Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio¶

Edellä todettiin, että funktio $f : A\to B$ on bijektio jos ja vain jos jokaista joukon $B$ vastaa täsmälleen yksi sellainen joukon $A$ alkio, että $f(x)=y$ . Tämä vastaavuus voidaan kääntää funktion $f$ käänteisfunktion (inverse function) määrittelemiseksi.

$\begin{aligned} f^{-1} : B \to A, \qquad f^{-1}(y)=x.\end{aligned}$

Käänteisfunktio on olemassa vain, jos $f$ on bijektio.

Funktio $f : A \to B$ ja sen käänteisfunktio $f^{-1} : B \to A$ toteuttavat siis ehdot

$y=f(x)\ \Leftrightarrow\ x=f^{-1}(y)$

$f^{-1}(f(x))=x\qquad\text{ja}\qquad f(f^{-1}(y))=y$

kaikilla joukon $A$ alkioilla $x$ ja kaikilla joukon $B$ alkioilla $y$ .

Esimerkki.

Osoita, että funktio $f : [0,\infty) \to [1,\infty)$ , $f(x)=x^2+1$ on bijektio ja määritä sen käänteisfunktion lauseke.

Ratkaisu.

Olkoon $y\in[1,\infty)$ . Tällöin

$\begin{split}\begin{aligned} f(x)=y&\Leftrightarrow x^2+1=y\\ &\stackrel{\geq 0}{\Leftrightarrow} x^2=y-1\\ &\Leftrightarrow x=\sqrt{y-1} \quad\text{tai}\quad x=-\sqrt{y-1}\end{aligned}\end{split}$

Näistä $-\sqrt{y - 1}$ ei sisälly funktion $f$ määrittelyjoukkoon, joten on olemassa täsmälleen yksi sellainen välin $[0, \infty)$ alkio $x$ , että $f(x)=y$ . Täten $f$ on bijektio, ja sen käänteisfunktio on

$f^{-1}\colon[1,\infty)\to[0,\infty),\ f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}.$

Tarkistetaan vielä käänteisfunktion ominaisuudet.

$\begin{split}\begin{aligned} f(f^{-1}(y))&=(\sqrt{y-1})^2+1=(y-1)+1=y\\ f^{-1}(f(x))&=\sqrt{(x^2+1)-1}=\sqrt{x^2}=|x|=x\end{aligned}\end{split}$

Funktio ja sen käänteisfunktio muistuttavat ominaisuuksiltaan matriisia $A$ , $\det(A) \not= 0$ ja sen käänteismatriisia $A^{-1}$ , joille $AA^{-1} = I = A^{-1}A$ . Mikä funktioiden operaatio vastaisi tässä vertauksessa matriisikertolaskua?

Määritelmä.

Jos $f : A\to B$ ja $g : B\to C$ ovat funktioita, niin yhdistetty funktio (composite function) $g\circ f : A\to C$ määritellään asettamalla

$\begin{aligned} (g\circ f)(x)=g(f(x)).\end{aligned}$

Funktiota $f$ sanotaan sisäfunktioksi ja funktiota $g$ ulkofunktioksi. Merkintä $g\circ f$ luetaan yksinkertaisesti ”g pallo f”.

Kuvan mukaisesti yhdistetty funktio ikään kuin kuljettaa määrittelyjoukon $A$ alkion $x$ joukon $B$ alkion $f(x)$ kautta lopulliselle kuvalle $g(f(x))$ arvojoukossa $C$ .

Esimerkki.

Olkoot $f$ ja $g$ funktioita säännöillä $f(x)=x^3+3$ ja $g(x)=\sqrt{x-1}$ . Näistä voidaan muodostaa yhdistetyt funktiot

$\begin{split}\begin{aligned} (f\circ g)(x)&=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^3+3=(x-1)^{3/2}+3&&(x\ge1)\\ (g\circ f)(x)&=g(x^3+3)=\sqrt{(x^3+3)-1}=\sqrt{x^3+2}&&(x\ge-\sqrt[3]{2}). \end{aligned}\end{split}$
Olkoot $f$ ja $g$ funktioita säännöillä $f(x)=\dfrac{2}{x}$ ja $g(x)=\dfrac{x}{1-x}$ . Nyt

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{2}{\frac{x}{1-x}}=\frac{2(1-x)}{x}.$

Jotta sisäfunktio $g(x)$ olisi määritelty, on oltava $x\ne1$ . Toisaalta ulkofunktion määrittely vaatii, että $g(x)\ne0$ , eli $x\ne0$ . Yhdistetyn funktion $f\circ g$ määrittelyjoukko on siis $\mathbb R\setminus\{0,1\}$ . Samalla tavoin yhdistetyn funktion

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{\frac2x}{1-\frac2x}=\frac{2}{x-2}$

määrittelyjoukoksi saadaan $\mathbb R\setminus\{0,2\}$ .

Esimerkki.

Olkoot

$\begin{split}\begin{aligned} &f : \mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ f(x_1,x_2)=(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)\qquad\text{ja}\\ &g : \mathbb R^3\to\mathbb R,\ g(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3\end{aligned}\end{split}$

funktioita. Tällöin voidaan muodostaa yhdistetty funktio $g\circ f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ ,

$(g\circ f)(x_1,x_2)=g(f(x_1,x_2))=g(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)=x_1^2\cdot x_1x_2\cdot(x_1+1),$

mutta $f\circ g$ ei ole määritelty. Vertaa tilanteeseen, jossa matriisien tulo on määritelty vain tietyssä järjestyksessä.

Jos käänteisfunktio toimii kuin käänteisluku, niin mikä on funktioiden vastine matriisitulon $AA^{-1} = I$ tulokselle? Identiteettimatriisilla kertominen tuottaa alkuperäisen matriisin, ja sellainen funktio, joka varmasti ei muuta yhdisteessä ulko- tai sisäfunktiota on $\operatorname{id}(x) = x$ ! Tässä funktiota $\operatorname{id}$ kutsutaan identtiseksi kuvaukseksi. Aiemmin esitellyt käänteisfunktioparin $f : A \to B$ ja $f^{-1} : B \to A$ toteuttamat ehdot voidaan nyt tulkita funktioiden yhdisteen avulla muodossa

$\begin{aligned} f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A\qquad\text{ja}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B,\end{aligned}$

missä alaindeksimerkintöjä käytetään muistuttamaan, minkä joukon alkioille identtinen kuvaus toimii.