Vektoriprojektio¶

Tarkastellaan avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{u}$ seuraavan ongelman näkökulmasta. Tiedetään, että molemmat voidaan esittää luonnollisen kannan vektoreiden $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n$ lineaarikombinaationa, eli näiden suuntaisten vektoreiden summana. Lisäksi nämä vektorit ovat ortogonaalisia. Onko näin mahdollista tehdä muidenkin vektoreiden suhteen? Voidaanko erityisesti $\mathbf{v}$ jakaa kahden vektorin summaksi $\mathbf{v}= \mathbf{p}+ \mathbf{w}$ , missä $\mathbf{p}$ on vektorin $\mathbf{u}$ suuntainen ja $\mathbf{w}$ sitä vastaan kohtisuorassa?

Käy ilmi, että vastaus on kyllä silloin, kun $\mathbf{u}\not= \mathbf{0}$ . Oletetaan, että $\mathbf{v}= \mathbf{p}+ \mathbf{w}$ , jolloin kahden ehdon on toteuduttava.

Vektorit $\mathbf{p}$ ja $\mathbf{u}$ ovat yhdensuuntaiset vain, jos $\mathbf{p}= c\mathbf{u}$ jollakin skalaarilla $c$ . Toisin sanoen on oltava

$\mathbf{v}= c\mathbf{u}+ \mathbf{w}.$
Vektorit $\mathbf{w}$ ja $\mathbf{u}$ ovat kohtisuorat vain, jos $\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}= 0$ .

Lasketaan vektorin $\mathbf{v}$ pistetulo vektorin $\mathbf{u}$ kanssa, jolloin edellisten ehtojen toteutuessa

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= \mathbf{u}\cdot (c\mathbf{u}+ \mathbf{w}) = c\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{w}= c\|\mathbf{u}\|^2.$

Nyt olettamalla, että $\mathbf{u}\not= \mathbf{0}$ skalaariksi $c$ voidaan valita

$c=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}.$

Määritelmä.

Olkoot $\mathbf{u}\not= \mathbf{0}$ ja $\mathbf{v}$ avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita. Vektorin $\mathbf{v}$ projektio vektorille $\mathbf{u}$ on vektori

$\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}.$

Merkitsemällä nyt $\mathbf{p}= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})$ ja $\mathbf{w}= \mathbf{v}- \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})$ nähdään, että $\mathbf{p}+ \mathbf{w}= \mathbf{v}$ ja että vektorit $\mathbf{p}$ ja $\mathbf{u}$ ovat yhdensuuntaisia. Osoitetaan vielä, että näin määriteltynä vektori $\mathbf{w}$ on todella ortogonaalinen vektorin $\mathbf{u}$ kanssa laskemalla pistetuloksi

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}= \mathbf{u}\cdot \left(\mathbf{v}- \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2} = 0.$

Asetettu ongelma on täten ratkaistu. Sivutuotteena on esitelty vektoriprojektion käsite, jonka sovelluksiin lukeutuvat esimerkiksi mekaniikan voimakuviot. Projektiolle voidaan lisäksi todistaa seuraavat ominaisuudet.

Lause.

Olkoot $\mathbf{u}\not= \mathbf{0}$ ja $\mathbf{v}$ avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita. Tällöin seuraavat väitteet ovat voimassa.

$\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}))=\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})$ , eli projektiota ei voi muuttaa uudella projisoinnilla.
$\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}))=\mathbf{0}$ , eli kohtisuoran komponentin projektio on nollavektori.
$\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\mathbf{0}$ täsmälleen silloin, kun $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat ortogonaaliset.

Todistus.

Tulokset ovat geometrisesti ajateltuna intuitiivisia (piirrä kuva), mutta todistetaan ne vielä määritelmän avulla.

Sijoitetaan projektion määritelmä kahdesti.

$\begin{aligned} \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})) &= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\left(\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) = \frac{\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}= \frac{\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\|\mathbf{u}\|^2}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) \end{aligned}$
Projisoidaan kohtisuora osuus vektorista $\mathbf{v}$ .

$\begin{split}\begin{aligned} \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})) &= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\left(\mathbf{v}-\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) = \frac{\left(\mathbf{v}- \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}= \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}- \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\\ &= \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2} = \mathbf{0} \end{aligned}\end{split}$
Projektion määritelmästä seuraa, että $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ täsmälleen silloin, kun $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0$ tai $\mathbf{u}= \mathbf{0}$ . Mutta oletuksena oli $\mathbf{u}\not= \mathbf{0}$ , jolloin $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ täsmälleen silloin, kun $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0$ . Väite siis seuraa.

$\square$

Nämä vektoriprojektion perusominaisuudet ovat hyödyllisiä geometrisissa sovelluksissa.

Esimerkki.

Olkoon $\mathbf{w}= (2, 7, -11)$ ja $\mathbf{d}= (3, 0, -4)$ .

Etsi vektorin $\mathbf{w}$ komponentti vektorin $\mathbf{d}$ suuntaan, eli vektorin $\mathbf{w}$ projektio vektorille $\mathbf{d}$ , sekä niihin liittyvä kohtisuora komponentti.
Laske pisteen $\mathbf{w}$ lyhyin etäisyys vektorin $\mathbf{d}$ suuntaiselta origon kautta kulkevalta suoralta.

Ratkaisu.

