Pistetulo ja normi¶

Paneudutaan seuraavaksi tarkastelemaan vektorien välisiä kertolaskutoimituksia. Luonnolliselta tuntuva tapa olisi kertoa vektoreiden vastinkomponentit keskenään, mutta tällaisella laskutoimituksella ei ole juurikaan kiinnostavia ominaisuuksia. Sen sijaan määritellään pistetulo avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreille ja ristitulo erityisesti avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreille. Tutkitaan ensin pistetuloa.

Määritelmä.

Olkoon

\[\begin{split}\mathbf{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \mathbf{v}= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}.\end{split}\]

Vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) pistetulo on

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= u_1v_1+u_2v_2+ \cdots + u_nv_n.\]

Pistetulo tuottaa siis reaaliluvun, ja tästä syystä sitä kutsutaankin joskus skalaarituloksi.

Näin määritelty pistetulo toteuttaa seuraavat laskusäännöt.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita, sekä \(c\) reaaliluku. Tällöin

\(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}\) (pistetulon vaihdannaisuus)
\(\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}+ \mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{w}\) (osittelulaki summan suhteen)
\((c \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}= c (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\) (skalaarin siirto)
\(\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}\geq 0\) ja \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}= 0\) täsmälleen silloin, kun \(\mathbf{u}=\mathbf{0}\).

Todistus.

Ensimmäiset kolme kohtaa seuraavat suoraan pistetulon määritelmästä. Todistetaan kohta 4. Olkoon

\[\begin{split}\mathbf{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix},\end{split}\]

jolloin

\[\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=u_1^2+u_2^2+\cdots +u_n^2\geq 0,\]

sillä jokainen luvuista \(u_1^2, u_2^2, \ldots, u_n^2\) on vähintään nolla. Lisäksi \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}= 0\) täsmälleen silloin, kun \(u_1^2 = u_2^2 = \cdots = u_n^2 = 0\), eli \(u_1 = u_2 = \cdots = u_n = 0\). Tällöin myös \(\mathbf{u}= \mathbf{0}\). \(\square\)

Esimerkki.

Luonnollisen kannan vektoreille on voimassa

\[\begin{split}\mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_j= \begin{cases} 1, & \text{kun } i = j \\ 0, & \text{kun } i \not= j. \end{cases}\end{split}\]

Lyhyemmin voidaan merkitä \(\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}\), missä oliota

\[\begin{split}\delta_{ij}=\begin{cases} 1, & \text{kun } i=j,\\ 0, & \text{kun } i\neq j \end{cases}\end{split}\]

kutsutaan Kroneckerin delta-symboliksi tai lyhyesti Kroneckerin deltaksi. Jos nyt

\[\mathbf{x}=c_1\mathbf{e}_1+c_2\mathbf{e}_2+\cdots+c_n\mathbf{e}_n,\]

niin vektorin \(\mathbf{x}\) komponentit \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) voidaan laskea pistetulon avulla muodossa

\[\begin{split}\begin{aligned} c_j &= c_1 \cdot 0 + \cdots + c_{j - 1} \cdot 0 + c_j \cdot 1 + c_{j + 1} \cdot 0 + \cdots + c_n \cdot 0 \\ &= c_1 \cdot \delta_{j1} + \cdots + c_{j - 1} \cdot \delta_{j(j-1)} + c_j \cdot \delta_{jj} + c_{j + 1} \cdot \delta_{j(j+1)} + \cdots + c_n \cdot \delta_{jn} \\ &= c_1\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_1 + \cdots + c_{j-1}\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_{j-1} + c_j\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_j + c_{j+1}\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_{j+1} + \cdots + c_n\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_n \\ &= \mathbf{e}_j \cdot (c_1\mathbf{e}_1 + \cdots + c_{j-1}\mathbf{e}_{j-1} + c_j\mathbf{e}_j + c_{j+1}\mathbf{e}_{j+1} + \cdots + c_n\mathbf{e}_n) \\ &= \mathbf{e}_j\cdot\mathbf{x}.\end{aligned}\end{split}\]

Näin ollen vektori \(\mathbf{x}\) voidaan aina esittää pistetulon avulla muodossa

\[\mathbf{x}=(\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{x})\mathbf{e}_1 + (\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{x})\mathbf{e}_2 + \cdots + (\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{x})\mathbf{e}_n.\]

Edellä osoitettiin, että \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\geq 0\) kaikille avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreille \(\mathbf{v}\). Reaaliluvun \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\) neliöjuuri voidaan siis laskea reaalisena.

Määritelmä.

Vektorin \(\mathbf{v}\) normi tai pituus on ei-negatiivinen reaaliluku

\[\|\mathbf{v}\|= \sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}.\]

Havaitaan välittömästi, että \(\|\mathbf{v}\|^2 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\).

