$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot

Trigonometria viittaa jo nimeltään kolmioiden mittaamiseen. Yläkoulussa trigonometriaan tutustutaan tarkastelemalla erilaisia suorakulmaisia kolmioita ja niiden kateettien ja hypotenuusien välisiä suhteita. Tällöin sini, kosini ja tangentti määritellään suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituuksien suhteina seuraavasti:

$$\sin\theta = \frac{\text{vastainen}}{\text{hypotenuusa}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{viereinen}}{\text{hypotenuusa}} \qquad\text{ja}\qquad \tan\theta = \frac{\text{vastainen}}{\text{viereinen}},$$

missä sivujen vastaisuus ja viereisyys tulkitaan kolmion tarkasteltavan kulman $\theta$ suhteen. Tämä määritelmä toimii vain, jos kulma $\theta$ on toinen kolmion terävistä kulmista.

Yläkoulussa esitettyjen määritelmien heikkous on se, että trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti sekä niiden käänteisfunktiot eli arkusfunktiot on määritelty vain teräville kulmille. Yhtenä tämän osion tavoitteena on laajentaa trigonometristen funktioiden määritelmiä siten, että niiden arvoja voidaan laskea millä tahansa reaalilukusyötteellä.

Kulma ja suunnattu kulma

Palautetaan seuraavaksi mieleen, miten kulmaa $\theta$ voidaan mitata. Fysiikassa kulman yksikkönä käytetään usein astetta (degree), mutta matematiikassa kulma on hyödyllistä määritellä yksiköttömäksi suureeksi. Tarkastellaan $r$-säteistä ympyräsektoria, jonka keskuskulma on $\theta$ ja sitä vastaava kaarenpituus $s$. Kulma $\theta$ on tällöin yhtä suuri kuin kaaren pituuden ja säteen suhde.

Selvyyden vuoksi muutoin yksiköttömän kulman $\theta$ yksiköksi on sovittu radiaanit (radian). Radiaanien ja asteiden välinen yhteys selviää tarkastelemalla täyttä kulmaa vastaavaa ympyrän kehää. Tasogeometriasta muistetaan, että $r$-säteisen ympyrän kehän pituus on $2 \pi r$, joten kulman määritelmän mukaan täysi kulma on radiaaneina $2 \pi$ rad. Koska täysi kulma on asteina $360^{\circ}$, saadaan yhteys $2 \pi \text{ rad} = 360^{\circ}$. Niinpä

$$1\text{ rad}=\frac{180^{\circ}}{\pi},\qquad\text{eli}\qquad1^\circ=\frac{\pi}{180}\text{ rad}.$$

Yksikönmuunnokset asteista radiaaneihin ja radiaaneista asteihin onnistuvat yllä olevien kaavojen mukaan. Yleisimmin esiintyviä kulmia on koottu alla olevaan taulukkoon, ja niiden muistaminen helpottaa työskentelyä jatkossa. Ne pystyy myös päättelemään melko suoraviivaisesti.

$$\begin{split}\begin{array}{c|ccccccccccc}\hline \text{rad} & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2\pi}{3} & \frac{3\pi}{4} & \frac{5\pi}{6} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2\pi\\\hline ^{\circ} & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 120 & 135 & 150 & 180 & 270 & 360\\\hline \end{array}\end{split}$$

Kun kulman $\theta$ määrittävä ympyräsektori asetetaan karteesiseen koordinaatistoon siten, että sektorin kärki on origossa ja toinen sektorin kyljistä sijaitsee positiivisella $x$-akselilla, voidaan ottaa käyttöön suunnatun kulman (directed angle) käsite.

Suunnattu kulma $\theta$ kertoo, kumpaan suuntaan positiivisesta $x$-akselista katsoen kulma aukeaa. Jos $\theta > 0$, kulman katsotaan aukeavan vastapäivään. Toisaalta jos $\theta < 0$, kulman katsotaan aukeavan myötäpäivään.