Vektorin $\mathbf{w}$ projektio vektorille $\mathbf{d}$ on

$\begin{split}\operatorname{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{w})=\frac{\mathbf{d}\cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{d}\|^2}\mathbf{d}= \frac{3 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + (-4) \cdot (-11)}{3^2 + 0^2 + (-4)^2}\mathbf{d}= 2\mathbf{d}= \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{bmatrix},\end{split}$

jolloin kohtisuoraksi komponentiksi saadaan

$\begin{split}\mathbf{w}- \operatorname{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{w}) = \mathbf{w}- 2\mathbf{d}= \begin{bmatrix} -4 \\ 7 \\ -3 \end{bmatrix}.\end{split}$
Pisteen $\mathbf{w}$ lyhyin etäisyys vektorin $\mathbf{d}$ suuntaisesta origon kautta kulkevasta suorasta on projektion kohtisuoran komponentin normi

$\|\mathbf{w}- \operatorname{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{w})\|=\sqrt{(-4)^2+7^2+(-3)^2}=\sqrt{74}.$

Esimerkki.

Osoita, että jos $\|\mathbf{u}_0\| = 1$ , niin $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_0}(\mathbf{v}) = (\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v})\mathbf{u}_0$ .

Todistus.

Olkoon $\|\mathbf{u}_0\| = 1$ ja lasketaan vektorin $\mathbf{v}$ projektio vektorille $\mathbf{u}_0$ .

$\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_0}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}_0\|^2}\mathbf{u}_0 = \frac{\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v}}{1^2}\mathbf{u}_0 = (\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v})\mathbf{u}_0$

$\square$

Vektoreiden epäyhtälöitä¶

Vektoriprojektion eräs matemaattinen sovellus on Cauchy-Schwarzin epäyhtälön todistus, ja tätä epäyhtälöä voidaan puolestaan käyttää kolmioepäyhtälön todistamiseksi avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreille.

Lause.

Jos $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita, niin ne toteuttavat Cauchy-Schwarzin epäyhtälön

$|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}| \leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|.$

Todistus.

Jos $\mathbf{u}=\mathbf{0}$ , niin epäyhtälön molempien puolten lausekkeiden arvot ovat $0$ , ja todistus on valmis. Oletetaan, että $\mathbf{u}\neq\mathbf{0}$ ja tarkastellaan vektorin $\mathbf{v}$ projektiota sille.

$\|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\| = \left\|\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2} \mathbf{u}\right\| = \frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|^2}\|\mathbf{u}\| = \frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|}$

Koska toisaalta

$\mathbf{v}= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})+\mathbf{w},$

missä $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})$ ja $\mathbf{w}$ ovat ortogonaalisia, saadaan Pythagoraan lauseen avulla arvio

$\|\mathbf{v}\|^2 = \|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) + \mathbf{w}\|^2 = \|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 \ge \|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\|^2,$

eli vektorin $\mathbf{v}$ projektion pituus ei koskaan ylitä vektorin $\mathbf{v}$ pituutta. Näin ollen

$\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|} \le \|\mathbf{v}\|,$

mistä väite seuraa. $\square$

Huomautus.

Vertaa Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä vektoreiden $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ välisen kulman määritelmään. Vaikka tiedetään, että reaalisilla $\theta$ on voimassa $|\cos\theta| \leq 1$ , tätä ei voida hyödyntää epäyhtälön todistamisessa. Kulman määritelmää asetettaessa ei nimittäin voitu olla varmoja siitä, että osamäärä

$\left|\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\right| \leq 1,$

mikä on Cauchy-Schwartzin epäyhtälön seuraus!

Vihdoin voidaan osoittaa, että vektoreiden etäisyys $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|$ todellakin määrittelee metriikan.

Lause.

Jos $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ ovat avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita, niin ne toteuttavat kolmioepäyhtälön

$\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|.$

Todistus.

Soveltamalla normin määritelmää ja pistetulon ominaisuuksia saadaan

$\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2=(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot (\mathbf{u}+\mathbf{v})=\|\mathbf{u}\|^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\|\mathbf{v}\|^2.$

Kaikille reaaliluvuille $a$ on voimassa $a \leq |a|$ , joten myös $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\leq |\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|$ . Täten voidaan soveltaa Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä, ja saadaan

$\begin{split}\begin{aligned} \|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2 &\le \|\mathbf{u}\|^2+2|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|+\|\mathbf{v}\|^2\\ & \le \|\mathbf{u}\|^2+2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{v}\|^2\\ &=(\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|)^2.\end{aligned}\end{split}$

Väite seuraa tästä ottamalla neliöjuuri puolittain. $\square$

Kolmioepäyhtälö perustelee sen, että mielivaltaisille avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreille $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ ja $\mathbf{w}$ on voimassa

$d(\mathbf{u},\mathbf{v})\le d(\mathbf{u},\mathbf{w})+ d(\mathbf{w},\mathbf{v}).$

Geometrinen tulkinta on, että kahden pisteen $\mathbf{u}$ ja $\mathbf{v}$ välinen lyhyin etäisyys mitataan suoraa pitkin. Jos kuljetaan minkä tahansa kolmannen pisteen $\mathbf{w}$ kautta, joka ei kuulu pisteet yhdistävälle janalle, kuljetun matkan pituus kasvaa.