Huomaa, että tasossa, eli avaruudessa \(\mathbb R^2\) vektorin \(\mathbf{v}= (v_1, v_2)\) normi

\[\|\mathbf{v}\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2},\]

eli \(\|\mathbf{v}\|^2 = v_1^2 + v_2^2\). Tämä on tuttu Pythagoraan lause vektorille ja sen luonnollisen kannan komponenteille! Yleisesti pistetulon määritelmästä seuraa, että

\[\|\mathbf{v}\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2},\]

kun vektori \(\mathbf{v}\) on avaruudessa \(\mathbb R^n\). Normi toteuttaa seuraavat laskusäännöt.

Lause.

Olkoon \(\mathbf{v}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektori ja \(c\) reaaliluku. Tällöin

\(\|\mathbf{v}\|=0\) täsmälleen silloin, kun \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\),
\(\|c\mathbf{v}\|= |c|\|\mathbf{v}\|\).

Todistus.

Kohta 1 seuraa pistetulon laskusäännöistä ja normin määritelmästä. Todistetaan kohta 2. Skalaarin siirtoa soveltamalla

\[\|c\mathbf{v}\|=\sqrt{(c\mathbf{v}) \cdot (c\mathbf{v})}=\sqrt{c(\mathbf{v}\cdot c\mathbf{v})}=\sqrt{c^2(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v})}=|c|\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}=|c|\|\mathbf{v}\|,\]

mikä todistaa väitteen. \(\square\)

Pistetulon ja normin ominaisuuksista seuraa niin sanottu polarisaatioidentiteetti.

Lause.

Avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreille \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) on voimassa

\[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\frac{1}{4}(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2).\]

Todistus.

Tarkastellaan väitteen oikeaa puolta, kun \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita.

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{1}{4}(\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2 - \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|^2) &= \frac{1}{4}\left((\mathbf{u}+ \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) - (\mathbf{u}- \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}- \mathbf{v})\right) \\ &= \frac{1}{4}\left(\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}- (\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{v})\right) \\ &= \frac{1}{4}\left(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\right) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}.\end{aligned}\end{split}\]

\(\square\)

Vektoria, jonka normi on \(1\), kutsutaan yksikkövektoriksi. Esimerkiksi kaikki avaruuden \(\mathbb R^2\) yksikkövektorit löydetään etsimällä origokeskisen \(1\)-säteisen ympyrän pisteiden paikkavektorit. Avaruudessa \(\mathbb R^3\) tehdään sama origokeskiselle \(1\)-säteiselle pallolle.

Olkoon \(\mathbf{v}\neq \mathbf{0}\) mikä tahansa vektori. Tällöin

\[\left\|\frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \mathbf{v}\right\| = \left| \frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \right| \|\mathbf{v}\| =\frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \|\mathbf{v}\| =1\]

eli vektori \(\dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}\) on aina yksikkövektori.

Vektoreiden välinen kulma ja etäisyys¶

Pistetulon ja normin sovelluksina voidaan määrittää kahden vektorin välinen kulma ja etäisyys \(n\)-ulotteisessa avaruudessa. Tarkastellaan tason \(\mathbb R^2\) vektoreita \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) geometrisesti.

Vektoreiden väliin jää kulma \(\theta\), ja lisäksi voidaan muodostaa kolmas vektori \(\mathbf{w}\) kahden ensimmäisen erotuksena. Lasketaan vektorin \(\mathbf{w}\) normin neliö kahdella tavalla. Ensinnäkin normin määritelmästä nähdään, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \|\mathbf{w}\|^2 &= \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|^2 = (\mathbf{u}- \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}- \mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}- \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\\ &= \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 - 2\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}.\end{aligned}\end{split}\]

Toisaalta vektorit \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) muodostavat kolmion, joille on voimassa kosinilause. Tällöin kolmion sivujen pituudet ovat \(\|\mathbf{u}\|\), \(\|\mathbf{v}\|\) ja \(\|\mathbf{w}\|\), joten

\[\|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 - 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.\]

Vertaamalla näitä esityksiä huomataan, että kulman \(\theta\) on toteutettava yhtälö

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.\]

Tästä motivoituneena määritellään vektoreiden välinen kulma yleisessä avaruudessa \(\mathbb R^n\).

Määritelmä.

Olkoot \(\mathbf{v}\neq \mathbf{0}\) ja \(\mathbf{u}\neq \mathbf{0}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita. Tällöin vektoreiden välinen kulma on se \(0\le\theta\le\pi\), jolle

\[\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}.\]

Tasossa \(\mathbb R^2\) syntyy erityisen mielenkiintoinen tapaus silloin, kun vektorit ovat kohtisuorat toisiinsa nähden, eli \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Tällöin \(\cos\theta = 0\), mikä tarkoittaa, että myös \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0\). Tämäkin ajatus yleistyy \(n\)-ulotteisille vektoreille.

Määritelmä.

Kaksi avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoria \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat keskenään ortogonaaliset eli toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0.\]

Tällöin merkitään \(\mathbf{u}\perp \mathbf{v}\).

Nollavektori on ortogonaalinen jokaisen vektorin kanssa, sillä ehto \(\mathbf{0}\cdot \mathbf{v}= 0\) on aina voimassa. Tämän vuoksi ei ole mielekästä puhua nollavektorin suunnasta.

