Pistetulo ja normi¶

Paneudutaan seuraavaksi tarkastelemaan vektorien välisiä kertolaskutoimituksia. Luonnolliselta tuntuva tapa olisi kertoa vektoreiden vastinkomponentit keskenään, mutta tällaisella laskutoimituksella ei ole juurikaan kiinnostavia ominaisuuksia. Sen sijaan määritellään pistetulo avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreille ja ristitulo erityisesti avaruuden $\mathbb R^3$ vektoreille. Tutkitaan ensin pistetuloa.

Määritelmä.

Olkoon

$\begin{split}\mathbf{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \mathbf{v}= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}.\end{split}$

Vektoreiden $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ pistetulo on

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= u_1v_1+u_2v_2+ \cdots + u_nv_n.$

Pistetulo tuottaa siis reaaliluvun, ja tästä syystä sitä kutsutaankin joskus skalaarituloksi.

Näin määritelty pistetulo toteuttaa seuraavat laskusäännöt.

Lause.

Olkoot $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{w}$ avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita, sekä $c$ reaaliluku. Tällöin

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$ (pistetulon vaihdannaisuus)
$\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}+ \mathbf{w}) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{w}$ (osittelulaki summan suhteen)
$(c \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}= c (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})$ (skalaarin siirto)
$\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}\geq 0$ ja $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}= 0$ täsmälleen silloin, kun $\mathbf{u}=\mathbf{0}$ .

Todistus.

Ensimmäiset kolme kohtaa seuraavat suoraan pistetulon määritelmästä. Todistetaan kohta 4. Olkoon

$\begin{split}\mathbf{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix},\end{split}$

jolloin

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=u_1^2+u_2^2+\cdots +u_n^2\geq 0,$

sillä jokainen luvuista $u_1^2, u_2^2, \ldots, u_n^2$ on vähintään nolla. Lisäksi $\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}= 0$ täsmälleen silloin, kun $u_1^2 = u_2^2 = \cdots = u_n^2 = 0$ , eli $u_1 = u_2 = \cdots = u_n = 0$ . Tällöin myös $\mathbf{u}= \mathbf{0}$ . $\square$

Esimerkki.

Luonnollisen kannan vektoreille on voimassa

$\begin{split}\mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_j= \begin{cases} 1, & \text{kun } i = j \\ 0, & \text{kun } i \not= j. \end{cases}\end{split}$

Lyhyemmin voidaan merkitä $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}$ , missä oliota

$\begin{split}\delta_{ij}=\begin{cases} 1, & \text{kun } i=j,\\ 0, & \text{kun } i\neq j \end{cases}\end{split}$

kutsutaan Kroneckerin delta-symboliksi tai lyhyesti Kroneckerin deltaksi. Jos nyt

$\mathbf{x}=c_1\mathbf{e}_1+c_2\mathbf{e}_2+\cdots+c_n\mathbf{e}_n,$

niin vektorin $\mathbf{x}$ komponentit $c_1, c_2, \ldots, c_n$ voidaan laskea pistetulon avulla muodossa

$\begin{split}\begin{aligned} c_j &= c_1 \cdot 0 + \cdots + c_{j - 1} \cdot 0 + c_j \cdot 1 + c_{j + 1} \cdot 0 + \cdots + c_n \cdot 0 \\ &= c_1 \cdot \delta_{j1} + \cdots + c_{j - 1} \cdot \delta_{j(j-1)} + c_j \cdot \delta_{jj} + c_{j + 1} \cdot \delta_{j(j+1)} + \cdots + c_n \cdot \delta_{jn} \\ &= c_1\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_1 + \cdots + c_{j-1}\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_{j-1} + c_j\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_j + c_{j+1}\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_{j+1} + \cdots + c_n\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_n \\ &= \mathbf{e}_j \cdot (c_1\mathbf{e}_1 + \cdots + c_{j-1}\mathbf{e}_{j-1} + c_j\mathbf{e}_j + c_{j+1}\mathbf{e}_{j+1} + \cdots + c_n\mathbf{e}_n) \\ &= \mathbf{e}_j\cdot\mathbf{x}.\end{aligned}\end{split}$

