Matriisialgebraa ominaisarvoilla
Tutkitaan seuraavaksi erilaisten matriisien ominaisarvojen
ominaisuuksia.
Lause.
Matriisilla A ja sen transpoosilla AT on
samat ominaisarvot, eli σ(A)=σ(AT).
Koska
det(AT−λIn)=det(AT−(λIn)T)=det((A−λIn)T)=det(A−λIn),
matriiseilla A ja AT on samat karakteristiset polynomit
ja siten myös σ(AT)=σ(A). ◻
Lause.
Ylä- ja alakolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen
päädiagonaalin alkiot.
Jos A=[aij]n×n on ylä- tai
alakolmiomatriisi, niin myös A−λIn on. Tällöin
determinantti saadaan diagonaalialkioiden tulona, eli karakteristinen
polynomi
det(A−λI)=(a11−λ)(a22−λ)⋯(ann−λ).
Siis karakteristisen polynomin juuret ovat λ=aii, kun
i=1,2,…,n. ◻
Lause.
Ortogonaalisen matriisin Q jokainen (kompleksinen)
ominaisarvo λ toteuttaa ehdon |λ|=1.
Ortogonaaliselle matriisille QTQ=In=QQT.
Koska matriisilla ja sen transpoosilla on samat ominaisarvot,
Qx=λx jos ja vain jos
QTx=λx. Tällöin
‖x‖=‖Inx‖=‖QT(Qx)‖=‖QT(λx)‖=‖λ(QTx)‖=‖λ2x‖=|λ|2‖x‖.
Koska x on ominaisvektori, on oltava
x≠0, ja täten |λ|=1.
◻
Huomautus.
Karakteristisen polynomin juurten ajatellaan tässä
kattavan myös kompleksiset juuret. Tämä kuitenkin tarkoittaa sitä, että
ominaisvektoreiden komponentit voivat olla kompleksisia. Täydellistä
käsittelyä varten tulisi siis oikeastaan määritellä kompleksiset
vektori- ja matriisiavaruudet Cn ja
Cm×n, mutta tähän palataan vasta myöhemmillä
opintojaksoilla. Esimerkiksi usean differentiaaliyhtälön systeemien
ratkaiseminen on kätevämpää, kun käytössä on myös kompleksisia
ominaisarvoja ja -vektoreita.
Matriisin A ominaisarvojen ja -vektoreiden avulla voidaan
välittömästi muodostaa ratkaisut myös seuraaviin ominaisarvo-ongelmiin.
Lause.
Olkoon A neliömatriisi, sekä λ sen
ominaisarvo ja x tähän ominaisarvoon liittyvä
ominaisvektori. Tällöin
- λn on matriisin An ominaisarvo ja
x siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun n
on positiivinen kokonaisluku,
- λ−1 on matriisin A−1 ominaisarvo ja
x siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun A
on kääntyvä.
Molempien väitteiden toteutuessa λn on matriisin
An ominaisarvo ja x siihen liittyvä
ominaisvektori aina, kun n on kokonaisluku.
Jätetään harjoitustehtäväksi. Pohdi, miten voisit ilmaista
väitteet yhtälömuotoisina, ja sovella oletuksia niihin.
◻
Seuraava tulos on erityisen tärkeä jatkon kannalta.
Lause.
Olkoon A n×n-neliömatriisi, jolla on
erilliset ominaisarvot λ1,λ2,…,λm,
sekä niihin liittyvät ominaisvektorit
v1,v2,…,vm. Tällöin
vektorit v1,v2,…,vm ovat
lineaarisesti riippumattomia.
Todistetaan väite induktiolla luvun m suhteen.
Alkuaskel. Jos m=1, niin ominaisvektori
v1 on lineaarisesti riippumaton, ja väite on tosi.
Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan matriisin
A erillisiä ominaisarvoja
λ1,λ2,…,λk vastaavat
ominaisvektorit
v1,v2,…,vk ovat
lineaarisesti riippumattomia. Pyritään osoittamaan, että vielä
erillistä ominaisarvoa λk+1 vastaavan
ominaisvektorin vk+1 lisääminen ei riko tätä
ominaisuutta. Tehdään vastaoletus, jonka mukaan
vk+1 on lineaarisesti riippuva muista
vektoreista, eli
vk+1=c1v1+c2v2+⋯+ckvk.
Koska kyseessä on ominaisvektori, tästä seuraa että
λk+1vk+1=Avk+1=c1Av1+c2Av2+⋯+ckAvk=c1λ1v1+c2λ2v2+⋯+ckλkvk.
Toisaalta myös suoraan kertomalla nähdään, että
λk+1vk+1=c1λk+1v1+c2λk+1v2+⋯+ckλk+1vk.
Vähennetään nämä kaksi yhtälöä puolittain, ja saadaan
0=c1(λ1−λk+1)v1+c2(λ2−λk+1)v2+⋯+ck(λk−λk+1)vk.
Induktio-oletuksen nojalla vektorit
v1,v2,…,vk ovat
lineaarisesti riippumattomia, joten
c1(λ1−λk+1)=c2(λ2−λk+1)=⋯=ck(λk−λk+1)=0.
Nyt kuitenkin ominaisarvojen erillisyyden vuoksi on oltava
c1=c2=⋯=ck=0, jolloin
vk+1=0⋅v1+0⋅v2+⋯+0⋅vk=0.
Tämä on ristiriita, sillä nollavektori ei voi olla ominaisvektori, ja
täten vastaoletus on väärä ja induktioväite tosi.
Induktioperiaatteen nojalla vektorit
v1,v2,…,vm ovat
lineaarisesti riippumattomia. ◻
Esimerkki.
Tutki, onko riviekvivalenteilla matriiseilla aina samat
ominaisarvot. Jos on, todista väite ja jos ei, anna vastaesimerkki.
Riviekvivalentit matriisit voidaan muuttaa toisikseen
rivimuunnoksilla, joten väite on tosi jos ja vain jos matriisin
ominaisarvot säilyvät rivimuunnoksessa. Tarkastellaan
yläkolmiomatriiseja
[13204−1003]2R1→[26404−1003].
Tiedetään, että yläkolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen
diagonaalialkiot, joten ensimmäisen matriisin spektri on
{1,3,4}, ja rivimuunnetun matriisin spektri
{2,3,4}. Näillä kahdella riviekvivalentilla matriisilla ei
siis ole samoja ominaisarvoja, joten väite on epätosi. Keksitkö
yksinkertaisemman vastaesimerkin?
Esimerkki.
Neliömatriisi A on idempotentti, jos
A2=A. Osoita, että jos λ on idempotentin
matriisin A ominaisarvo, niin λ=0 tai
λ=1.
Tiedetään, että λ on matriisin A
ominaisarvo, joten λ2 on matriisin A2
ominaisarvo. Koska nyt A2=A, niin
λx=Ax=A2x=λ2x
aina, kun x≠0 on ominaisarvoon
λ liittyvä ominaisvektori. On siis oltava
(λ2−λ)x=0, eli
λ2−λ=0, ja tämän vuoksi λ=0 tai
λ=1. ◻