Esitetään seuraavaksi tuttu Pythagoraan lause vektorin normien avulla.

Lause.

Vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat ortogonaaliset jos ja vain jos \(\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2\).

Todistus.

Jätetään harjoitustehtäväksi. Aloita tutkimalla lauseketta \(\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2\) normin määritelmän avulla. \(\square\)

Kahden vektorin välisellä etäisyydellä tarkoitetaan niiden kärkipisteiden välistä etäisyyttä, eli vektoreiden esittämien pisteiden välistä etäisyyttä. Pisteiden \((x_1, y_1)\) ja \((x_2, y_2)\) välinen etäisyys tasossa on \(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\), joten seuraava määritelmä on mielekäs.

Määritelmä.

Avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välinen etäisyys on

\[d(\mathbf{u},\mathbf{v})= \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|.\]

Huomautus.

Edellä määritelty funktio \(d\) on esimerkki metriikasta, eli etäisyyttä kuvaavasta funktiosta. Jotta kahdelle vektorille \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) toimiva funktio \(d\) on metriikka, sen tulee toteuttaa seuraavat ehdot.

\(d(\mathbf{u},\mathbf{v})\ge 0\) (ei-negatiivisuus)
\(d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0\) jos ja vain jos \(\mathbf{v}=\mathbf{u}\) (ei-degeneroituvuus)
\(d(\mathbf{u},\mathbf{v})=d(\mathbf{v},\mathbf{u})\) (symmetrisyys)
\(d(\mathbf{u},\mathbf{v})\le d(\mathbf{u},\mathbf{w})+ d(\mathbf{w},\mathbf{v})\) kaikilla \(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb R^n\) (kolmioepäyhtälö)

Normin määritelmän nojalla on selvää, että funktio \(d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|\) toteuttaa kolme ensimmäistä metriikan ehtoa. Kohdan 4, eli kolmioepäyhtälön todistamiseen palataan myöhemmin.

Esimerkki.

Olkoon \(\mathbf{v}= (1, \sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)\) ja \(\mathbf{u}= (4, -\sqrt{2}, 0, -5)\).

Laske \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}\).
Laske \(\|\mathbf{v}\|\) ja \(\|\mathbf{u}\|\).
Mikä on vektoreiden \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{u}\) välinen etäisyys?
Ovatko vektorit \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{u}\) toisiaan vastaan kohtisuorassa?

Ratkaisu.

Pistetulossa lasketaan vektorien vastinkomponenttien tulot yhteen.

\[\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}=1\cdot4+\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})+\sqrt{3} \cdot 0+0 \cdot (-5)=4-2=2\]
Vektorin normi on neliöjuuri sen pistetulosta itsensä kanssa.

\[\begin{split}\begin{aligned} \|\mathbf{v}\|&=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+0^2}=\sqrt{6} \\ \|\mathbf{u}\|&=\sqrt{4^2+(-\sqrt{2})^2+0^2+(-5)^2}=\sqrt{43} \end{aligned}\end{split}\]
Vektorien etäisyys lasketaan niiden kärkipisteiden etäisyytenä.

\[\begin{aligned} d(\mathbf{u},\mathbf{v})&=\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|=\sqrt{(4-1)^2+(-\sqrt{2}-\sqrt{2})^2+(0-\sqrt{3})^2+(-5+0)} = 3\sqrt{5} \end{aligned}\]
Vektorit \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{u}\) eivät ole ortogonaalisia, sillä kohdan 1 perusteella \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}= 2 \neq 0\).

Esimerkki.

Etsi kaikki ne vektorit \(\mathbf{u}= (x, y)\), jotka ovat kohtisuorassa vektoria \(\mathbf{v}= (3, -2)\) vastaan. Minkälainen kuvaaja muodostuu vektoreiden \(\mathbf{u}\) kärkipisteistä?
Olkoon \(\mathbf{u}= (-3, 1, -1)\) ja \(\mathbf{v}= (2, k^2, k)\), missä \(k\) on reaaliluku. Millä skalaarin \(k\) arvolla vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat ortogonaaliset?

Ratkaisu.

Vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) kohtisuoruusehto on

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 3x - 2y = 0,\]

mikä toteutuu silloin, kun \(y = \frac{3}{2}x\). Vektoria \(\mathbf{v}\) vasten ortogonaaliset vektorit ovat siis muotoa \(\mathbf{u}= \left(x, \frac{3}{2}x\right) = x\left(1, \frac{3}{2}\right)\), missä \(x\) on reaaliluku. Vektorien \(\mathbf{u}\) kärkipisteet muodostavat origon kautta kulkevan suoran \(y=\frac{3}{2}x\).
Lasketaan pistetulo \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\) ja tutkitaan milloin se on \(0\). Nyt

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= -3 \cdot 2 + 1 \cdot k^2 - 1 \cdot k = k^2 - k - 6 = (k + 2)(k - 3) = 0,\]

joten vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat ortogonaaliset täsmälleen silloin, kun \(k = -2\) tai \(k = 3\). Yhtälön juuret voi päätellä tekijöihinjaon tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla.