Positiivitermiset sarjat¶

Nyt jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on voimassa

sillä \(a_{n+1}\ge0\). Osasummien jono \((S_n)\) on siis kasvava, ja väite seuraa monotonisten jonojen peruslauseesta. \(\square\)

Tarkastellaan ensin väitettä kuvan avulla, kun \(m = 1\). Oheisissa kuvissa kunkin suorakulmion pinta-ala on \(1 \cdot f(k) = a_k\), missä \(k\) on sen järjestysluku. Sarjan summa on siis suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala. Integraalin pinta-alatulkinta huomioiden vasemmanpuoleisesta kuvasta voidaan nyt päätellä, että

jos \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\) hajaantuu, niin myös \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) hajaantuu.

Oikeanpuoleisesta kuvasta taas voidaan päätellä, että

jos \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\) suppenee, niin myös \(\displaystyle\sum_{k=2}^\infty a_k\).

Sekä sarjan että integraalin alkupäähän voidaan lisätä äärellinen reaaliluku muuttamatta suppenevuutta tai hajaantuvuutta.

Tehdään sitten varsinainen todistus. Oletetaan ensin, että \(m \geq 1\) ja

suppenee. Koska \(f(x)\) on vähenevä, niin \(a_{k+1}\le f(x)\), kun \(m \leq k\le x\le k+1\). Niinpä

ja osasummien erotus

Tässä viimeinen arvio perustuu siihen, että ei-negatiiviselle jatkuvalle integroituvalle funktiolle \(f(x)\) integraalifunktio

lähestyy arvoa \(\lim\limits_{y\to\infty}F(y)=I\) alhaaltapäin. Siis \((S_n - S_m)\), ja täten myös \((S_n)\) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono, joten sarja suppenee.

Vastaavasti päätellään, että jos integraali

hajaantuu, niin myös sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) hajaantuu. \(\square\)

Tutkitaan suppenemista integraalitestillä vertaamalla funktioon \(f(x)=\frac{1}{x^p}\). Tämä kelpaa, sillä \(f(k)=\frac{1}{k^p}\) kaikilla \(k\) ja \(f\) on vähenevä funktio. Epäoleellisten integraalien yhteydessä todettiin, että

suppenee jos ja vain jos \(p>1\), joten integraalitestin nojalla \(p\)-sarja suppenee jos ja vain jos \(p>1\). \(\square\)

Todistetaan ensin majoranttiperiaate. Merkitään \(S=\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\). Nyt, koska \(a_{n + 1} \geq 0\), niin

kaikilla \(n \ge 1\), joten sarjan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) osasummien jono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu ja siten suppeneva.

Nyt minoranttiperiaate voidaan johtaa majoranttiperiaatteesta. Jos \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k\) suppenisi, niin kohdan majoranttiperiaatteen mukaan myös \(\displaystyle\sum a_k\) suppenisi, mikä on ristiriita oletuksen kanssa. Sarjan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) täytyy siis hajaantua. \(\square\)

1. Sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla, sillä

   \[0\le\frac{1}{2^k+1}\le\frac{1}{2^k}\]

   kaikilla \(k \ge 1\) ja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k\) on suppeneva geometrinen sarja.

2. Funktio \(\ln x\) on kasvava ja \(\ln e=1\), joten \(\ln k\ge1\), kun \(k\ge3\). Siis

   \[\frac{\ln k}{k}\ge\frac1k \ge 0\]

   kaikilla \(k\ge3\). Koska harmoninen sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\) hajaantuu, niin myös tutkittava sarja hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla.

1. Suurilla \(k\) sekä osoittajan että nimittäjän vakio käy mitättömäksi, joten

   \[\frac{3k-2}{k^2+1}\approx\frac{3k}{k^2}=\frac3k.\]

   \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\) hajaantuu harmonisena sarjana, joten luultavasti tutkittava sarjakin hajaantuu. Vielä ei ole todistettu mitään, mutta päättely antaa vihjeen, että termejä kannattaa pyrkiä arvioimaan alhaalta päin termillä \((1/k)\). Suoraan saatava arvio

   \[\frac{3k-2}{k^2+1}\le\frac{3}{k}\]

   on käyttökelvoton, koska arvio menee väärään suuntaan. Arvioidaan seuraavasti. Kun \(k\ge 2\), on \(3k-2\ge 3k-k\) ja \(k^2+1\le k^2+k\), joten tällöin

   \[\frac{3k-2}{k^2+1}\ge\frac{3k-k}{k^2+k}=\frac{2k}{k(k+1)}=\frac{2}{k+1} \geq 0.\]

   Koska

   \[\sum_{k=2}^\infty\frac{2}{k+1}=2\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k}=\infty\]

   hajaantuu, niin tutkittava sarja hajaantuu.

2. Ilmeisesti käy samoin kuin edellisen esimerkin kohdassa 1, sillä taaskaan suurilla luvun \(k\) arvoilla nimittäjän vakiolla ei ole merkitystä. Nyt kuitenkin

   \[\frac{1}{2^k-1}\ge\frac{1}{2^k},\]

   kaikilla \(k \ge 1\), joten ei voida suoraan verrata sarjaan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\). Sen sijaan havaitaan, että näiden sarjojen termien osamäärä toteuttaa

   \[\frac{\frac{1}{2^k - 1}}{\frac{1}{2^k}} =\frac{2^k}{2^k-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2^k}}\to1,\]

   kun \(k\to\infty\). Siten jostakin luvun \(k\) arvosta lähtien on (valitse raja-arvon määritelmässä \(\varepsilon = 1\))

   \[\frac{\frac{1}{2^k - 1}}{\frac{1}{2^k}}\le2\Rightarrow 0\le\frac{1}{2^k-1}\le2\frac{1}{2^k}.\]

   Koska sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\) suppenee geometrisena sarjana, niin tutkittava sarja suppenee.

Käsitellään tapaukset erikseen.

1. Oletetaan, että \(L < 1\) ja valitaan luku \(r\) väliltä \((L,1)\). Tässä välttämättä \(L > 0\), sillä käsiteltävä sarja on positiiviterminen. Raja-arvon määritelmän mukaan on olemassa sellainen luonnollinen luku \(N\), että

   \[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r \Leftrightarrow a_{n+1}\le a_nr.\]

   aina, kun \(n \geq N\). Siten

   \[\begin{aligned} a_{N+1}&\le a_Nr, \qquad a_{N+2}\le a_{N+1}r\le a_Nr^2, \qquad\cdots\qquad a_{N+k}\le a_Nr^k. \end{aligned}\]

   Sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_Nr^k\) suppenee geometrisena sarjana, sillä \(|r| < 1\), joten jäännöstermi

   \[0 < R_N=\sum_{k=N+1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty a_{N+k}\le\sum_{k=1}^\infty a_Nr^k<\infty.\]

   Siis \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.

2. Oletetaan, että \(L > 1\). Tällöin suurilla \(k\) on \(a_k>0\) ja \(\frac{a_{k+1}}{a_k}\ge 1\), jolloin \(0<a_k\le a_{k+1}\). Ei siis voi olla \(\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0\), eikä sarja siten suppene.

Viimeinen väite voidaan todistaa esimerkin avulla. Harmoniselle sarjalle ja yliharmoniselle sarjalle, jolle \(p = 2\), on

mutta ensin mainittu näistä ja jälkimmäinen suppenee. Tapauksessa \(L=1\) suhdetesti ei siis anna tulosta. \(\square\)

Sarja on positiiviterminen, joten voidaan käytetään suhdetestiä. Nyt

kun \(k\to\infty\), joten sarja suppenee.