\left(\sqrt{x}-\sqrt{a}\right)^2&=x-2\sqrt{x}\sqrt{a}+a.\end{aligned}
Jos 0 < x < a, niin
\sqrt{x}\sqrt{a} < \sqrt{a}\sqrt{a} = a, ja jos
0 < a < x, niin \sqrt{x}\sqrt{a} < \sqrt{x}\sqrt{x} = x,
sillä neliöjuuri on kasvava funktio. Tämän vuoksi
\begin{split}\begin{cases}
x-2\sqrt{x}\sqrt{a}+a\leq x-2a+a=x-a,&\text{kun }x\geq a\\
x-2\sqrt{x}\sqrt{a}+a<x-2x+a=-(x-a),&\text{kun }x<a,
\end{cases}\end{split}
eli \left(\sqrt{x}-\sqrt{a}\right)^2\leq|x-a| ja edelleen
|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\le\sqrt{|x-a|}.
Olkoon nyt \varepsilon > 0 ja valitaan
\delta = \varepsilon^2. Jos 0 < |x - a| < \delta, niin
|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\le\sqrt{|x-a|}<\sqrt{\delta}=\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon.
Tämä todistaa väitteen. \square
Lause.
Jos \lim\limits_{x\to a}g(x)=L ja
\lim\limits_{y\to L}f(y)=f(L), niin
\lim_{x\to a}f(g(x))=f\Big(\lim_{x\to a}g(x)\Big)=f(L).
Olkoon \epsilon>0. Oletusten nojalla on löydyttävä
sellaiset \delta'>0 ja \delta>0, että
|f(y)-f(L)|<\varepsilon,
kun 0 < |y - L| < \delta' ja edelleen
|g(x)-L|<\delta',
kun 0 < |x - a| < \delta. Merkitään y=g(x), jolloin
oletuksesta 0 < |x - a| < \delta seuraa
|g(x) - L| < \delta'. Jos g(x) = L, niin
|f(g(x)) - f(L)| = |f(L) - f(L)| = 0 < \varepsilon,
ja jos g(x) \not= L, niin 0 < |g(x) - L| < \delta' ja
täten
|f(g(x))-f(L)|<\varepsilon.
\square
Esimerkki.
Juuri kirjoitetuista tuloksista seuraa, että
\lim_{x\to5}\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{\lim_{x\to5}(2x^2-1)}=\sqrt{49}=7.
Tutkitaan raja-arvoa
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.
Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee
0, mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla
lausekkeella \sqrt{x+4}+2.
\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}
=\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}
=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}
\to\frac14,
kun x \to 0.
Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on
kuristusperiaate.
Lause.
Olkoon f(x)\le g(x)\le h(x) aina, kun x\ne a
jossakin pisteen a ympäristössä ja oletetaan, että
\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x).
Tällöin \lim\limits_{x\to a}g(x)=L.
Esimerkki.
Funktiolla g(x)=x\sin\frac1x on raja-arvo
0 pisteessä 0, sillä
-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|
ja f(x)=-|x|\to0 ja h(x)=|x|\to0, kun x\to0.