Yksikköympyrän kehäpisteistä trigonometrisiin funktioihin

Yksikköympyräksi kutsutaan sitä $xy$-tason origokeskistä ympyrää, jonka säde on $1$. Näin ollen sen yhtälö on muotoa $x^2 + y^2 = 1$. Yksikköympyrä on erittäin hyödyllinen työkalu trigonometriassa, sillä suunnatut kulmat voidaan ajatella syntyvän siitä, kun yksikköympyrän kehäpiste kiertää ympyrän kehällä: kehäpiste rajaa ympyrästä positiivisen $x$-akselin kanssa nimittäin yksikäsitteisen ympyräsektorin, jonka keskuskulmaa kyseinen kehäpiste vastaa. Esimerkiksi kulma $\theta = 2\pi$ vastaa kokonaista kierrosta yksikköympyrällä vastapäivään. Puolta kierrosta vastapäivään vastaa siis kulma $\pi$ ja neljänneskierrosta myötäpäivään kulma $-\frac{\pi}{2}$. Jos $\theta>2\pi$ tai $\theta<-2\pi$, niin kulmaa vastaavan kehäpisteen ajatellaan kiertäneen ympyrän kehän ympäri useampia kierroksia.

Tunnetusti $xy$-taso jaetaan neljään koordinaattineljännekseen. Ensimmäisessä neljänneksessä pisteiden $x$- ja $y$-koordinaatit ovat molemmat positiivisia. Siispä jos ensimmäisessä neljänneksessä sijaitseva yksikköympyrän kehäpiste $(x_0,y_0)$ projisoidaan $x$-akselille, muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat $x_0$ ja $y_0$ sekä hypotenuusan pituus on 1.

Tällöin kehäpistettä $(x_0,y_0)$ vastaava keskuskulma $\theta$ on terävä ja sen sini, kosini ja tangentti voidaan laskea perinteiseen tapaan. Nimittäin

$$\sin \theta = \frac{y_0}{1} = y_0 \qquad \cos \theta = \frac{x_0}{1} = x_0 \qquad \text{ ja } \qquad \tan \theta = \frac{y_0}{x_0},$$

kunhan tangentin tapauksessa $x_0 \not= 0$. Muissa neljänneksissä trigonometristen funktioiden arvot eri kulmilla $\theta$ voidaan määritellä vastaavasti kehäpisteen koordinaattien avulla.

Määritelmä 3.4.1

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa $\theta$ vastaavaa kehäpistettä $(x,y)$. Trigonometriset funktiot sini (sine), kosini (cosine) ja tangentti (tangent) määritellään säännöillä

$$\sin(\theta) = y, \qquad \cos(\theta) = x \qquad\text{ja}\qquad \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{y}{x},$$

missä tangentti on määritelty vain, jos $\cos(\theta) = x \not= 0$. Jos sekaantumisen vaaraa ei ole, niin voidaan merkitä myös $\sin(\theta) = \sin\theta$, $\cos(\theta) = \cos\theta$ ja $\tan(\theta) = \tan\theta$.

Trigonometriset funktiot siis eräällä tavalla muuntavat yksikköympyrän suunnatun kulman sitä vastaavaksi kehäpisteeksi. Jos kulma on $\theta$, niin $\sin(\theta)$ on vastaavan kehäpisteen $y$-koordinaatti ja $\cos(\theta)$ $x$-koordinaatti. Toisin sanoen kehäpiste on $(\cos \theta, \sin \theta)$. Sen sijaan luvun $\tan(\theta)$ tulkinta on yksikköympyrän pisteeseen $(1, 0)$ tai $(-1, 0)$ piirretyn tangenttisuoran ja kulman $\theta$ toisen kyljen jatkeen leikkauspisteen $y$-koordinaatti.

Yllä esitetty geometrinen tulkinta kannattaa pitää vahvasti mielessä, sillä sen perusteella voi päätellä useita tärkeitä trigonometristen funktioiden ominaisuuksia. Esimerkiksi trigonometristen funktioiden merkit eri koordinaattineljänneksiin osuvilla kulmilla voidaan koota seuraaviksi kaavioiksi, jotka seuraavat suoraan kehäpisteen koordinaateista.

