Matriisin determinantti

Ristitulon tarkastelun yhteydessä määriteltiin determinantin käsite virtaviivaistamaan merkintöjä. Vertaamalla siellä esiteltyä $2 \times 2$-determinanttia

$$\begin{split}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21},\end{split}$$

sekä $2 \times 2$-matriisin $A$ käänteismatriisin

$$\begin{split}A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\end{split}$$

olemassaolon ehtoa nähdään, että determinantilla voisi olla muitakin sovelluksia. Laajennetaan se siis kattamaan kaikenlaiset neliömatriisit.

Määritelmä.

Olkoon $A$ $n \times n$-neliömatriisi. Jos $n \geq 2$, niin matriisin $A$ $(i, j)$-alimatriisi on se $(n - 1) \times (n - 1)$-neliömatriisi $A_{ij}$, joka saadaan poistamalla matriisista $A$ rivi $i$ ja sarake $j$.

Määritelmä.

Olkoon $A=[a_{ij}]$ $n \times n$-neliömatriisi. Matriisin $A$ determinantti $\det(A)$ on seuraavalla tavalla määräytyvä skalaari.

1. Jos $n = 1$, niin $\det(A) = a_{11}$.

2. Jos $n \geq 2$, niin

   $$\det(A) = (-1)^{0}a_{11}\det(A_{11}) + (-1)^1a_{12}\det(A_{12}) + \cdots + (-1)^{n - 1}a_{1n}\det(A_{1n}).$$

Vaihtoehtoisia merkintöjä determinantille ovat $\det(A) = |A| = \det A$.

Neliömatriisin determinantti lasketaan siis rekursiivisesti, eli palauttamalla se aina vain pienempien matriisien determinanttien laskemiseksi. Perustapauksena pidetään $1 \times 1$-matriisia, jonka determinantti on sen ainoan alkion arvo. Muissa tapauksissa determinantti kehitetään ensimmäisen rivin avulla. Esimerkiksi $2 \times 2$-matriisille

$$\begin{split}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = (-1)^0a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} \end{vmatrix} + (-1)^1a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} \end{vmatrix} = a_{11}d_{22} - b_{12}c_{21}\end{split}$$

ja $3 \times 3$-matriisille

$$\begin{split}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = (-1)^0a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + (-1)^{1}a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + (-1)^{2}a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.\end{split}$$

Esimerkki.

Tutkitaan yksikkömatriisin $I_n$ determinanttia. Jos $n = 1$, niin luonnollisesti $\det(I_n) = 1$. Jos puolestaan $n \geq 2$, matriisin $I_n$ ensimmäisen rivin alkiot ovat nollia diagonaalialkiota $a_{11} = 1$ lukuunottamatta. Sen määräämä $(1, 1)$-alimatriisi on yksinkertaisesti $I_{n - 1}$, ja tämän vuoksi

$$\det(I_n) = 1 \cdot \det(I_{n - 1}) = \det(I_{n - 1}).$$

Vastaavasti, jos $n \geq 3$, niin $\det(I_{n - 1}) = \det(I_{n - 2})$. Jatkamalla tätä päättelyä $n - 1$ kertaa saadaan $\det(I_n) = \det(I_1) = 1$ aina, kun $n$ on positiivinen kokonaisluku.

Laplacen laajennuslause toteaa, että determinantin voi kehittää ensimmäisen rivin lisäksi minkä tahansa rivin tai sarakkeen avulla. Suoraviivainen todistus sivuutetaan pitkänä ja teknisenä indeksien pyörittelynä.

Lause.

Olkoon $A = [a_{ij}]$ $n \times n$-neliömatriisi. Jos $n \geq 2$, niin matriisin $A$ determinantti voidaan kehittää $i$:nnen vaakarivin avulla muodossa

$$\det(A) = (-1)^{i - 1}a_{i1}\det(A_{i1}) + (-1)^{1 + i - 1}a_{i2}\det(A_{i2}) + \cdots + (-1)^{n - 1 + i - 1}a_{in}\det(A_{in})$$

$j$:nnen sarakkeen avulla muodossa

$$\det(A) = (-1)^{j - 1}a_{1j}\det(A_{1j}) + (-1)^{1 + j - 1}a_{2j}\det(A_{2j}) + \cdots + (-1)^{n - 1 + j - 1}a_{nj}\det(A_{nj}).$$

Huomaa, että determinanttia kehitettäessä noudatetaan seuraavanlaista merkkikaaviota.

$$\begin{split}\begin{matrix} + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}\end{split}$$

Kehitettäessä $i$:nnen rivin tai $j$:nnen sarakkeen avulla yhteenlaskettavien termien etumerkit valitaan tämän taulukon riviltä $i$ tai sarakkeesta $j$.

