Ristitulo¶

Siirrytään sitten tutkimaan toista, avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreille määriteltyä kertolaskutoimitusta, jonka tuloksena saadaan uusi vektori. Kolmiulotteinen avaruus soveltuu tarkasteluun erityisesti siksi, että fysikaalisessa maailmassa havaitaan tyypillisesti kolme paikkaulottuvuutta. Ennen määritelmän antamista tutustutaan kuitenkin uusiin, yksinkertaistaviin merkintöihin.

Oletetaan, että alkiot \(x_{ij}\), missä \(0 \leq i, j \leq 2\), ovat reaalilukuja. Kyseessä on siis neljän alkion \(x_{11}\), \(x_{12}\), \(x_{21}\) ja \(x_{22}\) kokoelma. Näihin alkioihin liittyvä \(2\times 2\)-determinantti on luku

\[\begin{split}\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix}=x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}.\end{split}\]

Siihen, mitä determinantilla oikeastaan tarkoitetaan, palataan myöhemmin. Tässä vaiheessa kyseessä on vain uudenlainen tapa merkitä lukua \(x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}\). \(2\times 2\)-determinantin avulla määritellään \(3\times 3\)-determinantti asettamalla

\[\begin{split}\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}=x_{11}\begin{vmatrix} x_{22} & x_{23}\\ x_{32} & x_{33} \end{vmatrix} -x_{12}\begin{vmatrix} x_{21} & x_{23}\\ x_{31} & x_{33} \end{vmatrix} +x_{13}\begin{vmatrix} x_{21} & x_{22}\\ x_{31} & x_{32} \end{vmatrix}.\end{split}\]

\(3\times 3\)-determinantin laskeminen tapahtuu siis tietyillä säännöillä \(2\times 2\)-alideterminanttien avulla. Esimerkiksi kertoimella \(x_{11}\) kerrottu alideterminantti

\[\begin{split}\begin{vmatrix} x_{22} & x_{23}\\ x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}\end{split}\]

saadaan \(3\times 3\)-determinantista poistamalla se rivi ja sarake, missä \(x_{11}\) sijaitsee. Muut termit etsitään vastaavasti.

Esimerkki.

Laske determinantit

\[\begin{split}\begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} \qquad\text{ja}\qquad \begin{vmatrix} 2 & 3 & 8 \\ -4 & 5 & 9 \\ 0 & -7 & -8 \end{vmatrix}.\end{split}\]

Ratkaisu.

Ensimmäinen voidaan laskea suoraviivaisesti kaavalla.

\[\begin{split}\begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 - (-5) \cdot 3 = 22\end{split}\]

Toista varten tunnistetaan ensin alideterminantit ja niitä kertovat ylimmän rivin alkiot

\[\begin{split}\begin{vmatrix} 2 && \\ & 5 & 9 \\ & -7 & -8 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} & 3 & \\ -4 && 9 \\ 0 && -8 \end{vmatrix} \qquad\text{ja}\qquad \begin{vmatrix} && 8 \\ -4 & 5 & \\ 0 & -7 & \end{vmatrix}.\end{split}\]

Siis

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 8 \\ -4 & 5 & 9 \\ 0 & -7 & -8 \end{vmatrix} &= 2 \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ -7 & -8 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -4 & 9 \\ 0 & -8 \end{vmatrix} + 8 \begin{vmatrix} -4 & 5 \\ 0 & -7 \end{vmatrix} \\ &= 2 \cdot (5 \cdot (-8) - 9 \cdot (-7)) - 3 \cdot (-4 \cdot (-8) - 9 \cdot 0) + 8 \cdot (-4 \cdot (-7) - 5 \cdot 0) \\ &= 174. \end{aligned}\end{split}\]

Determinanteille voidaan osoittaa suorilla laskuilla seuraavat laskusäännöt.

Kahden rivin vaihto kertoo determinantin luvulla \(-1\).

\[\begin{split}\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \end{vmatrix}.\end{split}\]
Rivin kertominen skalaarilla kertoo determinantin samalla luvulla.

\[\begin{split}\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ rx_{21} & rx_{22} & rx_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}=r\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}\end{split}\]
Summat yhdellä rivillä voidaan jakaa kahdeksi determinantiksi.

\[\begin{split}\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21}+y_{21} & x_{22}+y_{22} & x_{23}+y_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ y_{21} & y_{22} & y_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{vmatrix}.\end{split}\]

Ristitulon määrittelyä varten muistetaan luonnollisen kannan vektorit \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\) ja \(\mathbf{e}_3\), joille käytetään joskus myös merkintöjä \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) ja \(\mathbf{k}\).

\[\begin{split}\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{i}, \qquad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{j}, \qquad \mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{k}\end{split}\]

Jokainen avaruuden \(\mathbb R^3\) vektori \(\mathbf{u}\) voidaan esittää muodossa

\[\begin{split}\mathbf{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3.\end{split}\]

Määritelmä.

Olkoon \(\mathbf{u}=u_1\mathbf{e}_1+u_2\mathbf{e}_2+u_3\mathbf{e}_3\) ja \(\mathbf{v}=v_1\mathbf{e}_1+v_2\mathbf{e}_2+v_3\mathbf{e}_3\). Vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ristitulo on

\[\begin{split}\mathbf{u}\times \mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\mathbf{e}_1 - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\mathbf{e}_2 + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Ristitulo tuottaa siis vektorin, ja tästä syystä sitä kutsutaankin joskus vektorituloksi.

Tärkein ristitulon ominaisuus on, että \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) on ortogonaalinen sekä vektorin \(\mathbf{u}\) että vektorin \(\mathbf{v}\) kanssa. Tämä osoitetaan myöhemmin.

Käytännön laskuissa determinantin määrittäminen on usein turhan vaivalloista. Huomattavasti yksinkertaisempaa on huomata, että

\[\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{0}\]

ja että

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 \\ \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_1 \\ \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \end{cases} \qquad\text{ja}\qquad \begin{cases} \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_3 = -\mathbf{e}_2 \\ \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_3 \\ \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_2 = -\mathbf{e}_1. \end{cases}\end{aligned}\end{split}\]

Kun siis kuljetaan syklin \(...\to\mathbf{e}_1\to\mathbf{e}_2\to\mathbf{e}_3\to\mathbf{e}_1\to\mathbf{e}_2\to...\) suuntaan, tulee ristitulossa vierekkäisten kantavektoreiden tuloksi syklin seuraava alkio. Sykliä vasten kuljettaessa vastaavasti tuloksi tulee järjestyksessä seuraava alkio, mutta miinus-merkillä varustettuna. Lisäksi voidaan osoittaa, että ristitulo toteuttaa seuraavat laskulait.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreita, sekä \(r\) reaaliluku. Tällöin

\(\mathbf{u}\times (\mathbf{v}+\mathbf{w})= \mathbf{u}\times \mathbf{v}+ \mathbf{u}\times \mathbf{w}\),
\((\mathbf{u}+ \mathbf{v})\times \mathbf{w}= \mathbf{u}\times \mathbf{w}+ \mathbf{v}\times \mathbf{w}\),
\(r(\mathbf{u}\times \mathbf{v})= (r \mathbf{u}) \times \mathbf{v}= \mathbf{u}\times (r \mathbf{v})\).

Todistus.

Tulos seuraa suoraan determinantin laskusäännöistä. Todistetaan ensimmäinen kohta esimerkkinä hyödyntämällä rivin alkioiden yhteenlaskua. Oletetaan tässä, että \(\mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3\), \(\mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3\) ja \(\mathbf{w}= w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3\).

\[\begin{split}\mathbf{u}\times (\mathbf{v}+\mathbf{w})= \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1+w_1 & v_2+w_2 & v_3 + w_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} = \mathbf{u}\times \mathbf{v}+ \mathbf{u}\times \mathbf{w}\end{split}\]

\(\square\)

Deteminantin laskusääntöjen avulla todistetaan myös seuraavat tärkeät ominaisuudet.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreita. Tällöin

\(\mathbf{u}\times \mathbf{v}= -\mathbf{v}\times \mathbf{u}\),
\(\mathbf{u}\times\mathbf{0}=\mathbf{0}\),
\(\mathbf{u}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}\).

Todistus.

Ensimmäiset kaksi kohtaa seuraavat suoraan determinantin rivien vaihtossäännöstä ja ristitulon määritelmästä. Oletetaan kohtaa 3 varten, että \(\mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3\) ja \(\mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3\), jolloin soveltamalla determinantin määritelmää ja rivien vaihtosääntöä saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{u}\times \mathbf{u}&=\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=-\mathbf{u}\times \mathbf{u},\end{aligned}\end{split}\]

eli \(2(\mathbf{u}\times \mathbf{u}) = \mathbf{0}\). On siis oltava \(\mathbf{u}\times \mathbf{u}=\mathbf{0}\). \(\square\)

Näiden tulosten avulla voidaan laskea ristituloja nopeasti.

Esimerkki.

