Vektori ja sen perusominaisuuksia¶

Kahden avaruuden pisteen \(A=(a_1,a_2,...,a_n)\) ja \(B=(b_1,b_2,...,b_n)\) välille voidaan muodostaa jana, joka alkaa pisteestä \(A\) ja päättyy pisteeseen \(B\). Janaa kuvaamaan määritellään vektori

\[\begin{split}\overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ \vdots\\ b_n-a_n \end{bmatrix},\end{split}\]

jonka komponentit ovat pisteiden \(A\) ja \(B\) vastinkomponenttien erotukset. Tapauksissa, joissa \(n \leq 3\), vektoria havainnollistetaan piirtämällä nuoli pisteestä \(A\) pisteeseen \(B\), ja nuolen suunta kuvaa vektorin suuntaa.

Esimerkki.

Tason pisteitä \(A=(1,1)\) ja \(B=(-1,1)\) yhdistää vektorit

\[\begin{split}\overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix} -2\\0 \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \overrightarrow{BA}=\begin{bmatrix} 2\\0 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Pistettä \(O=(0,0,...,0)\) kutsutaan origoksi, ja sen avulla määritellään avaruuden pisteen \(X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) paikkavektori

\[\begin{split}\mathbf{x}=\overrightarrow{OX}= \begin{bmatrix} x_1 - 0\\ x_2 - 0\\ \vdots\\ x_n - 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}.\end{split}\]

Näin nähdään, että pistettä \(X=(x_1,x_2,...,x_n)\) vastaa yksi yhteen paikkavektori \(\mathbf{x}\). Jatkossa tarkastelemme pelkästään vektoreita pitäen kuitenkin mielessä myös edellä johdetun geometrisen taustan. Samasta syystä jatkossa vektoria \(\mathbf{x}\) voidaan jatkossa merkitä

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\qquad\text{tai}\qquad \mathbf{x}= (x_1, x_2, \ldots, x_n).\end{split}\]

Edellisten käsitteiden erikoistapaus on origon paikkavektori, eli nollavektori

\[\begin{split}\mathbf{0}=\overrightarrow{OO}= \begin{bmatrix} 0\\0\\\vdots\\0 \end{bmatrix},\end{split}\]

jolla tulee olemaan tärkeä rooli vektoreiden välisten laskutoimitusten tarkastelussa.

Reaalilukuja lasketaan yhteen, vähennetään toisistaan ja kerrotaan keskenään, ja samoin tehdään myös vektoreille. Varsinkin kertolaskun kohdalla vektorit käyttäytyvät kuitenkin eri tavalla kuin reaaliluvut. Aloitetaan kuitenkin yksinkertaisemmista laskutoimituksista.

Vektorit sijoittuvat aina johonkin avaruuteen (joukkoon), ja samaan avaruuteen kuuluvia vektoreita yhdistää niiden komponenttien lukumäärä. Otetaan käyttöön merkintä \(\mathbb R^n\) kuvaamaan sitä avaruutta, jonka vektoreissa (pisteissä) on \(n\) komponenttia. Avaruuden \(\mathbb R^n\) alkoita kutsutaan \(n\)-ulotteisiksi vektoreiksi. Avaruus on siis tietynlainen joukko vektoreita, ja se merkitään aaltosulkeiden välissä

\[\begin{split}\mathbb R^n = \left\{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} : x_1, x_2, \ldots, x_n \text{ ovat reaalilukuja}\right\},\end{split}\]

tai listaamalla kaikki mahdolliset alkiot. Joukkojen tarkempaan tutkimiseen palataan myöhemmin.

Avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoria

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\end{split}\]

kutsutaan myös pystyvektoriksi sen vuoksi, että sen komponentit kirjoitetaan allekkain yhdeksi sarakkeeksi. Tämä on vielä vain esitystekninen kysymys ja vastaavasti voitaisiin kirjoittaa vektorit vaakaan. Määritellään pystyvektoria \(\mathbf{x}\) vastaava vaakavektori asettamalla

\[\mathbf{x}^T= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots &x_n \end{bmatrix}.\]

Sanotaan, että vaakavektori \(\mathbf{x}^T\) on pystyvektorin \(\mathbf{x}\) transpoosi. Huomaa kuitenkin, että transpoosi \(\mathbf{x}^T\) ei ole avaruuden \(\mathbb R^n\) vektori!

