Napakoordinaattimuoto¶

Kompleksiluku \(z=x+yi\) voidaan ilmaista myös napakoordinaattien (polar coordinates) \(r\) ja \(\theta\) avulla, missä \(r=|z|\) on luvun \(z\) etäisyys origosta kompleksitasossa ja \(\theta\) on luvun \(z\) paikkavektorin ja reaaliakselin välinen kulma mitattuna reaaliakselista vastapäivään. Kosinin ja sinin määritelmien mukaan kulmaa \(\theta\) vastaava kehäpiste yksikköympyrällä on \((\cos\theta,\sin\theta)\), joten \(r\)-säteisellä ympyrällä kehäpiste on \((x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\). Niinpä kompleksiluvun \(z\) napakoordinaattimuoto (polar form) on

Kulmaa \(\theta\) merkitään myös \(\theta=\arg z\) ja kutsutaan vaihekulmaksi eli argumentiksi (argument).

Reaali- ja imaginaariosien \(x\) ja \(y\) ja napakoordinaattien \(r\) ja \(\theta\) välinen riippuvuus on siis

Tapauksessa \(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\) riippuvuudet voidaan lukea myös seuraavan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta.

Käänteiseen suuntaan muunnoskaavat voidaan kirjoittaa muodossa

Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan laskea argumentiksi suoraan \(\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\) silloin, kun \(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\), eli kun \(\operatorname{Re}(x + yi) = x > 0\). Muissa tapauksissa kulman osuminen oikeaan neljännekseen tulee erikseen pohtia esimerkiksi kuvan avulla. Argumentti \(\theta\) ei ole yksikäsitteinen, sillä siihen voidaan lisätä tai vähentää mielivaltainen määrä kokonaisia kierroksia ja päätyä jälleen samaan lukuun, eli

Tilanteesta ja sovelluksesta riippuen käsiteltävä argumentti on tapana valita väliltä \([0,2\pi]\) tai \([-\pi,\pi]\).

Napakoordinaattimuotoa varten lasketaan kummankin luvun itseisarvo ja jokin vaihekulma. Itseisarvoiksi lasketaan

\[|z| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = 2\qquad\text{ja}\qquad |w| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}.\]

Merkitään \(\theta = \arg z\) ja \(\varphi = \arg w\), jolloin \(\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}\) ja \(\tan\varphi = -\frac{1}{3}\). Piirretään kuva.

Kulma \(\theta\) voidaan päätellä muistikolmiosta, jolloin saadaan \(\theta = \frac{\pi}{6}\). Kulman \(\varphi\) määrittämiseksi lasketaan ensin esimerkiksi \(\arctan\left(-\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}3218\). Koska luku \(w\) sijoittuu kompleksitason toiseen neljännekseen, tähän tulokseen voidaan lisätä \(\pi\) oikean vaihekulman löytämiseksi. Siis \(\varphi = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi \approx 2{,}820\), eli

\[z = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\qquad\text{ja}\qquad w \approx \sqrt{10}\left(\cos(2{,}820) + i\sin(2{,}820)\right).\]

Tämä lause mahdollistaa kompleksilukujen tulon ja osamäärän geometrisen tulkinnan. Ensimmäisen kaavan mukaan tulon \(z_1z_2\) itseisarvo on \(r_1r_2\), eli tekijöiden itseisarvojen tulo ja vastaavasti tulon argumentti on \(\theta_1+\theta_2\), eli tekijöiden argumenttien summa. Osamäärän \(z_1/z_2\) tulkinnassa puolestaan sen itseisarvoksi tulee \(r_1/r_2\) ja argumentiksi \(\theta_1 - \theta_2\).

Tulon ja osamäärän tulkinnat ovat erityisen yksinkertaisia silloin, kun kertojan ja jakajan itseisarvo on \(1\). Tällaiset luvut ovat muotoa \(\cos\theta + i\sin\theta\) jollakin reaalisella vaihekulmalla \(\theta\), sillä

Tällä luvulla kertominen tai jakaminen jättää toisen luvun itseisarvon sikseen, jolloin kyseessä on vain kierto kulman \(\theta\) tai \(-\theta\) verran. Esimerkiksi luvulla \(i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\) kertominen vastaa kiertoa kulman \(\frac{\pi}{2}\) verran vastapäivään ja jakaminen samanlaista kiertoa myötäpäivään.

Kompleksilukujen potenssit \(z^n\) ja \(z^{-n}\), missä \(n\) on luonnollinen luku, määritellään samoin kuin reaaliluvuille. Luku \(z^{-n}\) on luvun \(z^n\) käänteisluku, eli \(z^{-n} = 1/z^n\) ja \(z^0 = 1\) aina, kun \(z \not= 0\).

Reaalisten binomien tapaan myös kompleksilukujen korkeat potenssit käyvät työläiksi laskea suoraan. Napakoordinaattiesitys tarjoaa tähän kuitenkin eräänlaisen oikotien.