Esimerkki.

Laske matriisin $A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 7 & 6\\ 1 & 0 & 0 &3\\ 0 & 2 & 9 & -11\\ 0 & 0 &4 & 9 \end{bmatrix}$ determinantti.

Ratkaisu.

Laskujen yksinkertaistamiseksi determinantti kannattaa kehittää sellaisen rivin tai sarakkeen avulla, jossa on mahdollisimman paljon nollia. Tämän vuoksi valitaan ensimmäinen sarake kehittämiseen, jolloin

$$\begin{split}\det(A)=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 7 & 6\\ 1 & 0 & 0 &3\\ 0 & 2 & 9 & -11\\ 0 & 0 &4 & 9 \end{vmatrix} = -1 \cdot A_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 7 & 6 \\ 2 & 9 & -11 \\ 0 & 4 & 9 \end{vmatrix}.\end{split}$$

Kehitetään tämä $3 \times 3$-determinantti jälleen ensimmäisen pystysarakkeen suhteen, jolloin

$$\begin{split}\det(A)=-(-2) \cdot B_{21} = 2 \begin{vmatrix} 7 & 6\\ 4 & 9 \end{vmatrix}=2(7\cdot 9-4\cdot 6)=78.\end{split}$$

Laplacen laajennuslauseen välitön sovellus on neliömatriisin transpoosin determinantin laskeminen.

Lause.

Jos $A$ on neliömatriisi, niin $\det(A^T) = \det(A)$.

Todistus.

Jos transpoosin $A^T$ determinantti kehitetään ensimmäisen rivin avulla, niin tehdään samat laskutoimitukset kuin jos matriisin $A$ determinantti kehitettäisiin ensimmäisen sarakkeen avulla. Laplacen laajennuslauseen nojalla tällöin näiden kahden determinantin on oltava samat. Kokeile ja hahmottele jollain vapaavalintaisella matriisilla! $\square$

Tietynlaisille matriiseille determinantti on helppo laskea.

Määritelmä.

Olkoon $A = [a_{ij}]$ neliömatriisi. Jos $a_{ij} = 0$ aina, kun $i > j$, eli matriisin $A$ diagonaalin alapuolella on vain nollia, sitä kutsutaan yläkolmiomatriisiksi. Vastaavasti jos $a_{ij} = 0$ aina, kun $i < j$, eli matriisin $A$ diagonaalin yläpuolella on vain nollia, sitä kutsutaan alakolmiomatriisiksi.

Lause.

Jos neliömatriisi $A = [a_{ij}]$ on $n \times n$-ylä- tai alakolmiomatriisi, niin sen determinantti on diagonaalialkioiden tulo

$$\det(A) = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}.$$

Todistus.

Oletetaan ensin, että $A$ on yläkolmiomatriisi ja kehitetään sen ja jokaisen alimatriisin determinantti ensimmäisen sarakkeen suhteen. Koska tällöin kaikki sarakkeen alkiot ensimmäistä lukuunottamatta ovat varmasti nollia, saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \det(A) &= \det(A^1) = a_{11}\det(A^1_{11}) = a_{11}a_{22}\det(A^2_{11}) \\ &= \cdots = a_{11}a_{22} \cdots a_{(n-1)(n-1)}\det \begin{bmatrix} a_{nn} \end{bmatrix} = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn},\end{aligned}\end{split}$$

missä $A^{k}$ on järjestyksessä $k - 1$. alimatriisi edellä kuvatussa prosessissa. Alakolmiomatriisille tulos seuraa tästä ja tiedosta $\det(A^T) = \det(A)$. $\square$

Tarkastellaan seuraavaksi determinantin algebrallisia ominaisuuksia sarakevektoreiden näkökulmasta.

Lause.

Olkoot kaikki mainitut vektorit avaruudessa $\mathbb R^n$. Seuraavat väitteet ovat voimassa determinantille ja sarakemuunnoksille.

1. Sarakkeen kertominen vakiolla kertoo myös determinantin samalla vakiolla, eli jos $k$ on reaaliluku, niin

   $$\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & k\mathbf{v}_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix} = k\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}.$$

2. Summa yhdessä sarakkeessa muuntuu determinanttien summaksi, eli

   $$\begin{aligned} \begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j+\mathbf{v}'_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j & \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}'_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}. \end{aligned}$$

3. Sarakkeiden vaihto vaihtaa determinantin etumerkin, eli

   $$\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_i &\cdots &\mathbf{v}_j& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}\mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_j &\cdots &\mathbf{v}_i& \cdots & \mathbf{v}_n\end{vmatrix}.$$

Todistus.

Kaikki kohdat todistuvat suoraviivaisilla laskuilla. Harjoitustehtäväksi jätetään kokeilla kutakin kohtaa $3 \times 3$-matriiseilla. $\square$

Huomautus.

Erityisesti havaitaan, että mikäli neliömatriisissa $A$ on kaksi vakiokertojaa vaille samaa saraketta, on oltava $\det(A)=0$. Ne voidaan nimittäin skaalata ensin samoiksi (determinantti kertoutuu nollasta eroavalla vakiolla) ja sen jälkeen vaihtaa keskenään, jolloin

$$k\det(A) = -k\det(A).$$

Tämä toteutuu selvästi vain, jos $\det(A) = 0$. Vastaavasti, jos matriisissa on nollasarake, determinantti on nolla.

Koska aiemmin osoitettiin, että $\det(A)=\det(A^T)$, edellinen tulos voidaan muotoilla myös vaakarivivektoreille.

Seuraus.

Olkoon $A$ neliömatriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat voimassa.

1. Jos matriisissa $A$ on nollarivi tai -sarake, niin $\det(A)=0$.
2. Jos matriisi $B$ saadaan matriisista $A$ vaihtamalla kahden rivin tai sarakkeen paikkoja, niin $\det(B)=-\det(A)$.
3. Jos matriisissa $A$ on kaksi samaa riviä tai saraketta, niin $\det(A)=0$.
4. Jos matriisi $B$ saadaan matriisista $A$ kertomalla yksi matriisin $A$ rivi tai sarake skalaarilla $k$, niin $\det(B)=k\det(A)$.
5. Jos matriisin $C$ yksi rivi tai sarake on matriisien $A$ ja $B$ vastaavien rivien tai sarakkeiden summa ja muuten kaikki matriisit ovat samoja, niin $\det(C)=\det(A)+\det(B)$.
6. Jos matriisi $B$ saadaan matrisiista $A$ lisäämällä yksi vakiolla kerrottu matriisin $A$ rivi tai sarake toiseen matriisin $A$ riviin tai sarakkeeseen, niin $\det(B)=\det(A)$.

Matriisitulon ja determinantin välille löydetään miellyttävä yhteys, ja sen johtamisen sivutuotteena myös tärkeä ehto neliömatriisin kääntyvyydelle.

Lemma.

Olkoon $B$ neliömatriisi ja $E$ samankokoinen alkeismatriisi. Tällöin

$$\det(EB) = \det(E)\det(B).$$

Todistus.

Perustuu aikaisempaan lauseeseen. Tarkastellaan kaikkia kolmea rivimuunnosta ja niitä vastaavia alkeismatriiseja. Matriisin $E$ muodostussääntö on sama kuin sen vaikutus matriisiin $B$ tulossa $EB$.

1. Rivin skaalaus. Tällöin $E = E_i(k)$ ja $\det(E) = k\det(I_n) = k$, joten

   $$\det(EB) = k\det(B) = \det(E)\det(B).$$

2. Rivien vaihto. Tällöin $E = E_{ij}$ ja $\det(E) = -\det(I_n) = -1$, joten

   $$\det(EB) = -\det(B) = \det(E)\det(B).$$

3. Skaalatun rivin lisäys. Tällöin $E = E_{ij}(k)$ ja $\det(E) = \det(I_n) = 1$, joten

   $$\det(EB) = \det(B) = \det(E)\det(B).$$

Haluttu tulos toteutuu jokaisessa kohdassa. $\square$

Lemman välitön tulkinta on, että kääntyvän matriisin determinantin on poikettava nollasta.

Lause.

Neliömatriisi $A$ on kääntyvä täsmälleen silloin, kun $\det(A) \neq 0$.

Todistus.