Samaan avaruuteen \(\mathbb R^n\) kuuluville vektoreille

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad\mathbf{y}= \begin{bmatrix} y_1\\y_2\\\vdots\\y_n \end{bmatrix}\end{split}\]

määritellään summa asettamalla

\[\begin{split}\mathbf{x}+\mathbf{y}= \begin{bmatrix} x_1+y_1\\x_2+y_2\\\vdots\\x_n+y_n. \end{bmatrix}.\end{split}\]

Lisäksi jos \(r\) on reaaliluku eli skalaari, niin skalaarin ja vektorin tulo määritellään kaavalla

\[\begin{split}r\mathbf{x}= \begin{bmatrix} rx_1 \\ rx_2 \\ \vdots \\ rx_n \end{bmatrix}.\end{split}\]

Kaksi vektoria lasketaan siis yhteen lisäämällä vastinkomponentit toisiinsa, ja skalaarilla kerrottaessa kerrotaan jokainen komponentti.

Vektoreiden erotus määritellään asettamalla

\[\begin{split}\mathbf{x}-\mathbf{y}=\mathbf{x}+(-1)\mathbf{y}= \begin{bmatrix} x_1 - y_1 \\ x_2 - y_2 \\ \vdots \\ x_n - y_n \end{bmatrix},\end{split}\]

missä vektoria \((-1)\mathbf{y}= -\mathbf{y}\) kutsutaan vektorin \(\mathbf{y}\) vastavektoriksi. Kaksi vektoria ovat samat, jos niiden kaikki vastinkomponentit ovat yhtä suuria, ja tällöin myös niiden erotus on nollavektori \(\mathbf{0}\).

Edellä määritellyt laskutoimitukset toteuttavat seuraavat laskusäännöt.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{y}\) ja \(\mathbf{z}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita, sekä \(s\) ja \(r\) reaalilukuja. Tällöin

\(r\mathbf{x}+s\mathbf{x}=(r+s)\mathbf{x}\) (osittelulaki vektorille)
\(r\mathbf{x}+r\mathbf{y}=r(\mathbf{x}+\mathbf{y})\) (osittelulaki skalaarille)
\(r(s\mathbf{x})=(rs)\mathbf{x}\) (skalaarin siirto)
\(\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}\) (summan vaihdannaisuus)
\((\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})\) (summan liitännäisyys)
\(\mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}\) (summan neutraalialkio)
\(\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0}\) (summan vasta-alkio)
\(1\mathbf{x}=\mathbf{x}\) (skalaarilla kertomisen neutraalialkio)
\(0\mathbf{x}=\mathbf{0}\) (nollalla kertominen).

Todistus.

Väitteet seuraavat suoraan reaalilukujen vastaavista ominaisuuksista ja vektorien laskutoimitusten määritelmistä. Todistetaan esimerkkinä kohta 4. Olkoon

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \mathbf{y}= \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix},\end{split}\]

jolloin

\[\begin{split}\mathbf{x}+\mathbf{y}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 + x_1 \\ y_2 + x_2 \\ \vdots \\ y_n + x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \mathbf{y}+\mathbf{x}\end{split}\]

reaalilukujen summan vaihdannaisuuden nojalla. \(\square\)

Vektorien summa ja skalaarilla kertominen tuottaa aina uuden vektorin, ja tämän vuoksi myös seuraava määritelmä on perusteltu.

Määritelmä.

Vektori \(\mathbf{x}\) on vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset skalaarit \(c_1, c_2, \ldots, c_k\), että

\[\mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+ c_2\mathbf{v}_2+ \cdots+ c_k\mathbf{v}_k.\]

Lineaarikombinaatiossa on siis kyse jonkun vektorin \(\mathbf{x}\) esittämisestä annettujen vektoreiden \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\) yksinkertaisena laskutoimituksena. Törmätään seuraaviin kysymyksiin.

Onko vektori \(\mathbf{x}\) mahdollista esittää vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) avulla, eli onko lineaarikombinaatioesitys olemassa?
Voidaanko lineaarikombinaatioesityksen kertoimet \(c_1, c_2, \ldots, c_k\) valita useammalla kuin yhdellä tavalla, eli onko esitys yksikäsitteinen?

Näiden kysymysten pohtimiseen palataan myöhemmin.

