Sarja¶

Jaetaan leipä kahteen osaan, joista toinen osa jaetaan edelleen kahteen osaan ja jatketaan samaan tapaan määräämättömän pitkään. Viipaleista muodostuu kokonainen leipä, joten on ilmeisesti oltava

\[\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=1.\]

../_images/sarjateoriaaaretonsummahavainnollistus.svg

Mitä tämä ääretön summa tarkoittaa?

Määritelmä.

Olkoon \((a_k)\) lukujono. Muodollista summaa

\[a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{k=1}^\infty a_k\]

kutsutaan sarjaksi (series). Luku \(a_k\) on sarjan \(k\):s termi. Sarjan ensimmäisten termien summa indeksiin \(n\) saakka on sarjan \(n\):s osasumma (partial sum)

\[S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^na_k.\]

Esimerkki.

Sarjan

\[\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\]

neljä ensimmäistä osasummaa ovat

\[\begin{split}\begin{aligned} S_1&=\frac12, \\ S_2&=\frac12+\frac14=\frac34, \\ S_3&=\frac12+\frac14+\frac18=\frac{7}{8}, \\ S_4&=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}.\end{aligned}\end{split}\]

Määritelmä.

Tarkastellaan sarjaa \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\). Jos osasummien \(S_n\) muodostama lukujono \((S_n)\) suppenee ja sen raja-arvo on \(S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n\), niin sanotaan, että sarja suppenee (converges) ja että sen summa (sum) on \(S\). Tällöin merkitään

\[\sum_{k=1}^\infty a_k=S.\]

Jos \((S_n)\) hajaantuu, niin sanotaan, että sarja hajaantuu (diverges). Jos \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\pm\infty\), niin merkitään

\[\sum_{k=1}^\infty a_k=\pm\infty.\]

Esimerkki.

Osoita, että \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots\) suppenee.

Ratkaisu.

Muodostamalla osamurtokehitelmä nähdään, että yleinen termi voidaan kirjoittaa muodossa

\[a_k=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},\]

joten osasumma

\[\begin{split}\begin{aligned} S_n&=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac13\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\to1,\end{aligned}\end{split}\]

kun \(n\to\infty\). Siten sarja suppenee ja \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=1\).

Esimerkki.

Osoita, että sarja \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}=1-1+1-1+\cdots\) hajaantuu.

Ratkaisu.

Ensimmäiset osasummat ovat

\[\begin{split}\begin{aligned} S_1&=1, \\ S_2&=1-1=0, \\ S_3&=1-1+1=1, \\ S_4&=1-1+1-1=0.\end{aligned}\end{split}\]

Nähdään, että osasummien jono on \((1,0,1,0,1,0,\ldots)\), jolla ei ole raja-arvoa.

Huomautus.

Sarjan indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin \(1\). Esimerkiksi

\[\sum_{i=5}^\infty\frac{1}{(i-4)^2}=1+\frac14+\frac19+\cdots.\]

Tämän sarjan osasummat ovat

\[S_5=1,\quad S_6=1+\frac14=\frac34,\quad S_7=1+\frac14+\frac19=\frac{49}{36},\quad\ldots.\]

Määritelmä.

Sarja \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\) on geometrinen sarja (geometric series), jos on olemassa sellainen reaaliluku \(r\), että

\[a_{k+1}=ra_k\]

kaikilla \(k\). Toisin sanoen ensimmäisen termin jälkeen kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla suhdeluvulla (common ratio) \(r\).

Jos geometrisen sarjan ensimmäistä termiä merkitään kirjaimella \(a\), niin sarjan termit ovat \(a_0=a\), \(a_1=ar\), \(a_2=ar^2\), \(a_3=ar^3,\ldots\) Niinpä geometrinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa

\[\sum_{k=0}^\infty ar^k=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots.\]

Huomaa, että tässä ensimmäinen indeksi on \(k=0\).

Lause.

Jos suhdeluku toteuttaa ehdon \(|r|<1\), niin geometrinen sarja suppenee ja

\[\sum_{k=0}^\infty ar^k=\frac{a}{1-r}.\]

Jos taas suhdeluku \(|r|\ge1\) ja \(a\ne0\), niin geometrinen sarja hajaantuu.

Todistus.

Kirjoitetaan \(n\):s osasumma ja kerrotaan yhtälö puolittain suhdeluvulla, jolloin saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n,\\ rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^n+ar^{n+1}.\end{aligned}\end{split}\]

Vähentämällä nämä yhtälöt puolittain saadaan

\[(1-r)S_n=a-ar^{n+1},\]

joten

\[\begin{split}S_n= \begin{cases} \dfrac{a(1-r^{n+1})}{1-r},&\text{kun }r\ne1,\\ (n+1)a,&\text{kun }r=1. \end{cases}\end{split}\]

Kun \(|r|<1\), niin

\[\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}=0,\]

joten

\[S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}.\]

Kun \(|r|>1\), niin raja-arvoa \(\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}\) ei ole olemassa ja silloin sarja hajaantuu, mikäli \(a\ne0\). Myös tapauksissa \(r=\pm1\), \(a\ne0\), sarja hajaantuu. \(\square\)

Geometrisen sarjan indeksointia ei aina aloiteta nollasta. Jos aloitusindeksi on \(p \geq 1\), niin paras tapa lukea geometrisen sarjan kaava on

\[\sum_{k=p}^\infty ar^k=\frac{1\text{. termi}}{1-\text{suhdeluku}}.\]

Geometrisen sarjan osasummaa \(S_n\) kutsutaan geometriseksi summaksi, jolle edellisen todistuksen mukaan

\[\sum_{k=0}^nar^k=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r},\]

kun \(r \not= 1\).