Näin ollen vektori $\mathbf{x}$ voidaan aina esittää pistetulon avulla muodossa

$\mathbf{x}=(\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{x})\mathbf{e}_1 + (\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{x})\mathbf{e}_2 + \cdots + (\mathbf{e}_n \cdot \mathbf{x})\mathbf{e}_n.$

Edellä osoitettiin, että $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\geq 0$ kaikille avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreille $\mathbf{v}$ . Reaaliluvun $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$ neliöjuuri voidaan siis laskea reaalisena.

Määritelmä.

Vektorin $\mathbf{v}$ normi tai pituus on ei-negatiivinen reaaliluku

$\|\mathbf{v}\|= \sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}.$

Havaitaan välittömästi, että $\|\mathbf{v}\|^2 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$ .

Huomaa, että tasossa, eli avaruudessa $\mathbb R^2$ vektorin $\mathbf{v}= (v_1, v_2)$ normi

$\|\mathbf{v}\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2},$

eli $\|\mathbf{v}\|^2 = v_1^2 + v_2^2$ . Tämä on tuttu Pythagoraan lause vektorille ja sen luonnollisen kannan komponenteille! Yleisesti pistetulon määritelmästä seuraa, että

$\|\mathbf{v}\|= \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2},$

kun vektori $\mathbf{v}$ on avaruudessa $\mathbb R^n$ . Normi toteuttaa seuraavat laskusäännöt.

Lause.

Olkoon $\mathbf{v}$ avaruuden $\mathbb R^n$ vektori ja $c$ reaaliluku. Tällöin

$\|\mathbf{v}\|=0$ täsmälleen silloin, kun $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ ,
$\|c\mathbf{v}\|= |c|\|\mathbf{v}\|$ .

Todistus.

Kohta 1 seuraa pistetulon laskusäännöistä ja normin määritelmästä. Todistetaan kohta 2. Skalaarin siirtoa soveltamalla

$\|c\mathbf{v}\|=\sqrt{(c\mathbf{v}) \cdot (c\mathbf{v})}=\sqrt{c(\mathbf{v}\cdot c\mathbf{v})}=\sqrt{c^2(\mathbf{v}\cdot \mathbf{v})}=|c|\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}=|c|\|\mathbf{v}\|,$

mikä todistaa väitteen. $\square$

Pistetulon ja normin ominaisuuksista seuraa niin sanottu polarisaatioidentiteetti.

Lause.

Avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreille $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ on voimassa

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\frac{1}{4}(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2).$

Todistus.

Tarkastellaan väitteen oikeaa puolta, kun $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita.

$\begin{split}\begin{aligned} \frac{1}{4}(\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2 - \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|^2) &= \frac{1}{4}\left((\mathbf{u}+ \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) - (\mathbf{u}- \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}- \mathbf{v})\right) \\ &= \frac{1}{4}\left(\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}- (\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{v})\right) \\ &= \frac{1}{4}\left(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\right) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}.\end{aligned}\end{split}$

$\square$

Vektoria, jonka normi on $1$ , kutsutaan yksikkövektoriksi. Esimerkiksi kaikki avaruuden $\mathbb R^2$ yksikkövektorit löydetään etsimällä origokeskisen $1$ -säteisen ympyrän pisteiden paikkavektorit. Avaruudessa $\mathbb R^3$ tehdään sama origokeskiselle $1$ -säteiselle pallolle.

Olkoon $\mathbf{v}\neq \mathbf{0}$ mikä tahansa vektori. Tällöin

$\left\|\frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \mathbf{v}\right\| = \left| \frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \right| \|\mathbf{v}\| =\frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \|\mathbf{v}\| =1$

eli vektori $\dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}$ on aina yksikkövektori.

