Eksponenttifunktio ja eksponenttiesitys¶

Palautetaan mieleen reaalisen eksponenttifunktion \(e^x\) määritelmä ja ominaisuudet. Pyritään laajentamaan eksponenttifunktion käsitettä kattamaan myös kompleksiset eksponentit. Tämä halutaan tehdä niin, että funktio käyttäytyy reaalisilla muuttujan arvoilla kuten aiemminkin. Käy ilmi, että on olemassa vain yksi tapa määritellä tällainen laajennus.

Määritelmä.

Kompleksimuuttujan \(z = x + iy\) eksponenttifunktio saa arvokseen

\[e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).\]

Kun kompleksisen eksponenttifunktion arvoa verrataan napakoordinaattiesitykseen, havaitaan että luvun \(e^z\) itseisarvo on \(|e^z| = e^x\) ja argumentti \(\arg e^z = y\), missä \(x = \operatorname{Re}z\) ja \(y = \operatorname{Im}z\). Mikäli \(z\) on puhtaasti reaalinen, \(e^{z} = e^{x}(\cos 0 + i\sin 0) = e^x\), eli kompleksinen eksponenttifunktio saa saman arvon kuin tuttu reaalinen versio. Myös tutut laskusäännöt ovat voimassa kompleksiselle eksponenttifunktiolle.

Lause.

\(\quad e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\quad\) ja \(\quad e^{-z}=\dfrac{1}{e^z}\).

Todistus.

Merkitään \(z_1=x_1+iy_1\) ja \(z_2=x_2+iy_2\). Reaalisen eksponenttifunktion ja kompleksilukujen kertolaskun ominaisuuksia hyödyntäen voidaan kirjoittaa yhtälö

\[\begin{split}\begin{aligned} e^{z_1}e^{z_2}&=e^{x_1}(\cos y_1+i\sin y_1)e^{x_2}(\cos y_2+i\sin y_2)\\ &=e^{x_1+x_2}(\cos(y_1+y_2)+i\sin(y_1+y_2))\\ &=e^{(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)} =e^{z_1+z_2}.\end{aligned}\end{split}\]

Vastaavasti jos \(z = x + iy\), niin

\[\begin{split}\begin{aligned} e^{-z} &= e^{-x + i(-y)} \\ &= e^{-x}(\cos(-y) + i\sin(-y)) \\ &= \frac{1}{e^x}\cdot (\cos(y) - i\sin(y))\\ &= \frac{1}{e^x}\cdot \frac{(\cos(y) + i\sin(y))(\cos(y) - i\sin(y))}{(\cos(y) + i\sin(y))}\\ &= \frac{1}{e^x}\cdot \frac{\cos^2(y) +\sin^2(y)}{(\cos(y) + i\sin(y))}\\ &=\frac{1}{e^x \cdot(\cos(y) + i\sin(y))}\\ &= \frac{1}{e^{x }\cdot e^{ iy}} = \frac{1}{e^z}.\end{aligned}\end{split}\]

\(\square\)

Jos eksponenttifunktion muuttuja \(z = x + iy\) saa puhtaasti imaginaarisen arvon, eli \(x = 0\), saadaan erityisen tärkeä Eulerin kaava

\[e^{iy}=\cos y+i\sin y.\]

Yhtälö muistuttaa huomattavasti kompleksiluvun napakoordinaattiesitystä, ja sille saadaankin Eulerin kaavan avulla lyhyt merkintä

\[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}.\]

Muotoa \(z=re^{i\theta}\) kutsutaan napakoordinaattiesityksen eksponenttimuodoksi. Sen avulla esitettynä kerto- ja jakolasku, komplementointi ja Moivren kaava voidaan kirjoittaa muodoissa

\(z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\),
\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\),
\(\overline{z}=\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}\),
\(z^n=\big(re^{i\theta}\big)^n=r^ne^{in\theta}\).

Näistä 1 ja 2 seuraavat suoraan aiemmasta lauseesta ja 4 on vain Moivren kaavan napakoordinaattiesitys kirjoitettuna eksponenttifunktion avulla. Kohta 3 seuraa siitä, että \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) ja \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) kaikilla argumentin \(\theta\) arvoilla.

