Processing math: 12%
"

Toispuoleiset raja-arvot

Raja-arvon määritelmä vaatii, että funktio on määritelty tarkastelupisteen molemmilla puolilla. Tämä ei aina toteudu, tai joskus funktion arvot voivat lähestyä eri lukuja pisteen eri puolilla. Tästä huolimatta on usein mielekästä sovelta raja-arvon käsitettä.

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio f määritelty joukossa (a,d). Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo LR pisteessä a, jos jokaista ε>0 kohti löydetään sellainen δ>0, että |f(x)L|<ε aina, kun a<x<a+δ,

ε>0 δ>0:a<x<a+δ|f(x)L|<ε.

Tällöin merkitään

L=lim

Vastaavasti, jos funktio f on määritelty joukossa (c,a), niin sillä on vasemmanpuoleinen raja-arvo L\in\mathbb R pisteessä a, jos

\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : a-\delta<x<a\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.

Tällöin merkitään

L=\lim_{x\to a-}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to a-.

Toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on edellytys varsinaisen raja-arvon olemassaololle.

Lause.

Olkoon reaalifunktio f määritelty pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Tällöin

L=\lim_{x\to a}f(x),

jos ja vain jos

\lim_{x\to a-}f(x)=L=\lim_{x\to a+}f(x).

Esimerkki.

  1. Funktiolla

    \begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x<1,\\ 2-x,&\text{kun }x>1, \end{cases}\end{split}

    on toispuoleiset raja-arvot

    \lim_{x\to1-}f(x)=0\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to1+}f(x)=1,

    joten ei ole olemassa raja-arvoa \lim\limits_{x\to1}f(x).

    ../_images/funktiopalattoispuoleinenraja.svg
    align:center
  2. Funktiolla

    \begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2,&\text{kun }x<0,\\ x\sin\dfrac{1}{x},&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}

    on toispuoleiset raja-arvot

    \lim_{x\to0-}f(x)=0=\lim_{x\to0+}f(x),

    joten on olemassa raja-arvo \lim\limits_{x\to0}f(x)=0.

  3. Funktiolla

    \begin{split}f(x)=\begin{cases} 1,&\text{kun }x<0,\\ \sin\dfrac1x,&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}

    on vasemmanpuoleinen raja-arvo \lim_{x\to0-}f(x)=1, mutta ei oikeanpuoleista raja-arvoa \lim\limits_{x\to0+}f(x), eikä siten myöskään raja-arvoa \lim\limits_{x\to0}f(x).

Tarkastellaan seuraavaksi erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista pisteessä 0.

Lemma.

\lim\limits_{\theta\to0}\sin\theta = 0 ja \lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta = 1.

Todistus.

Lause.

\lim\limits_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1

Todistus.

Funktiolla f : \mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R, f(x) = \frac{\sin x}{x} on keskeinen merkitys useissa signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein erityisnimitys \operatorname{sinc}(x). Matematiikassa tämän raja-arvon merkitys tulee esille trigonometristen funktioiden derivointikaavojen johtamisissa.

../_images/funktiosinckuvaaja.svg

Esimerkki.

Osoitetaan, että

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.

Lavennetaan lausekkeella 1+\cos x ja käytetään tietoa \sin^2x=1-\cos^2x.

\frac{1-\cos x}{x} =\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)} =\frac{\sin x}{x}\,\frac{\sin x}{1+\cos x} \to1\cdot\frac{0}{1+1}=0,

kun x\to0.

Esimerkki.

Selvitä itsellesi raja-arvon

\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{x} &=2\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(2x)}\right) =2\cdot1\cdot\frac{1}{1}=2\end{aligned}

määrityksen välivaiheet.