Vektoreiden välinen kulma ja etäisyys¶

Pistetulon ja normin sovelluksina voidaan määrittää kahden vektorin välinen kulma ja etäisyys $n$ -ulotteisessa avaruudessa. Tarkastellaan tason $\mathbb R^2$ vektoreita $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ geometrisesti.

Vektoreiden väliin jää kulma $\theta$ , ja lisäksi voidaan muodostaa kolmas vektori $\mathbf{w}$ kahden ensimmäisen erotuksena. Lasketaan vektorin $\mathbf{w}$ normin neliö kahdella tavalla. Ensinnäkin normin määritelmästä nähdään, että

$\begin{split}\begin{aligned} \|\mathbf{w}\|^2 &= \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|^2 = (\mathbf{u}- \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}- \mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}- \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{v}\cdot \mathbf{v}\\ &= \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 - 2\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}.\end{aligned}\end{split}$

Toisaalta vektorit $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{w}$ muodostavat kolmion, joille on voimassa kosinilause. Tällöin kolmion sivujen pituudet ovat $\|\mathbf{u}\|$ , $\|\mathbf{v}\|$ ja $\|\mathbf{w}\|$ , joten

$\|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 - 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.$

Vertaamalla näitä esityksiä huomataan, että kulman $\theta$ on toteutettava yhtälö

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.$

Tästä motivoituneena määritellään vektoreiden välinen kulma yleisessä avaruudessa $\mathbb R^n$ .

Määritelmä.

Olkoot $\mathbf{v}\neq \mathbf{0}$ ja $\mathbf{u}\neq \mathbf{0}$ avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita. Tällöin vektoreiden välinen kulma on se $0\le\theta\le\pi$ , jolle

$\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}.$

Tasossa $\mathbb R^2$ syntyy erityisen mielenkiintoinen tapaus silloin, kun vektorit ovat kohtisuorat toisiinsa nähden, eli $\theta = \frac{\pi}{2}$ . Tällöin $\cos\theta = 0$ , mikä tarkoittaa, että myös $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0$ . Tämäkin ajatus yleistyy $n$ -ulotteisille vektoreille.

Määritelmä.

Kaksi avaruuden $\mathbb R^n$ vektoria $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat keskenään ortogonaaliset eli toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0.$

Tällöin merkitään $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$ .

Nollavektori on ortogonaalinen jokaisen vektorin kanssa, sillä ehto $\mathbf{0}\cdot \mathbf{v}= 0$ on aina voimassa. Tämän vuoksi ei ole mielekästä puhua nollavektorin suunnasta.

Esitetään seuraavaksi tuttu Pythagoraan lause vektorin normien avulla.

Lause.

Vektorit $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat ortogonaaliset jos ja vain jos $\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2$ .

Todistus.

Jätetään harjoitustehtäväksi. Aloita tutkimalla lauseketta

$\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2$ normin määritelmän avulla.

$\square$

Kahden vektorin välisellä etäisyydellä tarkoitetaan niiden kärkipisteiden välistä etäisyyttä, eli vektoreiden esittämien pisteiden välistä etäisyyttä. Pisteiden $(x_1, y_1)$ ja $(x_2, y_2)$ välinen etäisyys tasossa on $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$ , joten seuraava määritelmä on mielekäs.

Määritelmä.

Avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreiden $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ välinen etäisyys on

$d(\mathbf{u},\mathbf{v})= \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|.$

Huomautus.

Edellä määritelty funktio $d$ on esimerkki metriikasta, eli etäisyyttä kuvaavasta funktiosta. Jotta kahdelle vektorille $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ toimiva funktio $d$ on metriikka, sen tulee toteuttaa seuraavat ehdot.

