Pisteestä vektoriin¶

Kolmiulotteisen avaruuden pisteet $A$ voidaan esittää kolmikkoina

missä komponentit $a_1$, $a_2$, $a_3$ ovat reaalilukuja. Komponenttien avulla piste voidaan sijoittaa koordinaatistoon, liikkumalla niiden mukaisesti koordinaattiakseleita pitkin. Tämä ajatus yleistetään $n$-ulotteiseksi avaruudeksi, jonka pisteet $A$ ovat muotoa

missä komponentit $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ovat reaalilukuja. Havainnollistavaa koordinaatistoesitystä tällaiselle pisteelle ei ole kuin tapauksissa $n = 1$, $n = 2$ ja $n = 3$, sillä havaitsemme ympäröivässä fysikaalisessa maailmassa vain kolme paikkaulottuvuutta.

Tässä osiossa käsitellään $n$-ulotteisten vektorien perusominaisuuksia ja -laskutoimituksia, sekä muita vektorilaskennan peruskäsitteitä. Sovelluksena käsitellään suoria ja tasoja fysikaalisesti merkittävissä kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa.

Tärppejä tähän osioon:

• Vektori ja $n$-ulotteinen avaruus
• Vektorien laskutoimitusten määritelmät ja laskusäännöt, lineaarikombinaatio
• Pistetulo, normi, vektoreiden välinen kulma ja etäisyys
• Vektorin projektio toiselle, Cauchy-Schwartzin epäyhtälö ja kolmioepäyhtälö
• Determinantin merkintä ja laskeminen, ristitulo ja sen laskeminen, skalaarikolmitulo
• Suora ja taso kaksi- ja kolmiulotteisessa avaruudessa