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{re^{i\theta}} &=\overline{r(\cos\theta+i\sin\theta)}\\ &=r(\cos\theta-i\sin\theta)\\ &=r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\\ &=re^{-i\theta}\end{aligned}\end{split}\]

Korostetaan vielä, että \(|re^{i\theta}|=r\) ja \(\arg(re^{i\theta})=\theta\), eli luvulla \(re^{i\theta}\) kertominen tarkoittaa geometrisesti pituuden kertomista luvulla \(r\) ja kiertoa kulman \(\theta\) verran.

Esimerkki.

Olkoon \(z=\sqrt3-i\) ja \(w=2+2i\). Muunna \(z\) ja \(w\) napakoordinaattimuotoon \(re^{i\theta}\) ja laske \(zw\) ja \(z/w\).

Ratkaisu.

Jälleen on etsittävä lukujen \(z\) ja \(w\) itseisarvot ja argumentit.

\[|z| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + (-1)^2} = 2\qquad\text{ja}\qquad |w| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\]

Luku \(z\) sijoittuu neljänteen neljännekseen, joten \(\arg z = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}\), missä kulman tarkka arvo voidaan lukea muistikolmiosta. Vastaavasti, koska \(w\) on ensimmäisessä neljänneksessä, \(\arg w = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4}\). Täten \(z = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}\) ja \(w = 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\), sekä

\[\begin{split}\begin{aligned} zw&=2\cdot2\sqrt2e^{i(-\pi/6+\pi/4)}=4\sqrt2e^{i\pi/12}\\ \frac{z}{w}&=\frac{2e^{-i\pi/6}}{2\sqrt2e^{i\pi/4}} =\frac{1}{\sqrt2}e^{i(-\pi/6-\pi/4)}=\frac{1}{\sqrt2}e^{-i5\pi/12}.\end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki.

Olkoon \(z=2-2i\) ja \(w=-5\). Esitä \(z\) ja \(w\) muodossa \(re^{i\theta}\) ja laske \(zw\), \(w/z\), \(\overline{z}\) ja \(z^5\).

Ratkaisu.

Edellistä esimerkkiä mukaillen nähdään, että \(z=2\sqrt2e^{-i\pi/4}\). Lisäksi erityistapauksena Eulerin kaavasta \(-1 = e^{i\pi}\), jolloin \(w=5e^{i\pi}\). Täten

\[\begin{split}\begin{aligned} zw&=2\sqrt2 \cdot 5 e^{(-\pi/4+\pi)i}=10\sqrt2e^{i3\pi/4}\\ \frac{w}{z}&=\frac{5}{2\sqrt2}e^{(\pi-(-\pi/4))i} =\frac{5\sqrt{2}}{4}e^{i5\pi/4}\\ \overline{z}&=2\sqrt2e^{i\pi/4}\\ z^5&=\left(2\sqrt2\right)^5e^{-i5\pi/4} =128\sqrt2e^{i3\pi/4}\end{aligned}\end{split}\]

Tässä viimeisessä kohdassa kulma \(-5\pi/4\) ei sisälly kumpaankaan väleistä \([-\pi,\pi]\) tai \([0,2\pi]\), joten luvun \(z^5\) argumentti on syytä palauttaa muotoon \(\arg z^5 = -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4}\).

Huomautus.

Tekniikassa napakoordinaattimuodolle käytetään myös merkintää

\[z=re^{i\theta}=r\angle\theta,\]

eli esimerkiksi

\[3e^{i\frac{\pi}{4}}=3\angle\frac{\pi}{4}.\]

Esimerkki.

Eulerin kaavasta saadaan tekniikassa usein käytetyt yhteydet trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktion välille. Laskemalla kaavat

\[\begin{split}\begin{aligned} e^{i\theta}&=\cos\theta+i\sin\theta\\ e^{-i\theta}&=\cos\theta-i\sin\theta\end{aligned}\end{split}\]

puolittain yhteen ja vähentämällä ne puolittain saadaan kosinin ja sinin muunnoskaavat

\[\begin{split}\begin{aligned} \cos\theta&=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\\ \sin\theta&=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki.

Moivren kaavan mukaan

\[\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^2=\cos(2\theta)+i\sin(2\theta).\]

Toisaalta suoraan laskemalla nähdään, että

\[\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^2=\cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta.\]

Vertaamalla yhtälöiden oikeiden puolten reaali- ja imaginaariosia saadaan trigonometriset kaksoiskulmakaavat

\[\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta \qquad\text{ja}\qquad \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.\]

Myös muita trigonometrisiä identiteettejä voidaan todistaa vastaavasti.