Toispuoleiset raja-arvot¶

Raja-arvon määritelmä vaatii, että funktio on määritelty tarkastelupisteen molemmilla puolilla. Tämä ei aina toteudu, tai joskus funktion arvot voivat lähestyä eri lukuja pisteen eri puolilla. Tästä huolimatta on usein mielekästä sovelta raja-arvon käsitettä.

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio \(f\) määritelty joukossa \((a,d)\). Funktiolla \(f\) on oikeanpuoleinen raja-arvo \(L\in\mathbb R\) pisteessä \(a\), jos jokaista \(\varepsilon > 0\) kohti löydetään sellainen \(\delta > 0\), että \(|f(x)-L|<\varepsilon\) aina, kun \(a<x<a+\delta\),

\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : a<x<a+\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[L=\lim_{x\to a+}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to a+.\]

Vastaavasti, jos funktio \(f\) on määritelty joukossa \((c,a)\), niin sillä on vasemmanpuoleinen raja-arvo \(L\in\mathbb R\) pisteessä \(a\), jos

\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : a-\delta<x<a\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[L=\lim_{x\to a-}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to a-.\]

Toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on edellytys varsinaisen raja-arvon olemassaololle.

Lause.

Olkoon reaalifunktio \(f\) määritelty pisteen \(a\) punkteeratussa ympäristössä. Tällöin

\[L=\lim_{x\to a}f(x),\]

jos ja vain jos

\[\lim_{x\to a-}f(x)=L=\lim_{x\to a+}f(x).\]

Esimerkki.

Funktiolla

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x<1,\\ 2-x,&\text{kun }x>1, \end{cases}\end{split}\]

on toispuoleiset raja-arvot

\[\lim_{x\to1-}f(x)=0\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to1+}f(x)=1,\]

joten ei ole olemassa raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to1}f(x)\).

align: center
Funktiolla

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2,&\text{kun }x<0,\\ x\sin\dfrac{1}{x},&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}\]

on toispuoleiset raja-arvot

\[\lim_{x\to0-}f(x)=0=\lim_{x\to0+}f(x),\]

joten on olemassa raja-arvo \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=0\).
Funktiolla

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} 1,&\text{kun }x<0,\\ \sin\dfrac1x,&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}\]

on vasemmanpuoleinen raja-arvo \(\lim_{x\to0-}f(x)=1\), mutta ei oikeanpuoleista raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to0+}f(x)\), eikä siten myöskään raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to0}f(x)\).

align:	center

Tarkastellaan seuraavaksi erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista pisteessä \(0\).

Lemma.

\(\lim\limits_{\theta\to0}\sin\theta = 0\) ja \(\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta = 1\).

Todistus.

Tarkastellaan ensin alla olevaa yksikköympyrän ensimmäistä neljännestä esittävää kuvaa.

Pisteet \((\cos\theta, \sin\theta)\), \((\cos\theta, 0)\) ja \((1, 0)\) virittävät suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien pituudet ovat \(\sin\theta\) ja \(1 - \cos\theta\). Ne molemmat ovat lyhyempiä kuin pisteet \((\cos\theta, \sin\theta)\) ja \((1, 0)\) yhdistävä hypotenuusa, joka puolestaan on lyhyempi kuin samojen pisteiden välillä piirretty origokeskisen ympyrän kaari. Kulman määritelmän mukaisesti tämän kaaren pituus on \(\theta\), jolloin siis ensimmäisessä neljänneksessä \(\sin\theta \leq \theta\) ja \(1 - \cos\theta \leq \theta\). Tämä argumentti yleistyy myös negatiivisille kulman arvoille siten, että

\[|\sin\theta| \leq |\theta|\qquad\text{ja}\qquad|1 - \cos\theta| \leq |\theta|.\]

Olkoon nyt \(\varepsilon > 0\), \(\delta = \varepsilon\) ja \(0 < |\theta - 0| = |\theta| < \delta\). Tällöin

\[|\sin\theta - 0| = |\sin\theta| \leq |\theta| < \delta = \varepsilon\]

\[|\cos\theta - 1| = |1 - \cos\theta| \leq |\theta| < \delta = \varepsilon,\]

mikä todistaa väitteet. \(\square\)

Lause.

\(\lim\limits_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1\)

Todistus.

Todistetaan lause geometrisesti.

Oletetaan, että \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\). Oheisesta kuvasta päätellään, että \(x\)-akselin ja pisteen \((\cos\theta, \sin\theta)\) rajaaman kolmion pinta-ala on pienempi kuin niiden rajaaman ympyräsektorin pinta-ala. Viimeksi mainittu on lisäksi pienempi kuin \(x\)-akselin ja pisteen \((1, \tan\theta)\) rajaaman kolmion pinta-ala.

\(1\)-säteisen kiekon pinta-ala on \(\pi\cdot1^2=\pi\), joten kulmaan \(\theta\) rajautuvan sektorin pinta-ala on \(\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{2}\). Kolmioiden pinta-alat voidaan laskea tutusti kateettien avulla, joten

\[\frac12\cos\theta\sin\theta\le\frac{\theta}{2}\le\frac12\cdot1\cdot\tan\theta=\frac12\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.\]

Edelleen kertomalla luvulla \(2\) ja jakamalla luvulla \(\sin\theta \not= 0\) nähdään, että

\[\cos\theta\le\frac{\theta}{\sin\theta}\le\frac{1}{\cos\theta}.\]

Ottamalla käänteisluvut järjestys kääntyy ja saadaan

\[\frac{1}{\cos\theta}\ge\frac{\sin\theta}{\theta}\ge\cos\theta.\]

Koska \(\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta=1\), niin kuristusperiaatteen nojalla

\[\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1.\]

Olettamalla \(-\frac{\pi}{2}<\theta<0\) ja käsittelemällä vastaavan tilanteen neljännessä neljänneksessä tulokseksi saadaan

\[\lim\limits_{\theta\to0-}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1,\]

joten väite on todistettu toispuoleisten raja-arvojen olemassaoloon vetoamalla. \(\square\)

Funktiolla \(f : \mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R\), \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) on keskeinen merkitys useissa signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein erityisnimitys \(\operatorname{sinc}(x)\). Matematiikassa tämän raja-arvon merkitys tulee esille trigonometristen funktioiden derivointikaavojen johtamisissa.

Esimerkki.

Osoitetaan, että

\[\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.\]

Lavennetaan lausekkeella \(1+\cos x\) ja käytetään tietoa \(\sin^2x=1-\cos^2x\).

\[\frac{1-\cos x}{x} =\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)} =\frac{\sin x}{x}\,\frac{\sin x}{1+\cos x} \to1\cdot\frac{0}{1+1}=0,\]

kun \(x\to0\).

Esimerkki.

Selvitä itsellesi raja-arvon

\[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{x} &=2\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(2x)}\right) =2\cdot1\cdot\frac{1}{1}=2\end{aligned}\]

määrityksen välivaiheet.