Funktion polynomiapproksimaatio¶

Taylorin kaava on tärkeä työkalu funktion approksimoinnissa. Funktiota $f(x)$ arvioidaan Taylorin polynomilla $P_n(x)$ ja arviossa tehdyn virheen suuruutta virhetermin $R_n(x)$ avulla.

Huomautus.

Jatkossa sanonnalla ”kahden desimaalin tarkkuudella” tarkoitetaan sitä, että virhe on korkeintaan $0{,}005$ . Tämä ei tarkoita välttämättä sitä, että saataisiin oikea kaksidesimaalinen likiarvo (tästä on esimerkki), mutta likiarvon toinen desimaali on kuitenkin korkeintaan ykkösen verran väärä. Vastaavasti määritellään yleisesti ilmaus ” $n$ :n desimaalin tarkkuudella” tarkoittamaan sitä, että virhe on korkeintaan $0{,}5 \cdot 10^{-n}$ .

Esimerkki.

Laske $e$ neljän desimaalin tarkkuudella.

Ratkaisu.

Käytetään Taylorin kaavaa. Funktiolle $e^x$ pisteessä $1$ on

$e=e^1=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+R_n(1)=P_n(1)+R_n(1).$

Koska $f^{(n+1)}(z)=e^z\le e$ , kun $0<z<1$ , niin virhetermille on voimassa

$|R_n(1)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right|1^{n+1} \le\frac{e}{(n+1)!}\le\frac{3}{(n+1)!}.$

On löydettävä $n$ siten, että $|R_n(1)|<0{,}5 \cdot 10^{-4} = \frac{1}{20~000}$ . Esimerkiksi riittää valita niin suuri $n$ , että

$\frac{3}{(n+1)!}<\frac{1}{20~000}\Leftrightarrow(n+1)!>60~000.$

Kokeilemalla havaitaan, että pienin epäyhtälön toteuttava $n$ on $n=8$ . Täten luvun $e$ arvo kysytyllä tarkkuudella on

$e\approx1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{8!}\approx2{,}7183.$

Esimerkki.

Hae polynomi, joka approksimoi funktiota $\sin x$ yhden desimaalin tarkkuudella välillä

$\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ ,
$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .
Minkälainen tarkkuus saavutetaan, kun sinifunktiota approksimoidaan $7$ . asteen Taylorin polynomilla välillä $[-\pi,\pi]$ ?

Ratkaisu.

Koska $|\sin z| \leq 1$ ja $|\cos z| \leq 1$ , Taylorin kaavan

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+1}(x)=P_{2n+1}(x)+R_{2n+1}(x)$

virhetermiä voidaan arvioida

$|R_{2n+1}(x)|=\frac{|f^{(2n+2)}(z)||x|^{2n+2}}{(2n+2)!} \le\frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}.$

Nyt $|x|<\frac{\pi}{4}<1$ , joten $|R_{2n+1}(x)|\le\dfrac{1}{(2n+2)!}$ . Vaaditaan, että

$\frac{1}{(2n+2)!}<0{,}05=\frac{1}{20}\Leftrightarrow(2n+2)!>20.$

Riittää valita $n=1$ , jolloin sinifunktion Taylorin polynomi on astetta $2n + 1 = 3$ . Siis

$\sin x\approx P_3(x)=x-\frac{x^3}{3!}$

yhden desimaalin tarkkuudella välillä $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ .
Nyt $|x|<\frac{\pi}{2}<2$ , joten $|R_{2n+1}(x)|\le\dfrac{2^{2n+2}}{(2n+2)!}$ . Vaaditaan, että

$\frac{2^{2n+2}}{(2n+2)!}<0{,}05.$

Kokeilemalla havaitaan, että riittää valita $n=3$ , jolloin sinifunktion Taylorin polynomi on astetta $2n + 1 = 7$ . Siis

$\sin x\approx P_7(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$

yhden desimaalin tarkkuudella välillä $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .
Seitsemännen asteen Taylorin polynomia vastaa indeksin arvo $n=3$ , joten

$|R_7(x)|\le\frac{\pi^8}{8!}=0{,}235\cdots.$

Approksimoitaessa funktiota $\sin x$ välillä $[-\pi,\pi]$ polynomilla

$P_7(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$

tehdään siis korkeintaan noin $0{,}24$ yksikön suuruinen virhe.

Seuraavassa kuvassa havainnollistetaan edellisen esimerkin approksimaatioita. Ensimmäisen asteen Taylorin polynomi

$P_1(x)=f(c)+f'(c)(x-c)$

on lineaarinen approksimaatio, joka tässä esimerkissä on

$\sin x\approx P_1(x)=x.$

Korkeamman asteen termien mukaan ottaminen parantaa arviota, kuten kuvastakin selvästi nähdään.

../_images/sarjateoriataylorinpolynomi.svg

Esimerkki.

Tarkastellaan kuvan mukaista mallia heilurista, jossa massattoman langan (pituus $L$ ) päässä oleva punnus (massa $m$ ) vapautetaan kulmasta $\theta_0\in[0,\pi]$ (jolloin $-\theta_0\le\theta\le\theta_0$ ). Arvioidaan heilurin heilahdusaikaa eli jaksoa $T$ .

