Processing math: 3%
"

Matriisialgebraa ominaisarvoilla

Tutkitaan seuraavaksi erilaisten matriisien ominaisarvojen ominaisuuksia.

Lause.

Matriisilla A ja sen transpoosilla AT on samat ominaisarvot, eli σ(A)=σ(AT).

Todistus.

Lause.

Ylä- ja alakolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen päädiagonaalin alkiot.

Todistus.

Lause.

Ortogonaalisen matriisin Q jokainen (kompleksinen) ominaisarvo \lambda toteuttaa ehdon |\lambda|=1.

Todistus.

Huomautus.

Karakteristisen polynomin juurten ajatellaan tässä kattavan myös kompleksiset juuret. Tämä kuitenkin tarkoittaa sitä, että ominaisvektoreiden komponentit voivat olla kompleksisia. Täydellistä käsittelyä varten tulisi siis oikeastaan määritellä kompleksiset vektori- ja matriisiavaruudet \mathbb C^n ja \mathbb C^{m \times n}, mutta tähän palataan vasta myöhemmillä opintojaksoilla. Esimerkiksi usean differentiaaliyhtälön systeemien ratkaiseminen on kätevämpää, kun käytössä on myös kompleksisia ominaisarvoja ja -vektoreita.

Matriisin A ominaisarvojen ja -vektoreiden avulla voidaan välittömästi muodostaa ratkaisut myös seuraaviin ominaisarvo-ongelmiin.

Lause.

Olkoon A neliömatriisi, sekä \lambda sen ominaisarvo ja \mathbf{x} tähän ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori. Tällöin

  1. \lambda^n on matriisin A^n ominaisarvo ja \mathbf{x} siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun n on positiivinen kokonaisluku,
  2. \lambda^{-1} on matriisin A^{-1} ominaisarvo ja \mathbf{x} siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun A on kääntyvä.

Molempien väitteiden toteutuessa \lambda^n on matriisin A^n ominaisarvo ja \mathbf{x} siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun n on kokonaisluku.

Todistus.

Seuraava tulos on erityisen tärkeä jatkon kannalta.

Lause.

Olkoon A n \times n-neliömatriisi, jolla on erilliset ominaisarvot \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m, sekä niihin liittyvät ominaisvektorit \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m. Tällöin vektorit \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m ovat lineaarisesti riippumattomia.

Todistus.

Esimerkki.

Tutki, onko riviekvivalenteilla matriiseilla aina samat ominaisarvot. Jos on, todista väite ja jos ei, anna vastaesimerkki.

Ratkaisu.

Esimerkki.

Neliömatriisi A on idempotentti, jos A^2 = A. Osoita, että jos \lambda on idempotentin matriisin A ominaisarvo, niin \lambda = 0 tai \lambda = 1.

Todistus.