Potenssisarjat¶

Määritelmä.

Reaaliluvusta $x$ riippuvaa sarjaa

$\sum_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots$

kutsutaan pisteen $c$ ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut $a_k$ , missä $k = 1, 2, \ldots$ , ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku $c$ on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä $(x-c)^0=1$ , jos $x\ne c$ . Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) $0^0=1$ , jolloin ensimmäinen termi on $a_0(x-c)^0=a_0$ kaikilla $x$ .

Esimerkki.

Sarja

$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-0)^k$

on pisteen $0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat $a_k = \frac{1}{k!}$ . Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun $x\ne0$ . Nythän

$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{x^k}{k!}}\right|=\frac{k!}{(k+1)!}\left|\frac{x^{k+1}}{x^k}\right|=\frac{|x|}{k+1}\to0,$

kun $k\to\infty$ . Pisteessä $x=0$ on $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1$ , joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\mathbb R$ .

Lause.

Jos potenssisarja $\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$ suppenee jollakin $x=x_0\ne0$ , niin sarja suppenee itseisesti kaikilla $x$ , jotka toteuttavat $-|x_0|<x<|x_0|$ .

Todistus.

Oletetaan, että $x\in(-|x_0|,|x_0|)$ ja merkitään $r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1$ . Koska sarja suppenee pisteessä $x_0$ , on oltava $\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0$ ja täten löydetään sellainen indeksi $K$ , että $|a_kx_0^k|<1$ aina, kun $k\ge K$ . Nyt

$\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,$

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana. $\square$

Seuraus.

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

Sarja suppenee vain, kun $x=c$ .
Sarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\mathbb R$ .
Löydetään sellainen $R>0$ , että sarja suppenee itseisesti, kun $|x-c|<R$ ja hajaantuu, kun $|x-c|>R$ .

Todistus.

Väite seuraa edellisestä lauseesta asettamalla

$t=x-c$ , jolloin väite palautuu sarjan

$\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k$ tutkimiseksi.

$\square$

Lukua $R\in[0,\infty)$ tai $R=\infty$ kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos $R\in(0,\infty)$ , niin päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista $\{c\}$ , $(c-R,c+R)$ , $[c-R,c+R)$ , $(c-R,c+R]$ , $[c-R,c+R]$ tai $\mathbb R$ .

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

$\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.$

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun $x \not= c$ .

$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1$

jos ja vain jos $|x-c|<\frac{1}{\rho}$ . Suppenemissäde on siis

$R=\frac1\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|.$

Jos raja-arvo $\rho = 0$ , niin suppenemissäde $R=\infty$ , ja jos $\rho=\infty$ , niin $R=0$ . Päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ suppenemista on tutkittava erikseen.

Esimerkki.

Määritä potenssisarjojen

$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n$
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}$

suppenemisvälit.

Ratkaisu.

Tämä on pisteen $0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jolle $a_0=0$ ja $a_k=\frac{1}{k}$ , kun $k \geq 1$ . Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, kun $x\ne0$ . Havaitaan, että

$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{k+1}}{\frac{x^k}{k}}\right|=\frac{k}{k+1}|x|\to|x|,$

kun $k\to\infty$ . Sarja siis suppenee suhdetestin nojalla itseisesti, kun $|x| < 1$ ja hajaantuu, kun $|x| > 1$ , eli suppenemissäde $R=1$ . Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun $x=1$ , sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun $x=-1$ , sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis $[-1,1)$ .
Muokkaamalla

$\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n$

nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle $a_n=\frac{n!}{2^n}$ ja $c=0$ . Tarkastellaan suppenemista suhdetestillä, kun $x\ne0$ . Tässä tapauksessa

$\left|\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}x^{n+1}}{\frac{n!}{2^n}x^n}\right|=\frac{n+1}{2}|x|\to\infty,$

kun $n\to\infty$ . Sarja siis suppenee vain kun $x=0$ .
Nyt

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.$

Tämän potenssisarjan kehityskeskus on $c=-\frac{5}{2}$ . Jos $x\ne -\frac{5}{2}$ , itseisen suppenemisen ehdoksi saadaan

$\begin{split}\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^{n+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n}\right| &=\frac23\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| \\ &=\frac23\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| < 1, \end{aligned}\end{split}$

eli

$\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right|<\frac32.$

Suppenemissäde $R=\frac{3}{2}$ ja sarja suppenee ainakin välillä $\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)$ . Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä $x=-4$ sarja tulee muotoon

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},$

joka suppenee itseisesti, sillä

$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.$

Pisteessä $x=-1$ sarja tulee muotoon

$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},$

joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis $[-4,-1]$ .

Pisteessä $0$ kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.$

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan $f$ on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause.

Olkoon $R>0$ edellisen potenssisarjan suppenemissäde. Tällöin funktio $f(x)$ on derivoituva välillä $(-R,R)$ ja integroituva jokaisella välillä $[a,b]\subseteq(-R,R)$ . Kun $|x|<R$ , niin

$\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\mathrm{d}t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\mathrm{d}t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots.\end{aligned}\end{split}$

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde $R$ .

Muunnokselle $x - c = u$ on voimassa $\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$ , ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$ .

Esimerkki.

Tutkitaan geometrista sarjaa

$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,$

kun $-1 < x < 1$ . Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$

välille $-1 < x < 1$ . Toisaalta integroimalla yhtälö puolittain väliä $[0,x]$ pitkin saadaan

$-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.$

Sijoitetaan tässä muuttujan $x$ paikalle $-x$ jolloin nähdään, että

$\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,$

kun $-1 < x < 1$ .