$d(\mathbf{u},\mathbf{v})\ge 0$ (ei-negatiivisuus)
$d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0$ jos ja vain jos $\mathbf{v}=\mathbf{u}$ (ei-degeneroituvuus)
$d(\mathbf{u},\mathbf{v})=d(\mathbf{v},\mathbf{u})$ (symmetrisyys)
$d(\mathbf{u},\mathbf{v})\le d(\mathbf{u},\mathbf{w})+ d(\mathbf{w},\mathbf{v})$ kaikilla $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb R^n$ (kolmioepäyhtälö)

Normin määritelmän nojalla on selvää, että funktio $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|$ toteuttaa kolme ensimmäistä metriikan ehtoa. Kohdan 4, eli kolmioepäyhtälön todistamiseen palataan myöhemmin.

Esimerkki.

Olkoon $\mathbf{v}= (1, \sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)$ ja $\mathbf{u}= (4, -\sqrt{2}, 0, -5)$ .

Laske $\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$ .
Laske $\|\mathbf{v}\|$ ja $\|\mathbf{u}\|$ .
Mikä on vektoreiden $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{u}$ välinen etäisyys?
Ovatko vektorit $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{u}$ toisiaan vastaan kohtisuorassa?

Ratkaisu.

Pistetulossa lasketaan vektorien vastinkomponenttien tulot yhteen.

$\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}=1\cdot4+\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})+\sqrt{3} \cdot 0+0 \cdot (-5)=4-2=2$
Vektorin normi on neliöjuuri sen pistetulosta itsensä kanssa.

$\begin{split}\begin{aligned} \|\mathbf{v}\|&=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+0^2}=\sqrt{6} \\ \|\mathbf{u}\|&=\sqrt{4^2+(-\sqrt{2})^2+0^2+(-5)^2}=\sqrt{43} \end{aligned}\end{split}$
Vektorien etäisyys lasketaan niiden kärkipisteiden etäisyytenä.

$\begin{aligned} d(\mathbf{u},\mathbf{v})&=\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|=\sqrt{(4-1)^2+(-\sqrt{2}-\sqrt{2})^2+(0-\sqrt{3})^2+(-5+0)} = 3\sqrt{5} \end{aligned}$
Vektorit $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{u}$ eivät ole ortogonaalisia, sillä kohdan 1 perusteella $\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}= 2 \neq 0$ .

Esimerkki.

Etsi kaikki ne vektorit $\mathbf{u}= (x, y)$ , jotka ovat kohtisuorassa vektoria $\mathbf{v}= (3, -2)$ vastaan. Minkälainen kuvaaja muodostuu vektoreiden $\mathbf{u}$ kärkipisteistä?
Olkoon $\mathbf{u}= (-3, 1, -1)$ ja $\mathbf{v}= (2, k^2, k)$ , missä $k$ on reaaliluku. Millä skalaarin $k$ arvolla vektorit $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat ortogonaaliset?

Ratkaisu.

Vektoreiden $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ kohtisuoruusehto on

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 3x - 2y = 0,$

mikä toteutuu silloin, kun $y = \frac{3}{2}x$ . Vektoria $\mathbf{v}$ vasten ortogonaaliset vektorit ovat siis muotoa $\mathbf{u}= \left(x, \frac{3}{2}x\right) = x\left(1, \frac{3}{2}\right)$ , missä $x$ on reaaliluku. Vektorien $\mathbf{u}$ kärkipisteet muodostavat origon kautta kulkevan suoran $y=\frac{3}{2}x$ .
Lasketaan pistetulo $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$ ja tutkitaan milloin se on $0$ . Nyt

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= -3 \cdot 2 + 1 \cdot k^2 - 1 \cdot k = k^2 - k - 6 = (k + 2)(k - 3) = 0,$

joten vektorit $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat ortogonaaliset täsmälleen silloin, kun $k = -2$ tai $k = 3$ . Yhtälön juuret voi päätellä tekijöihinjaon tai toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla.