Toispuoleiset raja-arvot
Raja-arvon määritelmä vaatii, että funktio on määritelty
tarkastelupisteen molemmilla puolilla. Tämä ei aina toteudu, tai joskus
funktion arvot voivat lähestyä eri lukuja pisteen eri puolilla. Tästä
huolimatta on usein mielekästä sovelta raja-arvon käsitettä.
Toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on edellytys varsinaisen
raja-arvon olemassaololle.
Lause.
Olkoon reaalifunktio f määritelty pisteen a
punkteeratussa ympäristössä. Tällöin
L=limx→af(x),
jos ja vain jos
limx→a−f(x)=L=limx→a+f(x).
Esimerkki.
Funktiolla
f(x)={x2−1,kun x<1,2−x,kun x>1,
on toispuoleiset raja-arvot
limx→1−f(x)=0jalimx→1+f(x)=1,
joten ei ole olemassa raja-arvoa limx→1f(x).
Funktiolla
f(x)={x2,kun x<0,xsin1x,kun x>0,
on toispuoleiset raja-arvot
limx→0−f(x)=0=limx→0+f(x),
joten on olemassa raja-arvo limx→0f(x)=0.
Funktiolla
f(x)={1,kun x<0,sin1x,kun x>0,
on vasemmanpuoleinen raja-arvo limx→0−f(x)=1, mutta ei
oikeanpuoleista raja-arvoa limx→0+f(x), eikä
siten myöskään raja-arvoa limx→0f(x).
Tarkastellaan seuraavaksi erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä
toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan
tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista pisteessä 0.
Lemma.
limθ→0sinθ=0 ja
limθ→0cosθ=1.
Tarkastellaan ensin alla olevaa yksikköympyrän ensimmäistä
neljännestä esittävää kuvaa.
Pisteet (cosθ,sinθ), (cosθ,0) ja
(1,0) virittävät suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien
pituudet ovat sinθ ja 1−cosθ. Ne molemmat
ovat lyhyempiä kuin pisteet (cosθ,sinθ) ja
(1,0) yhdistävä hypotenuusa, joka puolestaan on lyhyempi kuin
samojen pisteiden välillä piirretty origokeskisen ympyrän kaari. Kulman
määritelmän mukaisesti tämän kaaren pituus on θ, jolloin
siis ensimmäisessä neljänneksessä sinθ≤θ ja
1−cosθ≤θ. Tämä argumentti yleistyy myös
negatiivisille kulman arvoille siten, että
|sinθ|≤|θ|ja|1−cosθ|≤|θ|.
Olkoon nyt ε>0, δ=ε ja
0<|θ−0|=|θ|<δ. Tällöin
|sinθ−0|=|sinθ|≤|θ|<δ=ε
ja
|cosθ−1|=|1−cosθ|≤|θ|<δ=ε,
mikä todistaa väitteet. ◻
Todistetaan lause geometrisesti.
Oletetaan, että 0<θ<π2. Oheisesta kuvasta
päätellään, että x-akselin ja pisteen
(cosθ,sinθ) rajaaman kolmion pinta-ala on pienempi
kuin niiden rajaaman ympyräsektorin pinta-ala. Viimeksi mainittu on
lisäksi pienempi kuin x-akselin ja pisteen
(1,tanθ) rajaaman kolmion pinta-ala.
1-säteisen kiekon pinta-ala on π⋅12=π, joten
kulmaan θ rajautuvan sektorin pinta-ala on
π⋅θ2π=θ2. Kolmioiden
pinta-alat voidaan laskea tutusti kateettien avulla, joten
12cosθsinθ≤θ2≤12⋅1⋅tanθ=12sinθcosθ.
Edelleen kertomalla luvulla 2 ja jakamalla luvulla
sinθ≠0 nähdään, että
cosθ≤θsinθ≤1cosθ.
Ottamalla käänteisluvut järjestys kääntyy ja saadaan
1cosθ≥sinθθ≥cosθ.
Koska limθ→0cosθ=1, niin
kuristusperiaatteen nojalla
limθ→0+sinθθ=1.
Olettamalla −π2<θ<0 ja käsittelemällä vastaavan
tilanteen neljännessä neljänneksessä tulokseksi saadaan
limθ→0−sinθθ=1,
joten väite on todistettu toispuoleisten raja-arvojen
olemassaoloon vetoamalla.
◻
Funktiolla f:R∖{0}→R,
f(x)=sinxx on keskeinen merkitys useissa
signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein
erityisnimitys sinc(x). Matematiikassa tämän
raja-arvon merkitys tulee esille trigonometristen funktioiden
derivointikaavojen johtamisissa.
Esimerkki.
Osoitetaan, että
limx→01−cosxx=0.
Lavennetaan lausekkeella 1+cosx ja käytetään tietoa
sin2x=1−cos2x.
1−cosxx=1−cos2xx(1+cosx)=sinxxsinx1+cosx→1⋅01+1=0,
kun x→0.
Esimerkki.
Selvitä itsellesi raja-arvon
limx→0tan(2x)x=2(limx→0sin(2x)2x)(limx→01cos(2x))=2⋅1⋅11=2
määrityksen välivaiheet.