Geometrisen tulkinnan avulla voidaan myös perustella se, miksi sini ja kosini saavat arvoja vain väliltä $[-1,1]$, kun taas tangetin arvojoukko on $(-\infty,\infty)$. Osaatko perustella miksi?

Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Tarkastellaan aluksi trigonometristen funktioiden kuvaajia. Kuvaajien muoto on vahvasti yhteydessä kehäpisteen sijaintiin yksikköympyrän kehällä. Sinin kuvaaja saadaan, kun kehäpisteen $y$-koordinaatti esitetään vastaavan kulman funktiona. Kosinin kuvaaja saadaan puolestaan esittämällä kehäpisteen $x$-koordinaatti vastaavan kulman funktiona. Tangentin kuvaaja ei ole aivan yhtä suoraviivainen, mutta sekin kytkeytyy sekä yksikköympyrään että sinin ja kosinin kuvaajiin. Alla olevissa kuvaajissa tulee kiinnittää erityistä huomiota siihen, ettei sekoita kulman $\theta$ ja muuttujien $x$ ja $y$ merkitystä funktioiden kuvaajissa esiintyviin muuttujiin $x$ ja $y$.

Kun kulma on $0$, ollaan yksikköympyrän pisteessä $(1,0)$ ja tällöin sinin arvo on $0$ ja kosinin $1$. Samalla tavalla voidaan löytää muita vastaavuuksia ympyrän kehän ja sinin ja kosinin kuvaajien välillä. Varmista, että ymmärrät yhteyden kulmien $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ ja $-5\pi$ osalta.

Trigonometristen funktioiden kuvaajissa on nähtävissä selvää jaksollisuutta. Jaksollisella funktiolla tarkoitetaan funktiota, joka saa aina saman arvon tietyn jakson jälkeen. Toisin sanoen

$$f(x + T) = f(x),$$

missä $T \in \R$ on funktion jakso. Sinin ja kosinin jakso on kuvaajan perusteella $2 \pi$ ja tangentin $\pi$. Sama voidaan päätellä yksikköympyrästä, sillä kulmat $\theta$, $\theta + 2\pi$, $\theta - 2\pi$ ja yleisemmin $\theta + n2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku, ovat eri kulmia mutta vastaavat samaa yksikköympyrän kehän pistettä.

Huomautus 3.4.2

Sinin ja kosinin nollakohdat voidaan päätellä yksikköympyrästä.

$$\begin{split}\begin{aligned} \sin\theta=0 &\Leftrightarrow \theta=n\pi\\ \cos\theta=0 &\Leftrightarrow \theta=\frac{\pi}{2}+n\pi, \end{aligned}\end{split}$$

missä $n$ on mielivaltainen kokonaisluku. Koska $\tan\theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ on määritelty vain silloin, kun $\cos\theta \not= 0$, saadaan tangentin määrittelyehdoksi $\theta \not= \frac{\pi}{2} + n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku. Tangentin nollakohdat ovat samat kuin sinin nollakohdat.

Trigonometristen funktioiden arvoja lasketaan usein erilaisten ohjelmistojen avulla. Joitakin trigonometristen funktioiden arvoja välillä $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ voidaan edelleen päätellä muistikolmioista.

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \text{ja} \qquad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$

Muistikolmioiden lisäksi on toinenkin tapa saada helpohkosti lasketuksi samojen kulmien kosinit ja sinit, jos vasemmassa kädessäsi on viisi sormea. Jos ei ole, toivottavasti tämä tehtävä ei tuota ahdistusta.

• Jos pystyt, levitä vasemman kätesi kaikki sormet hiukan erilleen toisistaan niin, että peukalo ja pikkusormi ovat suurin piirtein suorassa kulmassa. Kämmenselkä ylöspäin.
• Peukalosta pikkusormeen päin edeten sormesi merkitsevät nyt kulmia $0$, $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$ ja $\pi/2$.
• Jos määrität kosinia jostakin näistä kulmista, laske kulmaa osoittavan sormen vasemmalle puolelle jäävien sormien määrä (kulman $\pi/2$ tapauksessa se on $0$). Jos määrität siniä, laske oikealle puolelle jäävien sormien määrä.
• Ota sormien määrästä neliöjuuri ja jaa tulos kahdella.

