Ominaisarvoyhtälö¶

Fysiikassa, matematiikassa ja yleisemmin insinööritieteissä törmätään usein ongelmaan, jossa ratkaistavaksi tulee yhtälö

missä \(A\) on neliömatriisi, \(\mathbf{x}\) vektori ja \(\lambda\) jokin reaalinen parametri. Luonnollisesti yhtälöllä on aina triviaaliratkaisu \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\), mutta yleisemmin ei ole lainkaan selvää, millä parametrien \(\lambda\) arvoilla yhtälöllä on ei-triviaaleja ratkaisuja.

Tämä ominaisarvoyhtälö muodostaa lähtökohdan koko tulevalle osiolle. Tavoitteena on tutustua yhtälön ratkaisemiseen ja yhdistää sivutuotteena syntyvät työkalut muuhun matriisien teoriaan.

Tärppejä tähän osioon:

• Ominaisarvot ja -vektorit, ominaisavaruus, sekä näiden etsiminen neliömatriisille
• Matriisin kääntyvyys ominaisarvojen avulla, transpoosin, kolmiomatriisin ja matriisin potenssin ominaisarvot
• Lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit ja ominaisavaruuksien kannat
• Matriisien similaarisuus ja similaaristen matriisien ominaisuudet, diagonalisoituvuus ja matriisin potenssien laskeminen