Raja-arvokäsitteen laajennukset¶

Tähän asti määritellyt raja-arvokäsitteet kattavat vain funktioiden äärelliset arvot äärellisissä reaalilukupisteissä. Tämä ei kuitenkaan riitä kuvaamaan kaikkia aloitusesimerkin tapauksia.

Epäoleelliset raja-arvot¶

Jos funktion \(f\) arvot kasvavat rajatta pistettä \(a\) lähestyttäessä, on intuitiivista sanoa, että funktiolla \(f\) on raja-arvo \(\infty\) pisteessä \(a\). Vastaavasti rajatta vähenevässä tapauksessa funktiolla on raja-arvo \(-\infty\) tarkastelupisteessä.

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio \(f\) määritelty pisteen \(a\) punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla \(f\) on epäoleellinen raja-arvo \(\infty\) pisteessä \(a\), jos jokaista reaalilukua \(M\) kohti löydetään sellainen \(\delta > 0\), että \(f(x) > M\) aina, kun \(0 < |x - a| < \delta\),

\[\forall M\in\mathbb R\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to a}f(x)=\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to\infty,\text{ kun }x\to a.\]

Vastaavasti funktiolla \(f\) on epäoleellinen raja-arvo :math:`-infty` pisteessä :math:`a`, jos

\[\forall M\in\mathbb R\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)<M.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to-\infty,\text{ kun }x\to a.\]

Huomaa, että epäoleellisen raja-arvon määritelmässä funktion arvojen täytyy kasvaa tai vähentyä molemmilla puolilla raja-arvopistettä. Epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot määritellään vastaavasti kuin äärelliset toispuoleiset raja-arvot. Aikaisemmin esiteltyjä raja-arvojen laskusääntöjä ja toispuoleisten raja-arvojen kriteeriä voidaan käyttää myös epäoleellisille raja-arvoille seuraavia äärettömän laskusääntöjä soveltaen. Tässä \(c \in \mathbb R\).

\(c+\infty=\infty\) ja \(c-\infty=-\infty\)
\(c\cdot\infty=\infty\), jos \(c>0\) ja \(c\cdot\infty=-\infty\), jos \(c<0\)
\(\dfrac{c}{\pm\infty}=0\)
\(\infty+\infty=\infty\) ja \(-\infty-\infty=-\infty\)
\(\infty\cdot\infty=\infty\), \((-\infty)\cdot(-\infty)=\infty\), \(\infty\cdot(-\infty)=-\infty\)

Esimerkki.

Funktiolla \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-3}\) on epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot

\[\lim_{x\to3-}f(x)=-\infty\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to3+}f(x)=\infty,\]

sillä \(\sqrt{x}\to\sqrt{3}\), kun \(x\to3\) ja \(x-3\to0\pm\), kun \(x\to3\pm\). Niinpä epäoleellista raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to3}f(x)\) ei ole olemassa.
\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^8}{(x-2)^2}=\lim_{x\to2}\big(x^8\big)\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=2^8\cdot\infty=\infty\).

Seuraavat muodot ovat epämääräisiä eikä niistä raja-arvolaskuissa voida tehdä mitään johtopäätöksiä.

\[\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty},\quad \frac00,\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty\]

Voidaan osoittaa, että jokaisen merkinnän arvo olisi monikäsitteinen. Esimerkiksi

\[1=\lim_{x\to0+}1=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac1x=0\cdot\infty,\]

mutta toisaalta

\[2=\lim_{x\to0+}2=\lim_{x\to0+}(2x)\cdot\frac{1}{x}=0\cdot\infty,\]

tai jopa

\[\infty=\lim_{x\to0+}\frac1x=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac{1}{x^2}=0\cdot\infty.\]

Raja-arvo äärettömyydessä¶

Jos funktion \(f\) arvot \(f(x)\) lähestyvät reaalilukua \(L\), kun \(x\) kasvaa rajatta, on intuitiivista sanoa, että funktiolla \(f\) on raja-arvo \(L\) äärettömyydessä.

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio \(f\) määritelty joukossa \((c,\infty)\). Funktiolla \(f\) on raja-arvo \(L\) äärettömyydessä, jos jokaista \(\varepsilon > 0\) kohti löydetään sellainen reaaliluku \(M\), että etäisyys \(|f(x) - L| < \varepsilon\) aina, kun \(x > M\),

\[\forall\varepsilon>0\ \exists M\in\mathbb R:\ x>M\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to\infty.\]

Vastaavasti joukossa \((-\infty,c)\) määritellyllä funktiolla \(f\) on raja-arvo \(L\) miinus-äärettömyydessä, jos

\[\forall\varepsilon>0\ \exists M\in\mathbb R: x<M\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to-\infty.\]

Vastaavasti voidaan määritellä myös raja-arvot \(\infty\) ja \(-\infty\) äärettömyydessä ja miinus-äärettömyydessä.

Esimerkki.

\(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0\).
\(\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
Ei ole olemassa raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to\infty}\sin x\).
\(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}\).

Esimerkki.

Polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden raja-arvoja äärettömyydessä voidaan yrittää tutkia ottamalla yhteinen tekijä tai laventamalla sopivasti.

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(3x^3-100x^2+11\big)=\lim_{x\to\infty}\Big(3-\frac{100}{x}+\frac{11}{x^3}\Big)x^3=(3-0+0)\cdot\infty=\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+4x^2-7}{5x^3-x+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2+\dfrac{4}{x}-\dfrac{7}{x^3}}{5-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}=\frac{2+0-0}{5-0+0}=\frac25\).
\(\displaystyle\frac{-x^3+2x^2+9}{7x^2+2x-1}=\frac{-x+2+\dfrac{9}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}}\to\frac{-\infty+2+0}{7+0-0}=\frac{-\infty}{7}=-\infty\), kun \(x\to\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ \mathop{=}^{x>0}\ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1\).
\(\displaystyle\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\big)\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to\frac{1}{\infty}=0\), kun \(x\to\infty\).