Kokeillaanpa tätä proseduuria. Haluat laskea sinin siitä kulmasta, joka on $x$-akselin ja funktion $f(x)=x$ kuvaajan välissä ensimmäisessä koordinaattineljänneksessä (jos ei muistu mieleen, mistä neljänneksestä on kyse, löydät sen opintomonisteesta muutaman rivin päässä eteenpäin tästä tehtävästä).

Kysymys 1

Minkä sormen valitset vasemmasta kädestä?

peukalo

etusormi

keskisormi

nimetön

pikkusormi

Kysymys 2

Siitä lasket sormien määrän mihin suuntaan?

oikealle

vasemmalle

ylös

alas

keskelle

Kysymys 3

Kuinka monta sormea ko. suunnassa on? Kulmaa osoittava sormea ei lasketa tähän lukuun.

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Kysymys 4

Siis kysytyn kulman sini on

$\sqrt{0}/2=0$

$\sqrt{1}/2=1/2$

$\sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}$

$\sqrt{3}/2$

$\sqrt{4}/2=1$

Jos kulma ei ole välillä $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$, niin trigonometrisen funktion arvon laskeminen voidaan palauttaa tälle välille seuraavien palautuskaavojen avulla.

1. $\sin(\theta + n2\pi) = \sin\theta$, $\cos(\theta + n2\pi) = \cos\theta$ ja $\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta$, kun $n\in \Z$
2. $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ ja $\cos(-\theta) = \cos\theta$
3. $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ ja $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$
4. $\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ ja $\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$

Kaavat voidaan päätellä yksikköympyrästä, sillä esimerkiksi

• kulmia $\theta$ ja $\theta+n2\pi$ vastaa samaa kehäpiste ja
• kulmia $\theta$ ja $-\theta$ vastaavilla kehäpisteillä on sama $x$-koordinaatti mutta $y$-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja.

Esimerkki 3.4.3

Laske $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

Piilota/näytä ratkaisu

Kulma $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ on toisessa koordinaattineljänneksessä, jolloin sen kosinin laskeminen palautuu ensimmäiseen neljännekseen ja muistikolmioon palautuskaavojen avulla seuraavasti:

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) =-\frac12.$$

Vaihtoehtoinen tapa on piirtää suorakulmainen kolmio yksikköympyrän toiseen neljännekseen ja päätellä palauttaminen kulmaan $\frac{\pi}{3}$ suoraan siitä.

Kulman $\theta$ kosinin ja sinin arvon etsimisproseduuri yksikköympyrän ja muistikolmioiden avulla:

1. Piirrä $xy$-tasoon yksikköympyrä ja sille säde kulman $\theta$ kohdalle.
2. Päättele kulmalle trigonometrisen funktion merkki neljänneksen perusteella.
   • Kosini on negatiivinen $y$-akselin vasemmalla ja positiivinen oikealla puolella.
   • Sini on negatiivinen $x$-akselin alla ja positiivinen yläpuolella.
3. Mikä on pienin kulman itseisarvo säteen ja $x$-akselin välissä (negatiivisen $x$-akselin 2. ja 3. neljänneksessä)? Päättele sen suuruus. Merkitään sitä tässä vaikkapa kirjaimella $\alpha$.
4. Kulmilla $\theta$ ja $\alpha$ on itseisarvoltaan yhtäsuuret kosinit (vastaavasti sinit). Päättele tämä arvo muistikolmioiden avulla.

Kokeillaanpa tätä proseduuria. Haluat laskea kosinin kulmasta $\frac{7\pi}{6}$.

Kysymys 1

Piirrä kulman kohdalle säde. Millä puolella $y$-akselia säde sijaitsee?

vasemmalla

oikealla

säde on y-akselilla

Kysymys 2

Siis kulman $\theta$ kosinin etumerkki on

miinus

plus

ei kumpikaan, koska säde on $y$-akselilla

Kysymys 3

Ajattele, että piirtämäsi säde ja $x$-akseli esittävät suoria. Mikä on näiden suorien välinen pienin kulma $\alpha$?

$0$

$\pi/6$

$\pi/4$

$\pi/3$

$\pi/2$

Kysymys 4

Mikä on kulman $\alpha$ kosini muistikolmioista (tai aikaisemman tehtävän sormitekniikalla) pääteltynä?

$0$

$1/2$

$1/\sqrt{2}$

$\sqrt{3}/2$

$1$

Kysymys 5

Siis mitä on yllä olevan perusteella $\cos\frac{7\pi}{6}$?

$-1$

$-\sqrt{3}/2$

$-1/\sqrt{2}$

$-1/2$

$0$

$1/2$

$1/\sqrt{2}$

$\sqrt{3}/2$

$1$

Palautuskaavoilla $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ ja $\cos(-\theta) = \cos\theta$ on erityinen merkitys.

Määritelmä 3.4.4

Funktio $f$ on parillinen, jos $f(-x)=f(x)$, ja pariton, jos $f(-x)=-f(x)$ aina kun $f(x)$ ja $f(-x)$ on määritelty.

Geometrisesti parillisuus tarkoittaa sitä, että funktion kuvaaja on peilisymmetrinen $y$-akselin suhteen, ja parittomuus sitä, että kuvaaja on kiertosymmetrinen origon suhteen. Esimerkiksi $\cos x$, $1$, $x^2$, $x^4$ ja $x^6$ ovat parillisia funktioita, kun taas $\sin x$, $\tan x$, $x$, $x^3$ ja $x^5$ ovat parittomia funktioita. Funktiot eivät yleensä ole parillisia eivätkä parittomia.

Esimerkki 3.4.5

1. Osoita, että $f(x)=x^2\sin x$ on pariton.
2. Onko $f(x)=(x+1)^2$ parillinen tai pariton?

Piilota/näytä ratkaisu

1. Suoralla laskulla nähdään, että

   $$f(-x) = (-x)^2\sin(-x) = x^2(-\sin x) = -x^2\sin x = -f(x),$$

   joten $f$ on pariton funktio.

2. Koska $f(-1) = 0$ ja $f(1) = 4$, niin funktio $f$ ei ole parillinen eikä pariton.

Lause 3.4.6 (Trigonometrian peruskaava)

Olkoon $\theta$ mikä tahansa reaaliluku. Tällöin

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,$$

missä potenssimerkinnöillä tarkoitetaan lukuja $(\cos(\theta))^2$ ja $(\sin(\theta))^2$.

Piilota/näytä todistus

Tulkitaan reaaliluku $\theta$ kulmaksi. Olkoon $(x_0,y_0)$ se yksikköympyrän kehän piste, joka vastaa kulmaa $\theta$. Määritelmän 3.4.1 mukaan $\sin\theta = y_0$ ja $\cos \theta = x_0$.

Yksikköympyrän yhtälö on muotoa $x^2 + y^2 = 1$, ja kaikki ympyrän kehän pisteet toteuttavat sen. Siispä

$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = x_0^2 + y_0^2 = 1.$$

Esimerkki 3.4.7

Ratkaise yhtälö $3\sin^2 x-\cos^2x=2$, kun $0 \leq x \leq \pi$.

Piilota/näytä ratkaisu

Trigonometrian peruskaavan nojalla $\cos^2x=1-\sin^2x$, joten yhtälö saadaan muotoon

$$3\sin^2 x-1+\sin^2x=2 \Leftrightarrow 4\sin^2x=3 \Leftrightarrow \sin^2x=\frac34 \Leftrightarrow \sin x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ehto $0 \leq x \leq \pi$ tarkoittaa, että rajoitutaan $xy$-tason ensimmäiseen ja toiseen neljännekseen, joissa sini on ei-negatiivinen. Täten riittää riittää hakea yhtälön $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ kaikki ratkaisut tällä välillä. Siis $x=\frac{\pi}{3}$ tai $x=\frac{2\pi}{3}$.

Seuraavat sinin ja kosinin summakaavat ovat tärkeitä myöhemmin kompleksilukujen käsittelyssä.