../_images/sarjateoriahailurinheilahdus.svg

Jätetään ilmanvastus huomiotta, jolloin punnukseen vaikuttaa liikkeen suunnassa ainoastaan painovoiman $\mathbf{F}=m\mathbf{g}$ liikkeen suuntainen komponentti $\mathbf{F}_\theta$ , jonka suuruus on

$F_\theta=mg\sin\theta.$

Käytetään sinille Maclaurinin kehitelmää eli

$\sin\theta=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots$

ja tehdään ensimmäisen asteen arvio $\sin\theta\approx\theta$ . Kyseessä on vuorotteleva sarja, joten arviossa tehdään virhe, joka on korkeintaan $\left|\frac{\theta^3}{3!}\right|$ (katso Leibnizin testi). Jos esimerkiksi $|\theta|\le10^\circ\approx0{,}17$ rad, niin suhteellisen virheen maksimiksi voidaan arvioida $(0{,}{17}^3/6)/0{,}{17}\approx0{,}5~\%$ . Merkitään kijaimella $x$ punnuksen kulkemaa matkaa tasapainotilasta ( $\theta=0$ ) kulmaan $\theta$ , eli $x=L\theta$ . Nyt

$F_\theta\approx mg\theta=\frac{mg}{L}x,$

eli $F_\theta$ on likimain suoraan verrannollinen poikkeamaan $x$ tasapainoasemasta, verrannollisuuskertoimena (”jousivakiona”) $k=mg/L$ . Pienillä kulmilla heiluri siis käyttäytyy kuten vaimentamaton vapaa värähtelijä, jonka kulmanopeus on $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{L}}$ . Jaksolle $T=\frac{2\pi}{\omega}$ saadaan siten arvio

$T\approx2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},$

kun $\theta_0$ on pieni. Erityisesti nähdään, että pienillä $\theta_0$ jakso ei riipu heilahduksen amplitudista $\theta_0$ , vaan ainoastaan heilurin pituudesta $L$ . Tämän vuoksi heilurikello näyttää hyvin tarkasti oikeaa aikaa, vaikka heiluriliikkeen amplitudi pienenisi ajan kuluessa.

Joskus sarjoja voidaan hyödyntää muotoa $\frac00$ tai $\frac\infty\infty$ olevien raja-arvojen laskemisessa esimerkiksi tapauksissa, joissa l’Hôpital’n sääntö ei tuota tulosta.

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1-x)^2}{x^2-\ln(1+x^2)}$ .

Ratkaisu.

Kyseessä on muotoa $\frac00$ oleva raja-arvo. Funktioiden $e^x$ ja $\ln(1+x^2)$ sarjakehitelmiä hyödyntäen nähdään, että

$\begin{split}\begin{aligned} \frac{(e^x-1-x)^2}{x^2-\ln(1+x^2)} &=\frac{\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots-1-x\right)^2}{x^2-\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}-\cdots\right)}\\ &=\frac{\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots\right)^2}{\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{3}+\cdots} \\ &=\frac{\frac{x^4}{4}\left(1+\frac{x}{3}+\cdots\right)^2}{\frac{x^4}{2}\left(1-\frac{2x^2}{3}+\cdots\right)} \\ &\to\frac{\frac14}{\frac12}=\frac12,\end{aligned}\end{split}$

kun $x\to0$ .

Taylorin kaavalla voidaan myös arvioida monia hankalia integraaleja.

Esimerkki.

Arvioi integraalia $\displaystyle\int_0^1\sin(x^2)\,\mathrm{d}x$ kolmen desimaalin tarkkuudella.

Ratkaisu.

Funktion $\sin x$ sarjakehitelmästä saadaan

$\sin(x^2)=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^nx^{4n+2}}{(2n+1)!}+\cdots.$

Integroidaan termeittäin pitkin väliä $[0,1]$ , jolloin

$\int_0^1\sin(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac13-\frac{1}{7\cdot3!}+\frac{1}{11\cdot5!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(4n+3)(2n+1)!}+\cdots.$

Funktion $\sin x$ Taylorin sarjaa on jo käsitelty aiemmassa esimerkissä. Nyt voitaisiinkin soveltaa tämän esimerkin virhearviota funktiolle $\sin(x^2)$ ja arvioida sillä integraalin virhettä, mutta koska integraalin sarjakehitelmä on vuorotteleva sarja ja toteuttaa Leibnizin testin oletukset, niin on yksinkertaisempaa käyttää Leibnizin testiä. Pienin $n$ , joka toteuttaa epäyhtälön

$\frac{1}{(4n+3)(2n+1)!}<0{,}0005$

on $n=3$ . Haluttuun tarkkuuteen riittää siis ottaa termit indeksiin $n=2$ saakka, eli

$\int_0^1\sin(x^2)\,\mathrm{d}x\approx\frac13-\frac{1}{7\cdot3!}+\frac{1}{11\cdot5!}\approx0{,}310.$

Tämä keino on huomattavasti tehokkaampi kuin ”numeronmurskaaminen” esimerkiksi jollakin numeerisen integroinnin menetelmällä, jossa jouduttaisiin ottamaan kymmeniä tai satoja osavälejä samaan tarkkuuteen pääsemiseksi.