Sovellus: heilurin jaksonajan määrittäminen
Kun edellisessä heiluriesimerkissä
alkukulma \(\theta_0\) on ”suuri”, on edellä heilurin jaksolle
\(T\) tehty approksimaatio huono. Johdetaan tarkka kaava jaksolle
\(T\) yleisellä \(\theta_0\). Kuvan kolmiosta päätellään, että
\[L-h=L\cos\theta,\]
missä \(L-h\le0\), jos \(\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi\).
Punnuksen korkeus kulmalla \(\theta\) on siis
\[h(\theta)=L(1-\cos\theta).\]
Korkeusero lähtökulmasta \(\theta_0\) kulmaan \(\theta\ge0\) on
\[\Delta h=h(\theta_0)-h(\theta)=L(\cos\theta-\cos\theta_0).\]
Punnus lähtee liikkeelle levosta, joten vauhti \(v\) saadaan
mekaanisen energian säilymislaista \(mg\Delta h=\frac{1}{2}mv^2\),
josta ratkaistaan
\[v=\sqrt{2g\Delta h}=\sqrt{2gL(\cos\theta-\cos\theta_0)}.\]
Jos rataliikkeen kulmanopeutta merkitään kirjaimella \(\omega\),
niin \(v=L\omega=-L\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\), joten
\[\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{v}{L}=-\sqrt{\frac{2g}{L}}\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}.\]
Olkoon alussa (\(\theta=\theta_0\)) ajanhetki \(t=0\), jolloin
punnuksen saapuessa alimpaan pisteeseen (\(\theta=0\)) aika on
\(t=\frac{T}{4}\). Nyt jakson neljännes on myös integraali
\[\frac{T}{4}=\int_0^{T/4}\,\mathrm{d}t,\]
johon voidaan tehdä muuttujanvaihto \(\theta=\theta(t)\). Aiemmasta
kaavasta saadaan
\[\mathrm{d}t=-\sqrt{\frac{L}{2g}}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}.\]
Määritetään vielä uudet rajat. Kun \(t=0\), niin
\(\theta=\theta_0\) ja kun \(t=T/4\), niin \(\theta=0\),
joten
\[\begin{aligned}
\frac{T}{4}=-\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_{\theta_0}^0\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}},\end{aligned}\]
ja edelleen
\[\begin{aligned}
T
=\sqrt{\frac{8L}{g}}\int_0^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}
=\sqrt{\frac{4L}{g}}\int_0^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{k^2-\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}},\end{aligned}\]
kun käytetään trigonometrista muunnoskaavaa
\(\cos\alpha=1-2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\) kahdesti ja
merkitään \(k=\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\). Tehdään nyt
muuttujanvaihto
\[k\sin\varphi=\sin\left(\frac{\theta}{2}\right),\]
josta derivoimalla puolittain muuttujan \(\theta\) suhteen
\[k\cos\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\theta}=\frac12\cos\left(\frac{\theta}{2}\right),\]
eli
\[\begin{aligned}
\mathrm{d}\theta
=\frac{2k\cos\varphi}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,\mathrm{d}\varphi
=\frac{2k\sqrt{1-\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}}\,\mathrm{d}\varphi
=\frac{2k\sqrt{1-\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\,\mathrm{d}\varphi.\end{aligned}\]
Määritetään uudet rajat. Kun \(\theta=0\), niin
\(k\sin\varphi=0\), eli \(\varphi=0\), ja kun
\(\theta=\theta_0\), niin \(k\sin\varphi=k\), eli
\(\varphi=\frac{\pi}{2}\). Saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
T
&=4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{k\sqrt{1-\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\sqrt{k^2-k^2\sin\varphi}}\,\mathrm{d}\varphi\\
&=4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.\end{aligned}\end{split}\]
Tätä integraalia kutsutaan elliptiseksi integraaliksi, ja sitä ei
voida laskea suljetussa muodossa (eli ilman sarjoja).
Binomisarja eksponentin arvolla
\(k=-\frac{1}{2}\) on
\[\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac12x+\frac38x^2-\cdots,\]
joten soveltamalla tätä arvolla \(x=-k^2\sin^2\phi\) saadaan
\[\begin{aligned}
T
=4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac12k^2\sin^2\varphi+\frac38k^4\sin^4\varphi+\cdots\right)\,\mathrm{d}\phi.\end{aligned}\]
Ottamalla tästä mukaan useampia termejä saadaan yhä tarkempia arvioita
heilahdusajalle myös suuremmilla \(\theta_0\).
- approksimaatio:
\[\begin{aligned}
T\approx4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\,d\phi=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.\end{aligned}\]
Päädyttiin samaan arvioon kuin edellisessä esimerkissä.
- approksimaatio:
\[\begin{split}\begin{aligned}
T
&\approx4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac12k^2\sin^2\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi
=4\sqrt{\frac{L}{g}}\bigg(\frac{\pi}{2}+\frac{k^2}{2}\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi}_{=\pi/4}\bigg)\\
&=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{\sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}{4}\right).\end{aligned}\end{split}\]
Nähdään, että suuremmilla \(\theta_0\) heilahdusaika kasvaa
amplitudin \(\theta_0\) kasvaessa (katso tämän
artikkelin animaatio).