Lukujono¶

Määritelmä.

Jos jokaista luonnollista lukua $n$ vastaa reaaliluku $a_n$ , niin päättymätöntä järjestettyä luetteloa

$(a_1,a_2,a_3,\ldots)=(a_n)=(a_n)_{n=1}^\infty$

kutsutaan lukujonoksi (sequence). Luvut $a_n$ ovat lukujonon termejä (term) tai alkioita. Indeksointi voidaan aloittaa mistä tahansa kokonaisluvusta.

Esimerkki.

$(2n)_{n=0}^\infty=(0,2,4,6,\ldots)$
$(2n-1)_{n=1}^\infty=(1,3,5,7,\ldots)$
$\big((-1)^n2^n\big)_{n=1}^\infty=(-2,4,-8,16,-32,\ldots)$
$\left(\dfrac{1}{3^n}\right)_{n=0}^\infty=\left(1,\dfrac13,\dfrac19,\dfrac{1}{27},\ldots\right)$

Joskus lukujonon termeille ei anneta (tai ei voida antaa) edellisen esimerkin mukaista kaavaa.

Esimerkki.

Kasvavaan järjestykseen asetetut alkuluvut muodostavat jonon

$(2,3,5,7,11,13,\ldots).$
Määrittely $a_1=1$ ja $a_n=2a_{n-1}+3$ , kun $n>1$ , tuottaa lukujonon

$(1,5,13,29,61,\ldots).$
Määrittely $a_1=a_2=1$ ja $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ , kun $n>2$ , tuottaa niin sanotun Fibonaccin jonon

$(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots).$

Kohdissa 2 ja 3 on kyse rekursiivisesti (induktiivisesti) määritellystä lukujonosta, joka asetetaan määräämällä, kuinka kukin termi riippuu edellisestä tai edellisistä termeistä.

Lukujono $(a_n)_{n=1}^\infty$ voidaan samastaa funktion $f : \mathbb N\to\mathbb R$ , $f(n)=a_n$ , kanssa. Esimerkiksi lukujonoa

$\left(\frac{(-1)^n}{n}+1\right)_{n=1}^\infty$

vastaa funktio

$f : \mathbb N\to\mathbb R,\qquad f(n)=\frac{(-1)^n}{n}+1.$

Lukujonoa $(a_n)$ voidaan havainnollistaa geometrisesti piirtämällä sitä vastaavan funktion $f(n)$ kuvaaja.

../_images/sarjateorialukujononfunktio.svg

Huomautus.

Joskus lukujono esitellään listaamalla muutama ensimmäinen termi, esimerkiksi

$(1,2,3,\ldots).$

Tällainen määrittely ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, esimerkiksi edellinen jono voisi olla

$(n+1)_{n=0}^\infty=(1,2,3,4,5,6,\ldots)$

tai vaikkapa

$\left(-\frac12n^3+\frac32n^2+1\right)_{n=0}^\infty=(1,2,3,1,-7,-24,\ldots).$

Lukujonon raja-arvo¶

Lukujonolle määritellään raja-arvo samaan tapaan kuin funktiolle raja-arvo äärettömyydessä.

Määritelmä.

Lukujono $(a_n)$ suppenee kohti raja-arvoa $L$ , jos jokaista $\varepsilon > 0$ kohti löydetään sellainen luonnollinen luku $N$ , että $|a_n - L| < \varepsilon$ aina, kun $n > N$ ,

$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb N: n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon.$

Tällöin merkitään

$\lim_{n\to\infty}a_n=L\qquad\text{tai}\qquad a_n\to L,\text{ kun }n\to\infty.$

Jos lukujono ei suppene kohti mitään raja-arvoa, se hajaantuu.

Seuraavan kuvan tilanteessa valitulla $\varepsilon$ voidaan valita $N=4$ .

../_images/sarjateorialukujononrajaarvo.svg

Seuraavat kolme perustulosta voidaan todistaa samaan tapaan kuin funktion raja-arvon laskusäännöt.

Lause.

Jos $(a_n)$ ja $(b_n)$ suppenevat ja $c\in\mathbb R$ , niin

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim_{n\to\infty}a_n$ ,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n$ ,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n$ ,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$ , jos $\lim\limits_{n\to\infty}b_n\ne0$ ja $b_n \ne 0$ kaikilla $n$ .

Lause.

Olkoon $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ja olkoon funktio $f(x)$ jatkuva pisteessä $x=L$ . Silloin

$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=f(L).$

Lause.

Olkoon $a_n\le b_n\le c_n$ kaikilla $n$ ja

$\lim_{n\to\infty}a_n=L=\lim_{n\to\infty}c_n.$

Silloin $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$ . Tämä on kuristusperiaate.

Jos suppenevan lukujonon termien lauseke on tiedossa, niin raja-arvoa voidaan yrittää selvittää tutkimalla sopivan funktion raja-arvoa.

Lause.

Oletetaan, että funktio $f : [1,\infty)\to\mathbb R$ ja lukujono $(a_n)$ toteuttavat $a_n=f(n)$ aina, kun $n\in\mathbb N$ . Jos $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = L$ , niin $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = L$ .

Esimerkki.

