Sovellus: vaihtovirtapiirien mallintaminen¶

Vaihtovirtapiirissä kulkee ajasta \(t\) riippuva virta

\[I(t) = I_0\sin(\omega t),\]

missä \(I_0\) on virran maksimiarvo eli amplitudi ja \(\omega\) värähtelyn kulmanopeus. Piirin jännite riippuu sen resistanssista \(R\) (vastus), kapasitanssista \(C\) (kondensaattori) ja induktanssista \(L\) (käämi). Oletetaan ensin, että piirissä on vain yksi näistä komponenteista, jolloin sähkömagnetismin lakien avulla jännitteeksi voidaan johtaa

\[\begin{split}\begin{aligned} V_R(t)&=RI_0\sin(\omega t) && \text{vastukselle,}\\ V_C(t)&=\frac{I_0}{\omega C}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) && \text{kondensaattorille,}\\ V_L(t)&=\omega LI_0\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) && \text{käämille.}\end{aligned}\end{split}\]

Jokaisessa tapauksessa sinifunktio toimii lausekkeelle \(\omega t + \varphi\), missä lukua \(\varphi\) kutsutaan jännitteen vaihekulmaksi. Pelkän vastuksen aiheuttaman vaihtojännitteen sanotaan olevan samassa vaiheessa kuin virta, sillä niiden vaihekulmat ovat samat. Kondensaattori myöhäistää jännitteen värähtelyä verrattuna virtaan, ja tällöin vaihe-ero on \(-\frac{\pi}{2}\). Vastaavasti käämi aikaistaa jännitettä suhteessa virtaan, eli vaihe-ero on \(\frac{\pi}{2}\). Seuraavat kuvaajat havainnollistavat kutakin jännitettä suhteessa harmaalla piirrettyyn vaihtovirtaan.

Eulerin kaavan mukaan \(\sin(\omega t)\) on myös kompleksiluvun \(e^{i\omega t}\) imaginaariosa:

\[\operatorname{Im}\left(e^{i\omega t}\right)=\operatorname{Im}(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))=\sin(\omega t).\]

Eri komponenttien aiheuttamat jännitteetkin voidaan siis muotoilla samoin. Koska on voimassa \(e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i\) ja \(e^{i\frac{\pi}{2}}=i\), niin

\[\begin{split}\begin{aligned} V_R(t)&=RI_0\operatorname{Im}\left(e^{i\omega t}\right) = \operatorname{Im}\left(RI_0e^{i\omega t}\right)\\ V_C(t)&=\frac{I_0}{\omega C}\operatorname{Im}\left(e^{i(\omega t-\pi/2)}\right) =\operatorname{Im}\left(\frac{I_0}{\omega C}e^{i\omega t}e^{-i\pi/2}\right) =\operatorname{Im}\left(\left(\frac{-i}{\omega C}\right)I_0e^{i\omega t}\right)\\ V_L(t)&=\omega LI_0\operatorname{Im}\left(e^{i(\omega t+\pi/2)}\right) =\operatorname{Im}\left(\omega LI_0e^{i\omega t}e^{i\pi/2}\right) =\operatorname{Im}\left((i\omega L)I_0e^{i\omega t}\right)\end{aligned}\end{split}\]

Määritellään resistiivinen, kapasitatiivinen ja induktiivinen impedanssi

\[Z_R = R, \qquad Z_C = -\frac{i}{\omega C} \qquad\text{ja}\qquad Z_L = i\omega L,\]

sekä kompleksinen impedanssi

\[Z = Z_R + Z_C + Z_L = R + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)i.\]

Tällöin kussakin edellisistä tapauksista jännite voidaan esitettää muodossa

\[V_X(t)=\operatorname{Im}\left(Z_XI_0e^{i\omega t}\right),\]

missä \(X\) viittaa tunnukseen \(R\), \(C\) tai \(L\), ja kaikki komponentit sisältävässä RLC-piirissä kokonaisjännite on

\[V(t)=V_R(t)+V_C(t)+V_L(t) =\operatorname{Im}\left(ZIe^{i\omega t}\right).\]

Koska piirin vastus \(R = \operatorname{Re}Z > 0\), kompleksiluku \(Z\) sijaitsee imaginaariakselin oikealle puolelle jäävässä puolitasossa. Tällöin luvulla \(Z\) on napakoordinaattiesitys \(Z = |Z|e^{i\varphi}\), missä

\[\varphi = \arg Z =\arctan\left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right) = \arctan\left(\frac{\omega^2 LC-1}{\omega RC}\right).\]

Niinpä RLC-piirin kokonaisjännite on

\[\begin{aligned} V(t)=\operatorname{Im}\left(|Z|e^{i\varphi}I_0e^{i\omega t}\right) =|Z|I_0\operatorname{Im}\left(e^{i(\omega t+\varphi)}\right) =|Z|I_0\sin(\omega t+\varphi).\end{aligned}\]

Jännitteen vaihekulma \(\varphi\) on siis piirin kompleksisen impedanssin argumentti. Lisäksi skaalauskertoimena toimivaa itseisarvoa

\[|Z|=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}\]

kutsutaan LCR-piirin impedanssiksi.