Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
"

Matriisialgebraa ominaisarvoilla

Tutkitaan seuraavaksi erilaisten matriisien ominaisarvojen ominaisuuksia.

Lause.

Matriisilla A ja sen transpoosilla AT on samat ominaisarvot, eli σ(A)=σ(AT).

Todistus.

Lause.

Ylä- ja alakolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen päädiagonaalin alkiot.

Todistus.

Lause.

Ortogonaalisen matriisin Q jokainen (kompleksinen) ominaisarvo λ toteuttaa ehdon |λ|=1.

Todistus.

Huomautus.

Karakteristisen polynomin juurten ajatellaan tässä kattavan myös kompleksiset juuret. Tämä kuitenkin tarkoittaa sitä, että ominaisvektoreiden komponentit voivat olla kompleksisia. Täydellistä käsittelyä varten tulisi siis oikeastaan määritellä kompleksiset vektori- ja matriisiavaruudet Cn ja Cm×n, mutta tähän palataan vasta myöhemmillä opintojaksoilla. Esimerkiksi usean differentiaaliyhtälön systeemien ratkaiseminen on kätevämpää, kun käytössä on myös kompleksisia ominaisarvoja ja -vektoreita.

Matriisin A ominaisarvojen ja -vektoreiden avulla voidaan välittömästi muodostaa ratkaisut myös seuraaviin ominaisarvo-ongelmiin.

Lause.

Olkoon A neliömatriisi, sekä λ sen ominaisarvo ja x tähän ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori. Tällöin

  1. λn on matriisin An ominaisarvo ja x siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun n on positiivinen kokonaisluku,
  2. λ1 on matriisin A1 ominaisarvo ja x siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun A on kääntyvä.

Molempien väitteiden toteutuessa λn on matriisin An ominaisarvo ja x siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun n on kokonaisluku.

Todistus.

Seuraava tulos on erityisen tärkeä jatkon kannalta.

Lause.

Olkoon A n×n-neliömatriisi, jolla on erilliset ominaisarvot λ1,λ2,,λm, sekä niihin liittyvät ominaisvektorit v1,v2,,vm. Tällöin vektorit v1,v2,,vm ovat lineaarisesti riippumattomia.

Todistus.

Esimerkki.

Tutki, onko riviekvivalenteilla matriiseilla aina samat ominaisarvot. Jos on, todista väite ja jos ei, anna vastaesimerkki.

Ratkaisu.

Esimerkki.

Neliömatriisi A on idempotentti, jos A2=A. Osoita, että jos λ on idempotentin matriisin A ominaisarvo, niin λ=0 tai λ=1.

Todistus.