Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
"

Toispuoleiset raja-arvot

Raja-arvon määritelmä vaatii, että funktio on määritelty tarkastelupisteen molemmilla puolilla. Tämä ei aina toteudu, tai joskus funktion arvot voivat lähestyä eri lukuja pisteen eri puolilla. Tästä huolimatta on usein mielekästä sovelta raja-arvon käsitettä.

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio f määritelty joukossa (a,d). Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo LR pisteessä a, jos jokaista ε>0 kohti löydetään sellainen δ>0, että |f(x)L|<ε aina, kun a<x<a+δ,

ε>0 δ>0:a<x<a+δ|f(x)L|<ε.

Tällöin merkitään

L=limxa+f(x)taif(x)L, kun xa+.

Vastaavasti, jos funktio f on määritelty joukossa (c,a), niin sillä on vasemmanpuoleinen raja-arvo LR pisteessä a, jos

ε>0 δ>0:aδ<x<a|f(x)L|<ε.

Tällöin merkitään

L=limxaf(x)taif(x)L, kun xa.

Toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on edellytys varsinaisen raja-arvon olemassaololle.

Lause.

Olkoon reaalifunktio f määritelty pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Tällöin

L=limxaf(x),

jos ja vain jos

limxaf(x)=L=limxa+f(x).

Esimerkki.

  1. Funktiolla

    f(x)={x21,kun x<1,2x,kun x>1,

    on toispuoleiset raja-arvot

    limx1f(x)=0jalimx1+f(x)=1,

    joten ei ole olemassa raja-arvoa limx1f(x).

    ../_images/funktiopalattoispuoleinenraja.svg
    align:center
  2. Funktiolla

    f(x)={x2,kun x<0,xsin1x,kun x>0,

    on toispuoleiset raja-arvot

    limx0f(x)=0=limx0+f(x),

    joten on olemassa raja-arvo limx0f(x)=0.

  3. Funktiolla

    f(x)={1,kun x<0,sin1x,kun x>0,

    on vasemmanpuoleinen raja-arvo limx0f(x)=1, mutta ei oikeanpuoleista raja-arvoa limx0+f(x), eikä siten myöskään raja-arvoa limx0f(x).

Tarkastellaan seuraavaksi erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista pisteessä 0.

Lemma.

limθ0sinθ=0 ja limθ0cosθ=1.

Todistus.

Lause.

limθ0sinθθ=1

Todistus.

Funktiolla f:R{0}R, f(x)=sinxx on keskeinen merkitys useissa signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein erityisnimitys sinc(x). Matematiikassa tämän raja-arvon merkitys tulee esille trigonometristen funktioiden derivointikaavojen johtamisissa.

../_images/funktiosinckuvaaja.svg

Esimerkki.

Osoitetaan, että

limx01cosxx=0.

Lavennetaan lausekkeella 1+cosx ja käytetään tietoa sin2x=1cos2x.

1cosxx=1cos2xx(1+cosx)=sinxxsinx1+cosx101+1=0,

kun x0.

Esimerkki.

Selvitä itsellesi raja-arvon

limx0tan(2x)x=2(limx0sin(2x)2x)(limx01cos(2x))=2111=2

määrityksen välivaiheet.