Toispuoleiset raja-arvot
Raja-arvon määritelmä vaatii, että funktio on määritelty
tarkastelupisteen molemmilla puolilla. Tämä ei aina toteudu, tai joskus
funktion arvot voivat lähestyä eri lukuja pisteen eri puolilla. Tästä
huolimatta on usein mielekästä sovelta raja-arvon käsitettä.
Toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on edellytys varsinaisen
raja-arvon olemassaololle.
Lause.
Olkoon reaalifunktio f määritelty pisteen a
punkteeratussa ympäristössä. Tällöin
L=\lim_{x\to a}f(x),
jos ja vain jos
\lim_{x\to a-}f(x)=L=\lim_{x\to a+}f(x).
Esimerkki.
Funktiolla
\begin{split}f(x)=\begin{cases}
x^2-1,&\text{kun }x<1,\\
2-x,&\text{kun }x>1,
\end{cases}\end{split}
on toispuoleiset raja-arvot
\lim_{x\to1-}f(x)=0\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to1+}f(x)=1,
joten ei ole olemassa raja-arvoa \lim\limits_{x\to1}f(x).
Funktiolla
\begin{split}f(x)=\begin{cases}
x^2,&\text{kun }x<0,\\
x\sin\dfrac{1}{x},&\text{kun }x>0,
\end{cases}\end{split}
on toispuoleiset raja-arvot
\lim_{x\to0-}f(x)=0=\lim_{x\to0+}f(x),
joten on olemassa raja-arvo \lim\limits_{x\to0}f(x)=0.
Funktiolla
\begin{split}f(x)=\begin{cases}
1,&\text{kun }x<0,\\
\sin\dfrac1x,&\text{kun }x>0,
\end{cases}\end{split}
on vasemmanpuoleinen raja-arvo \lim_{x\to0-}f(x)=1, mutta ei
oikeanpuoleista raja-arvoa \lim\limits_{x\to0+}f(x), eikä
siten myöskään raja-arvoa \lim\limits_{x\to0}f(x).
Tarkastellaan seuraavaksi erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä
toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan
tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista pisteessä 0.
Lemma.
\lim\limits_{\theta\to0}\sin\theta = 0 ja
\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta = 1.
Tarkastellaan ensin alla olevaa yksikköympyrän ensimmäistä
neljännestä esittävää kuvaa.
Pisteet (\cos\theta, \sin\theta), (\cos\theta, 0) ja
(1, 0) virittävät suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien
pituudet ovat \sin\theta ja 1 - \cos\theta. Ne molemmat
ovat lyhyempiä kuin pisteet (\cos\theta, \sin\theta) ja
(1, 0) yhdistävä hypotenuusa, joka puolestaan on lyhyempi kuin
samojen pisteiden välillä piirretty origokeskisen ympyrän kaari. Kulman
määritelmän mukaisesti tämän kaaren pituus on \theta, jolloin
siis ensimmäisessä neljänneksessä \sin\theta \leq \theta ja
1 - \cos\theta \leq \theta. Tämä argumentti yleistyy myös
negatiivisille kulman arvoille siten, että
|\sin\theta| \leq |\theta|\qquad\text{ja}\qquad|1 - \cos\theta| \leq |\theta|.
Olkoon nyt \varepsilon > 0, \delta = \varepsilon ja
0 < |\theta - 0| = |\theta| < \delta. Tällöin
|\sin\theta - 0| = |\sin\theta| \leq |\theta| < \delta = \varepsilon
ja
|\cos\theta - 1| = |1 - \cos\theta| \leq |\theta| < \delta = \varepsilon,
mikä todistaa väitteet. \square
Lause.
\lim\limits_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1
Todistetaan lause geometrisesti.
Oletetaan, että 0<\theta<\frac{\pi}{2}. Oheisesta kuvasta
päätellään, että x-akselin ja pisteen
(\cos\theta, \sin\theta) rajaaman kolmion pinta-ala on pienempi
kuin niiden rajaaman ympyräsektorin pinta-ala. Viimeksi mainittu on
lisäksi pienempi kuin x-akselin ja pisteen
(1, \tan\theta) rajaaman kolmion pinta-ala.
1-säteisen kiekon pinta-ala on \pi\cdot1^2=\pi, joten
kulmaan \theta rajautuvan sektorin pinta-ala on
\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{2}. Kolmioiden
pinta-alat voidaan laskea tutusti kateettien avulla, joten
\frac12\cos\theta\sin\theta\le\frac{\theta}{2}\le\frac12\cdot1\cdot\tan\theta=\frac12\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Edelleen kertomalla luvulla 2 ja jakamalla luvulla
\sin\theta \not= 0 nähdään, että
\cos\theta\le\frac{\theta}{\sin\theta}\le\frac{1}{\cos\theta}.
Ottamalla käänteisluvut järjestys kääntyy ja saadaan
\frac{1}{\cos\theta}\ge\frac{\sin\theta}{\theta}\ge\cos\theta.
Koska \lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta=1, niin
kuristusperiaatteen nojalla
\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1.
Olettamalla -\frac{\pi}{2}<\theta<0 ja käsittelemällä vastaavan
tilanteen neljännessä neljänneksessä tulokseksi saadaan
\lim\limits_{\theta\to0-}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1,
joten väite on todistettu toispuoleisten raja-arvojen
olemassaoloon vetoamalla.
\square
Funktiolla f : \mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R,
f(x) = \frac{\sin x}{x} on keskeinen merkitys useissa
signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein
erityisnimitys \operatorname{sinc}(x). Matematiikassa tämän
raja-arvon merkitys tulee esille trigonometristen funktioiden
derivointikaavojen johtamisissa.
Esimerkki.
Osoitetaan, että
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.
Lavennetaan lausekkeella 1+\cos x ja käytetään tietoa
\sin^2x=1-\cos^2x.
\frac{1-\cos x}{x}
=\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)}
=\frac{\sin x}{x}\,\frac{\sin x}{1+\cos x}
\to1\cdot\frac{0}{1+1}=0,
kun x\to0.
Esimerkki.
Selvitä itsellesi raja-arvon
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{x}
&=2\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(2x)}\right)
=2\cdot1\cdot\frac{1}{1}=2\end{aligned}
määrityksen välivaiheet.