Eräs erikoistapaus lineaarikombinaatioista on tilanne, jossa \(k=1\). Tällöin siis \(\mathbf{x}= c_1\mathbf{v}_1\), missä \(c_1\) on skalaari, ja vektoreita \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{v}_1\) kutsutaan yhdensuuntaisiksi. Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa on helppo nähdä, että skalaarilla \(c_1 > 0\) kertominen ei vaikuta vektoria esittävän nuolen suuntaan, eli yhdensuuntaiset vektorit saadaan toisistaan skaalaamalla. Sanotaan myös, että vektorit \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{v}_1\) ovat samansuuntaiset. Jos kertova skalaari \(c_1 < 0\), nuolen suunta kääntyy päinvastaiseksi, ja vektorit \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{v}_1\) ovat vastakkaissuuntaiset.

Tärkeimpiä esimerkkejä vektoreista, joiden lineaarikombinaatioita käsitellään usein, ovat avaruudessa \(\mathbb{R}^n\) määritellyt vektorit

\[\begin{split}\mathbf{e}_1= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{e}_2= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\qquad\ldots\qquad \mathbf{e}_n= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Näiden vektoreiden muodostamaa joukkoa \(\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,...,\mathbf{e}_n\}\) kutsutaan avaruuden \(\mathbb R^n\) luonnolliseksi kannaksi, sillä jokaiselle avaruuden \(\mathbb R^n\) vektorille \(\mathbf{x}\) löydetään esitys

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{x}= \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix} =x_1\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} +x_2\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} +\cdots+x_n\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{bmatrix} =x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\cdots+x_n\mathbf{e}_n\end{aligned}\end{split}\]

vektorien \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\) yksikäsitteisenä lineaarikombinaationa.

Esimerkki.

Olkoon \(\mathbf{z}=3(2\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w})-(\mathbf{u}+2\mathbf{v}+3\mathbf{w})\). Sievennä \(\mathbf{z}\) ja lausu se vektoreiden \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) lineaarikombinaationa.
Olkoot \(\mathbf{u}= (1, -2, -1)\), \(\mathbf{v}= (-6, 2, 3)\) ja \(\mathbf{w}= (-3, 1, -1)\). Lausu edellisen kohdan \(\mathbf{z}\) avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreiden \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\) ja \(\mathbf{e}_3\) lineaarikombinaationa.
Ratkaise \(\mathbf{x}\) yhtälöstä \(\mathbf{x}+3\mathbf{a}-2\mathbf{b}=3(\mathbf{x}+2\mathbf{a})-2(-2\mathbf{a}+3\mathbf{b})\).

Ratkaisu.

Sievennetään vektorin \(\mathbf{z}\) lauseketta laskusääntöjen avulla.

\[\mathbf{z}= 3(2\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w})-(\mathbf{u}+2\mathbf{v}+3\mathbf{w})=6\mathbf{u}+3\mathbf{v}+3\mathbf{w}-\mathbf{u}-2\mathbf{v}-3\mathbf{w}=5\mathbf{u}+\mathbf{v}\]

Nyt vektori \(\mathbf{z}\) on esitetty vektorien \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) monikertojen summana, eli kyseessä on lineaarikombinaatioesitys.
Sijoitetaan annetut vektorit saatuun lausekkeeseen.

\[\begin{split}\mathbf{z}=5\mathbf{u}+\mathbf{v}=5 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 - 6 \\ 5 \cdot (-2) + 2 \\ 5 \cdot (-1) + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -8 \\ -2 \end{bmatrix}\end{split}\]

Luonnollisen kannan lineaarikombinaation kertoimet saadaan suoraan vektorin komponenteista, joten \(\mathbf{z}=-\mathbf{e}_1-8\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_3\)
Laskusääntöjen mukaisesti nähdään, että

\[\mathbf{x}+ 3\mathbf{a}- 2\mathbf{b}= 3(\mathbf{x}+ 2\mathbf{a}) - 2(-2\mathbf{a}+ 3\mathbf{b}) \Leftrightarrow \mathbf{x}+3\mathbf{a}-2\mathbf{b}=3\mathbf{x}+10\mathbf{a}-6\mathbf{b}.\]

Sieventämällä kaikki vektorin \(\mathbf{x}\) sisältävät termit yhtälön vasemmalle ja muut oikealle puolelle saadaan ratkaisuksi

\[-2\mathbf{x}= 7\mathbf{a}- 4\mathbf{b}\Leftrightarrow \mathbf{x}= -\frac{7}{2}\mathbf{a}+ 2\mathbf{b}.\]