Laskusääntöjen mukaan

$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2}{4n^2-9n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{4-9/n}=\frac{3}{4-0}=\frac34.$
Tarkastellaan suppeneeko lukujono $\left(\dfrac{\cos n}{n}\right)$ . Koska

$0\leftarrow-\frac1n\le\frac{\cos n}{n}\le\frac1n\to0,$

kun $n\to\infty$ , niin kuristusperiaatteen mukaan

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0.$

Lukujonon suppenemiseen ja mahdolliseen raja-arvoon ei äärellisen monella jonon alkupään termillä ole merkitystä. Niinpä esimerkiksi lukujonon raja-arvon laskusäännöissä ja kuristusperiaatteessa riittää, että lukujono toteuttaa vaaditun ehdon jostakin indeksin $n$ arvosta alkaen.

Kasvavat ja vähenevät lukujonot¶

Määritelmä.

Lukujono $(a_n)$ on kasvava, jos $a_n \leq a_{n + 1}$ , ja vähenevä, jos $a_n \geq a_{n + 1}$ kaikilla $n$ . Lukujono on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Lukujono $(a_n)$ on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $M$ , jolle $a_n\le M$ kaikilla $n$ . Vastaavasti lukujono on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $m$ , jolle $a_n \ge m$ kaikilla $n$ .

Esimerkki.

Vakiolukujono $(1,1,1,\ldots)$ on kasvava, vähenevä, alhaalta rajoitettu ja ylhäältä rajoitettu.
Jos

$a_n=\frac{1}{2n^2+7},$

missä $n \in \mathbb N$ , niin lukujono $(a_n)$ on vähenevä, sillä $2n^2+7$ on kasvava joukossa $\mathbb N$ . Lisäksi lukujono on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä selvästikin $0<a_n<1$ kaikilla $n$ .
Jos

$a_n=\frac{n+2}{n+13},$

missä $n \in \mathbb N$ , niin lukujono $(a_n)$ on kasvava, sillä funktion

$f(x)=\frac{x+2}{x+13}$

derivaatta

$f'(x)=\frac{11}{(x+13)^2}>0$

kaikilla $x\ge1$ . Lukujono on lisäksi sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, sillä kasvavuuden nojalla $a_n\ge a_1=\frac{3}{14}$ ja koska $n+2\le n+13$ kaikilla $n$ , niin $a_n\le1$ kaikilla $n$ .

Seuraava monotonisten jonojen peruslause (monotone convergence theorem) otetaan käyttöön ilman todistusta.

Lause.

Ylhäältä rajoitettu ja kasvava lukujono suppenee.

Todistus.

Sivuutetaan.

$\square$

Vastaava tulos on voimassa myös vähenevälle ja alhaalta rajoitetulle lukujonolle. Näiden perustulosten todistukset ylittävät kurssin vaatimukset, mutta niiden järkevyydestä voinee vakuuttua seuraavan kuvan avulla.

../_images/sarjateoriamonotjonojenperuslause.svg

Lemma.

Lukujono $(a_n)$ , missä

$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n,$

on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu, eli sillä on monotonisten jonojen peruslauseen mukaan raja-arvo. Merkitään tätä raja-arvoa kirjaimella $e$ . Tunnetusti

$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2{,}71828\ldots.$

Lisäksi myös lukujono $(b_n)$ , missä $b_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n$ , on aidosti kasvava ja

$\frac{1}{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n.$

Todistus.

Todistetaan, että lukujono $(a_n)$ on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Olkoon $0<x<y$ , jolloin voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö ja edelleen arvioida lauseketta ylöspäin.

$\begin{split}\begin{aligned} y^{n+1}-x^{n+1}&=(y-x)(y^n+y^{n-1}x+\cdots+yx^{n-1}+x^n)\\ &<(y-x)(y^n+y^n+\cdots+y^n+y^n)\\ &=(y-x)(n+1)y^n\\ &=(yn-(n+1)x)y^n+y^{n+1},\end{aligned}\end{split}$

kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ , joten

$x^{n+1}>((n+1)x-yn)y^n$

aina, kun $n \in \mathbb N$ . Sovelletaan nyt tätä epäyhtälöä arvoilla $x=1+\frac{1}{n+1}$ ja $y=1+\frac{1}{n}$ , joille selvästi $0<x<y$ . Saadaan

$\begin{aligned} a_{n+1}=x^{n+1}>((n+1+1)-(n+1))y^n=y^n=a_n.\end{aligned}$

Lukujono $(a_n)$ on siis aidosti kasvava. Toisaalta, jos sovelletaan samaa epäyhtälöä arvoilla $x=1$ ja $y=1+\frac{1}{2n}$ , niin saadaan arvio

$\begin{aligned} 1>\left((n+1)-\left(n+\frac12\right)\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n =\frac12\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n,\end{aligned}$

josta

$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n<2.$

Edelleen neliöimällä saadaan

$a_{2n}=\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}<4,$

eli $a_{2n} < 4$ . Kasvavuudesta seuraa, että $a_n \le a_{2n} < 4$ kaikilla $n$ . Siis jono $(a_n)$ on ylhäältä rajoitettu. $\square$

Edellisen lukujonon raja-arvona saatua lukua $e$ kutsutaan Neperin luvuksi, ja sillä on erityisasema luonnollisen eksponentti- ja logaritmifunktion kantalukuna. Edellistä lemmaa tarvittiin eksponenttifunktion $e^x$ määrittelemiseksi ja derivoimiskaavan $D(e^x)=e^x$ todistamiseksi.