Olkoot \(\mathbf{u}=\mathbf{i}-\mathbf{k}\) ja \(\mathbf{v}=2\mathbf{j}+\mathbf{k}\). Laske \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\).

Ratkaisu.

Ryhdytään laskemaan ristitulon laskusääntöjen avulla.

\[\begin{aligned} \mathbf{u}\times \mathbf{v}&=(\mathbf{i}-\mathbf{k})\times (2\mathbf{j}+\mathbf{k})=2\mathbf{i}\times\mathbf{j}+\mathbf{i}\times\mathbf{k}-2\mathbf{k}\times\mathbf{j}=2\mathbf{k}-\mathbf{j}+2\mathbf{i},\end{aligned}\]

jossa siis erityisesti \(\mathbf{k}\times\mathbf{k}=\mathbf{0}\).

Todistetaan seuraavaksi tulos, joka yhdistää ristitulon normin vektoreiden väliseen kulmaan.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreita, joiden välinen kulma on \(\theta\). Tällöin

\[\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\sin(\theta).\]

Todistus.

Oletetaan tässä, että \(\mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3\) ja \(\mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3\). Normin ja ristitulon määritelmien nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^2&= \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}^2\\ &=(u_2v_3-v_2u_3)^2+(u_1v_3-v_1u_3)^2+(u_1v_2-v_1u_2)^2.\end{aligned}\end{split}\]

Laskemalla lausekkeet auki termeittäin voidaan nähdä, että alin muoto on tismalleen sama kuin

\[(u_1^2+u_2^2+u_3^2)(v_1^2+v_2^2+v_3^2)-(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2 = \|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2 - (\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})^2.\]

Oletuksen nojalla kuitenkin \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos(\theta)\), joten

\[\begin{aligned} \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^2 &=\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2-\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2\cos^2(\theta) =\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2(1-\cos^2(\theta)) =\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2\sin^2(\theta).\end{aligned}\]

Koska \(\sin(\theta)\ge 0\), kun \(0\le\theta\le\pi\), voidaan ottaa yhtälöstä neliöjuuri puolittain, jolloin haluttu tulos seuraa välittömästi. \(\square\)

Palautetaan mieleen, että nollasta poikkeavat avaruuden \(\mathbb R^3\) vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun niiden välinen kulma \(\theta = 0\) tai \(\theta = \pi\).

Seuraus.

Jos avaruuden \(\mathbb R^3\) vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat yhdensuuntaiset, niin \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}\).

Risti- ja pistetulo voidaan myös yhdistää eräänlaiseksi kolmen vektorin kertolaskutoimitukseksi.

Määritelmä.

Avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreiden \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) skalaarikolmitulo on tulo \(\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})\).

Skalaarikolmitulo voidaan ristitulon tapaan esittää determinanttina.

Lause.

Jos \(\mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3\), \(\mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3\) ja \(\mathbf{w}= w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3\), niin

\[\begin{split}\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})= \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}.\end{split}\]

Todistus.

Suoraan laskemalla saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w}) &= (u_1\mathbf{e}_1+u_2\mathbf{e}_2+u_3\mathbf{e}_3) \cdot \left( \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix}\mathbf{e}_1 - \begin{vmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{vmatrix}\mathbf{e}_2 + \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix}\mathbf{e}_3\right)\\ &=u_1 \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix} - u_2 \begin{vmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{vmatrix} + u_3 \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix},\end{aligned}\end{split}\]

kuten haluttiinkin. \(\square\)

Piste- ja ristitulon paikkaa voidaan vaihtaa seuraavasti skalaarikolmitulossa.

Lause.

Jos \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) ovat avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreita, niin \(\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{u}\times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}\).

Todistus.

Oletetaan tässä, että \(\mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3\), \(\mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3\), sekä \(\mathbf{w}= w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3\). Soveltamalla determinantin rivinvaihtosääntöä sekä pistetulon vaihdannaisuutta saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w}) &=\begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} w_1 & w_2 & w_3\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} =\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}.\end{aligned}\end{split}\]

\(\square\)

Nyt voidaan lopulta todistaa, että vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ristitulo \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}\) on ortogonaalinen niiden molempien kanssa.

Seuraus.

Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat avaruuden \(\mathbb R^3\) vektoreita, niin vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat ortogonaalisia vektorin \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) kanssa.

Todistus.

Edellisen lauseen nojalla \(\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=(\mathbf{u}\times \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}\times \mathbf{v}=0\). Vektorille \(\mathbf{v}\) vastaavasti ristitulon \(\mathbf{v}\times \mathbf{u}= -\mathbf{u}\times \mathbf{v}\) kanssa. \(\square\)