Lause 3.4.8

$\sin(\theta + \varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi\qquad$ ja $\qquad\cos(\theta + \varphi) = \cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi$.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan sinin summakaava geometrisesti silloin, kun $\theta$, $\varphi$ ja $\theta+\varphi$ sijaitsevat ensimmäisessä neljänneksessä. Piirretään avuksi kuva.

Lasketaan siis kulmaa $\theta + \varphi$ vastaavan kehäpisteen $y$-koordinaatti. Piirretään tästä kehäpisteestä kohtisuora jana kulman $\theta$ vasemmalle kyljelle, sekä $x$-akselin suuntainen suora niiden leikkauspisteen kautta. Piirretään vielä kulman $\theta + \varphi$ kehäpisteeltä kohtisuora jana tälle suoralle. Kuvan mukaisesti muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden hypotenuusien pituudet ovat $\sin\varphi$ ja $\cos\varphi$, sekä toinen terävistä kulmista $\theta$. Tällöin halutun kehäpisteen $y$-koordinaatti on kahden kateetin pituuden summana

$$\sin(\varphi + \theta) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi.$$

Muita kuin ensimmäisen neljänneksen tapauksia varten voidaan soveltaa palautuskaavoja, kunnes edellämainitut ehdot toteutuvat, ja näin todistus laajenee kaikille kulmille $\theta$ ja $\varphi$. Kosinin summakaava todistuu vastaavasti.

Summakaavojen, palautuskaavojen ja peruskaavan avulla voidaan johtaa lukuisa määrä taulukkokirjoissa lueteltuja trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja, kuten kaksoiskulmakaavat

$$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\qquad\text{ja}\qquad \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$

ja niiden johdannaiset

$$\sin^2\theta = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \qquad\text{ja}\qquad \cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)).$$

Lisäksi kulmien $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{4}$ ja $\frac{\pi}{6}$ yhdistelmien sinin ja kosinin tarkkoja arvoja voidaan laskea summakaavojen avulla.

Esimerkki 3.4.9

Laske kulman $15^{\circ}$ sinin, kosinin ja tangentin tarkat arvot.

Piilota/näytä ratkaisu

Nähdään, että $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ radiaania. Täten

$$\begin{split}\begin{aligned} \sin(15^{\circ}) &= \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ \cos(15^{\circ}) &= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ \tan(15^{\circ}) &= \frac{\sin(15^{\circ})}{\cos(15^{\circ})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{4} = \frac{8 - 2\sqrt{12}}{4} = 2 - \sqrt{3}. \end{aligned}\end{split}$$

Joskus sinin, kosinin ja tangentin käänteisluvuille käytetään nimityksiä kosekantti, sekantti ja kotangentti, ja merkitään

$$\begin{aligned} \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \end{aligned}$$

Näiden avulla monimutkaisia trigonometrisia lausekkeita voidaan ilmaista lyhyemmin.

Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot

Jos sini ja kosini muuntavat kulman yksikköympyrän kehäpisteen koordinaateiksi, niin voidaanko tämä kääntää ympäri? Onko mahdollista määrittää kulma kehäpisteen koordinaatista? Ongelmaa voidaan lähestyä jälleen tutkimalla tapausta aluksi ensimmäisessä koordinaattineljänneksessa, minkä jälkeen tulosten laajentaminen muihin neljänneksiin on mahdollista.

Määritelmä 3.4.10

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa $\theta$ vastaavaa kehäpistettä $(x, y)$. Arkusfunktiot arkussini, arkuskosini ja arkustangentti määritellään säännöillä

$$\arcsin(y) = \theta, \qquad \arccos(x) = \theta \qquad\text{ja}\qquad \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \theta,$$

missä arkustangentti on määritelty vain, jos $x \not= 0$. Näistä funktioista käytetään joskus myös merkintöjä $\arcsin = \sin^{-1}$, $\arccos = \cos^{-1}$ ja $\arctan = \tan^{-1}$, joita ei tule sekoittaa potenssiin $-1$. Kulma $\theta$ rajataan arkustangentin tapauksessa välille $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, arkussinin tapauksessa välille $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ja arkuskosinin tapauksessa välille $[0,\pi]$.