Olkoon $A$ $n \times n$-neliömatriisi ja $R = \operatorname{rref}(A)$. Tällöin löydetään sellaiset alkeismatriisit $E_1, E_2, \ldots, E_k$, että $R = E_k \cdots E_2E_1A$. Soveltamalla edellistä lemmaa yhteensä $k$ kertaa nähdään, että

$$\det(R) = \det(E_k) \cdots \det(E_2)\det(E_1)\det(A).$$

Minkään alkeismatriisin determinantti ei ole nolla, joten $\det(A) = 0$ täsmälleen silloin, kun $\det(R) = 0$. Todistetaan nyt väite kahdessa osassa.

1. Jos $A$ on kääntyvä, niin kääntyvien matriisien peruslauseen nojalla $R = I_n$, ja näin $\det(R) = 1 \not= 0$. Siis $\det(A) \not= 0$.
2. Jos $\det(A) \not= 0$, niin myös $\det(R) \not= 0$. Matriisin $A$ redusoitu riviporrasmuoto ei siis voi sisältää nollariviä, ja koska kyseessä on neliömatriisi, jokaiselle riville osuu johtava ykkönen. Siis $R = I_n$, ja kääntyvien matriisien peruslauseen nojalla $A$ on kääntyvä.

$\square$

Nyt lemma voidaan yleistää koskemaan kaikkien neliömatriisien tulon determinanttia.

Lause.

Olkoot $A$ ja $B$ samankokoisia neliömatriiseja. Tällöin

$$\det(AB)= \det(A)\det(B).$$

Todistus.

Jaetaan todistus tapauksiin, joissa matriisi $A$ on singulaarinen tai kääntyvä. Jos $A$ ei ole kääntyvä, myöskään matriisi $AB$ ei ole kääntyvä, ja tällöin

$$\det(AB) = 0 = 0 \cdot \det(B) = \det(A)\det(B).$$

Jos $A$ on kääntyvä, se voidaan kääntyvien matriisien peruslauseen nojalla esittää alkeismatriisien tulona

$$A=E_1E_2 \cdots E_k.$$

Tällöin

$$AB=E_1E_2 \cdots E_kB,$$

joten soveltamalla edellistä lemmaa yhteensä $k$ kertaa saadaan

$$\det(AB)=\det(E_1)\det(E_2)\cdots \det(E_k)\det(B)=\det(E_1E_2\cdots E_k)\det(B)=\det(A)\det(B).$$

Molemmissa tapauksissa saatiin haluttu tulos. $\square$

Seuraus.

Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$.

Todistus.

Edellisen lauseen nojalla $1 = \det(I_n) = \det(A^{-1}A) = \det(A^{-1})\det(A)$. $\square$

Seuraus.

Jos $Q$ on ortogonaalinen matriisi, niin $\det(Q) = \pm 1$.

Todistus.

Jätetään harjoitustehtäväksi. $\square$

Esimerkki.

Jos $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 4$, niin mitä on $\begin{vmatrix} 3a & 2c & -b \\ 3d & 2f & -e \\ 3g & 2i & -h \end{vmatrix}$?

Ratkaisu.

Tutkitaan, minkälaisia operaatioita alkuperäiselle matriisille on tehty, jotta päästään kysyttyyn esitykseen. Ensimmäinen sarake on kerrottu luvulla $3$ (1), toinen luvulla $-1$ (2) ja kolmas luvulla $2$ (3), ja lopuksi on vaihdettu toisen ja kolmannen sarakkeen paikkaa (4). Hyödynnetään aikaisempaa lausetta jokaisen operaation kohdalla, jotta nähdään, miten determinantin arvo määräytyy.

$$\begin{split}\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3a & 2c & -b \\ 3d & 2f & -e \\ 3g & 2i & -h \end{vmatrix} &\stackrel{\text{(4)}}{=} - \begin{vmatrix} 3a & -b & 2c \\ 3d & -e & 2f \\ 3g & -h & 2i \end{vmatrix} \stackrel{\text{(3)}}{=} -2 \begin{vmatrix} 3a & -b & c \\ 3d & -e & f \\ 3g & -h & i \end{vmatrix} \stackrel{\text{(2)}}{=} 2 \begin{vmatrix} 3a & b & c \\ 3d & e & f \\ 3g & h & i \end{vmatrix} \stackrel{\text(1)}{=} 6 \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \\ &= 6 \cdot 4 = 24.\end{aligned}\end{split}$$

Posting submission...