Raja-arvokäsitteen laajennukset¶

Tähän asti määritellyt raja-arvokäsitteet kattavat vain funktioiden äärelliset arvot äärellisissä reaalilukupisteissä. Tämä ei kuitenkaan riitä kuvaamaan kaikkia aloitusesimerkin tapauksia.

Epäoleelliset raja-arvot¶

Jos funktion $f$ arvot kasvavat rajatta pistettä $a$ lähestyttäessä, on intuitiivista sanoa, että funktiolla $f$ on raja-arvo $\infty$ pisteessä $a$ . Vastaavasti rajatta vähenevässä tapauksessa funktiolla on raja-arvo $-\infty$ tarkastelupisteessä.

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio $f$ määritelty pisteen $a$ punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla $f$ on epäoleellinen raja-arvo $\infty$ pisteessä $a$ , jos jokaista reaalilukua $M$ kohti löydetään sellainen $\delta > 0$ , että $f(x) > M$ aina, kun $0 < |x - a| < \delta$ ,

$\forall M\in\mathbb R\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M.$

Tällöin merkitään

$\lim_{x\to a}f(x)=\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to\infty,\text{ kun }x\to a.$

Vastaavasti funktiolla $f$ on epäoleellinen raja-arvo :math: $-infty$ pisteessä :math: $a$ , jos

$\forall M\in\mathbb R\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)<M.$

Tällöin merkitään

$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to-\infty,\text{ kun }x\to a.$

Huomaa, että epäoleellisen raja-arvon määritelmässä funktion arvojen täytyy kasvaa tai vähentyä molemmilla puolilla raja-arvopistettä. Epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot määritellään vastaavasti kuin äärelliset toispuoleiset raja-arvot. Aikaisemmin esiteltyjä raja-arvojen laskusääntöjä ja toispuoleisten raja-arvojen kriteeriä voidaan käyttää myös epäoleellisille raja-arvoille seuraavia äärettömän laskusääntöjä soveltaen. Tässä $c \in \mathbb R$ .

$c+\infty=\infty$ ja $c-\infty=-\infty$
$c\cdot\infty=\infty$ , jos $c>0$ ja $c\cdot\infty=-\infty$ , jos $c<0$
$\dfrac{c}{\pm\infty}=0$
$\infty+\infty=\infty$ ja $-\infty-\infty=-\infty$
$\infty\cdot\infty=\infty$ , $(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty$ , $\infty\cdot(-\infty)=-\infty$

Esimerkki.

Funktiolla $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-3}$ on epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\to3-}f(x)=-\infty\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to3+}f(x)=\infty,$

sillä $\sqrt{x}\to\sqrt{3}$ , kun $x\to3$ ja $x-3\to0\pm$ , kun $x\to3\pm$ . Niinpä epäoleellista raja-arvoa $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ ei ole olemassa.
$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^8}{(x-2)^2}=\lim_{x\to2}\big(x^8\big)\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=2^8\cdot\infty=\infty$ .

Seuraavat muodot ovat epämääräisiä eikä niistä raja-arvolaskuissa voida tehdä mitään johtopäätöksiä.

$\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty},\quad \frac00,\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty$

Voidaan osoittaa, että jokaisen merkinnän arvo olisi monikäsitteinen. Esimerkiksi

$1=\lim_{x\to0+}1=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac1x=0\cdot\infty,$

mutta toisaalta

$2=\lim_{x\to0+}2=\lim_{x\to0+}(2x)\cdot\frac{1}{x}=0\cdot\infty,$

tai jopa

$\infty=\lim_{x\to0+}\frac1x=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac{1}{x^2}=0\cdot\infty.$

Raja-arvo äärettömyydessä¶

Jos funktion $f$ arvot $f(x)$ lähestyvät reaalilukua $L$ , kun $x$ kasvaa rajatta, on intuitiivista sanoa, että funktiolla $f$ on raja-arvo $L$ äärettömyydessä.

Määritelmä.

Olkoon reaalifunktio $f$ määritelty joukossa $(c,\infty)$ . Funktiolla $f$ on raja-arvo $L$ äärettömyydessä, jos jokaista $\varepsilon > 0$ kohti löydetään sellainen reaaliluku $M$ , että etäisyys $|f(x) - L| < \varepsilon$ aina, kun $x > M$ ,

$\forall\varepsilon>0\ \exists M\in\mathbb R:\ x>M\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.$

Tällöin merkitään

$\lim_{x\to\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to\infty.$

Vastaavasti joukossa $(-\infty,c)$ määritellyllä funktiolla $f$ on raja-arvo $L$ miinus-äärettömyydessä, jos

$\forall\varepsilon>0\ \exists M\in\mathbb R: x<M\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.$

Tällöin merkitään

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to-\infty.$

Vastaavasti voidaan määritellä myös raja-arvot $\infty$ ja $-\infty$ äärettömyydessä ja miinus-äärettömyydessä.

Esimerkki.

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0$ .
$\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ .
Ei ole olemassa raja-arvoa $\lim\limits_{x\to\infty}\sin x$ .
$\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$ .

Esimerkki.

Polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden raja-arvoja äärettömyydessä voidaan yrittää tutkia ottamalla yhteinen tekijä tai laventamalla sopivasti.

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(3x^3-100x^2+11\big)=\lim_{x\to\infty}\Big(3-\frac{100}{x}+\frac{11}{x^3}\Big)x^3=(3-0+0)\cdot\infty=\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+4x^2-7}{5x^3-x+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2+\dfrac{4}{x}-\dfrac{7}{x^3}}{5-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}=\frac{2+0-0}{5-0+0}=\frac25$ .
$\displaystyle\frac{-x^3+2x^2+9}{7x^2+2x-1}=\frac{-x+2+\dfrac{9}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}}\to\frac{-\infty+2+0}{7+0-0}=\frac{-\infty}{7}=-\infty$ , kun $x\to\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ \mathop{=}^{x>0}\ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1$ .
$\displaystyle\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\big)\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to\frac{1}{\infty}=0$ , kun $x\to\infty$ .