Jos tiedetään vaikkapa yksikköympyrän kehäpisteen $x$-koordinaatti, niin $y$-koordinaatille on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Täten ilman kulman rajausta myös arkuskosinin arvolle olisi kaksi mahdollista vaihtoehtoa! Kuten juurifunktion määritelmässä, tässä kohtaa sovitaan, että arkuskosinin arvoksi asetetaan ei-negatiivinen. Arkussinin ja arkustangentin tapauksissa sovitaan vastaavista syistä, että niiden arvo sijoittuu aina kulmien $-\frac{\pi}{2}$ ja $\frac{\pi}{2}$ väliin.

Huomautus 3.4.11

Koska arkussini ja arkuskosini kuvaavat yksikköympyrän kehäpisteen koordinaatit kulmalle, niin niiden syötteen täytyy aina olla lukujen $-1$ ja $1$ välissä. Esimerkiksi lukua $\arcsin(\pi)$ ei ole määritelty. Arkustangentin tapauksessa tällaista rajoitusta ei ole, sillä kehäpisteiden koordinaattien suhde $\frac{y}{x}$ käy läpi kaikki reaaliset arvot.

Seuraavassa kuvassa on esitetty kunkin arkusfunktion kuvaaja.

Laskuissa toisiaan vastaavat trigonometriset ja arkusfunktiot kumoavat toisensa käänteisfunktioiden ominaisuuksien perusteella, kunhan molemmat on määritelty, eli esimerkiksi

$$\arcsin(\sin(x))=x\qquad\text{ja}\qquad\sin(\arcsin(y))=y$$

silloin, kun $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ja $-1 \leq y \leq 1$. Kirjoita vastaavat tulokset kosinille ja tangentille!

Esimerkki 3.4.12

Laske $\arcsin\left(\dfrac12\right)$, $\arcsin\left(-\dfrac12\right)$ ja $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$.

Piilota/näytä ratkaisu

On siis löydettävä sellaiset kulmat, joiden sini tai kosini on mainittu luku. Muistikolmiosta nähdään, että

$$\arcsin\left(\frac12\right)=\frac{\pi}{6}.$$

Merkitään $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = x$ ja otetaan sini molemmin puolin. Tällöin

$$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = -\frac{1}{2} = \sin(x),$$

joten $\frac{1}{2} = -\sin(x) = \sin(-x)$ ja edelleen

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} = -x = \arcsin\left(\sin(-x)\right).$$

Siis edellisen laskun nojalla $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$. Vastaavasti viimeistä varten muistetaan, että $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, joten

$$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

ja $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

Täydennä seuraavaan sievennysprosessiin oikeat osat.

Sievennä $\cos( \arcsin x )$.

Kysymys 1

Merkitään $z=\cos(\arcsin x)$ ja $y=\arcsin x$. Tällöin

$y = \sin z$

$y = \cos z$

$z = \sin y$

$z = \cos y$

Kysymys 2

Koska $y=\arcsin{x}$, niin $x = \sin y$ ja

$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

$0 \leq y \leq \pi$

$\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{3\pi}{2}$

$\pi \leq y \leq 2\pi$

Kysymys 3

Trigonometrian peruskaava on

$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=\cos(2\theta)$

$\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=\cos(2\theta)$

$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$

$\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=1$

Kysymys 4

Trigonometrian peruskaavasta seuraa, että (muista $x = \sin y$)

$\cos{y}=\pm\sqrt{\cos(2y)+x^2}$

$\cos{y}=\pm\sqrt{\cos(2y)-x^2}$

$\cos{y}=\pm\sqrt{1+x^2}$

$\cos{y}=\pm\sqrt{1-x^2}$

Kysymys 5

Toisen kysymyksen (oikean vastauksen) mukaisella välillä $\cos{y}$ on

positiivinen

negatiivinen

Kysymys 6

Siis sievennetty muoto on

$\cos{y}=\sqrt{1+x^2}$

$\cos{y}=\sqrt{1-x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{1+x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{1-x^2}$

$\cos{y}=\sqrt{\cos(2y)-x^2}$

$\cos{y}=\sqrt{\cos(2y)+x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{\cos(2y)-x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{\cos(2y)+x^2}$

Palautusta lähetetään...