Esimerkki.

Sarja

\[\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\]

on geometrinen sarja, jonka suhdeluku \(r=\frac{1}{2}\) ja ensimmäinen termi \(a=\frac{1}{2}\). Siis

\[\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.\]
Sarja

\[2-4+8-16+\cdots=\sum_{k=0}^\infty2(-2)^k\]

on geometrinen sarja, jonka suhdeluku \(r=-2\) ja ensimmäinen termi \(a = 2\). Sarja siis hajaantuu.
Sarja \(\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k}\) on suppeneva geometrinen sarja, sillä voidaan laskea, että

\[\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k} =\sum_{k=2}^\infty2\left(\frac{2}{5}\right)^k=\frac{\frac{8}{25}}{1-\frac{2}{5}}=\frac{8}{15}.\]

Koska sarjan arvo on sen osasummien jonon raja-arvo, seuraava perustulos seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.

Lause.

Jos sarjat \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) ja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) suppenevat, sekä \(c\in \mathbb R\), niin myös sarjat \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}ca_k\) ja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)\) suppenevat. Lisäksi

\[\sum_{k = 1}^{\infty}ca_k=c\sum_{k = 1}^{\infty}a_k\qquad\text{ja}\qquad\sum_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)=\sum_{k = 1}^{\infty}a_k+\sum_{k = 1}^{\infty}b_k.\]

Esimerkki.

Edellisen lauseen avulla saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty\left(2\left(-\frac13\right)^k+\frac{\pi}{e^k}\right) &=2\sum_{k=1}^\infty\left(-\frac13\right)^k+\pi\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{e}\right)^k\\ &=2\cdot\frac{-1/3}{1-(-1/3)}+\pi\frac{1/e}{1-1/e}=-\frac12+\frac{\pi}{e-1}.\end{aligned}\end{split}\]

Lause.

Jos sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) suppenee, niin \(\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0\).

Todistus.

Merkitään \(S=\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\). Tällöin \(S=\lim\limits_{n \to \infty} S_n=\lim\limits_{n \to \infty} S_{n-1}\), joten

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n-S_{n-1})= S-S=0.\]

\(\square\)

Seuraus.

Jos \(\lim\limits_{k \to \infty}a_k\ne0\) tai raja-arvoa ei ole olemassa, niin sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) hajaantuu.

Huomautus.

Äskeisen lauseen käänteinen väite ei päde. Siis sarja \(\displaystyle\sum a_k\) voi hajaantua, vaikka olisi \(\lim\limits_{k \to \infty} a_k=0\). Esimerkiksi tästä käy harmoninen sarja.

Esimerkki.

Sarja \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k-1}{k}\) hajaantuu, sillä

\[\dfrac{k-1}{k}=1-\dfrac{1}{k}\to1\ne0,\]

kun \(k \to \infty\).

Määritelmä.

Sarjan \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) \(n\):s jäännöstermi (remainder) on sarja \(\sum\limits_{k=n+1}^\infty a_k\), kun \(n \geq 0\). Jos jäännöstermi suppenee, niin sen summaa merkitään \(R_n\).

Seuraava lause toteaa sen ilmeisen seikan, että suppenevan sarjan summa \(S\) voidaan jakaa osiin, eli

\[S=\underbrace{a_1+a_2+\cdots+a_n}_{=S_n}+\underbrace{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots}_{=R_n}=S_n+R_n,\]

kun \(n \geq 0\).

Lause.

Sarja \(\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k\) suppenee, jos ja vain jos jäännöstermi \(\sum\limits_{k = n + 1}^{\infty}a_k\) suppenee kaikilla \(n \geq 0\). Suppenevassa tapauksessa

\[S = \sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=n+1}^\infty a_k = S_n + R_n\]

mielivaltaisella \(n \geq 0\).

Todistus.

Todistetaan väite kahdessa osassa.

Jos jäännöstermit suppenevat, niin sarja suppenee. Jäännöstermi \(R_0\) on itse asiassa koko sarja, joten väite on selvä.
Jos sarja suppenee, niin jäännöstermit suppenevat. Koska \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) suppenee, niin on olemassa raja-arvo

\[S - S_n = \lim_{m \to \infty}S_m - S = \lim_{m \to \infty}(S_m - S_n).\]

Jos nyt \(m > n\), niin

\[S - S_n = \lim_{m \to \infty}\sum_{k = n + 1}^{m}a_k = \sum_{k = n + 1}^{\infty}a_k = R_n.\]

\(\square\)

Jäännöstermien ja sarjan suppenemisen yhtäpitävyydestä seuraa erityisesti, että mikään äärellinen määrä sarjan alkupään termejä ei vaikuta sarjan suppenemiseen.