$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot

Tutkitaan $r$-säteisen ympyrän sektoria, jonka kaaren pituus on $s$. Sektorin kulma (angle) $\theta$ mitataan kaaren pituuden suhteena säteeseen.

Karteesisen koordinaatiston origokeskistä $1$-säteistä ympyrää $x^2 + y^2 = 1$ kutsutaan yksikköympyräksi (unit circle). Suunnatun kulman (directed angle) $\theta$ rajaaman sektorin toinen kylki on positiivisella $x$-akselilla, ja toiselle kyljelle päästään kulkemalla yksikköympyrää vastapäivään, jos $\theta>0$, ja myötäpäivään, jos $\theta < 0$.

Koska $r$-säteisen ympyrän kaaren pituus on $2\pi r$, yksikköympyrälle se on $2\pi$, ja täten kulma $\theta = 2\pi$ tarkoittaa kokonaista kierrosta yksikköympyrällä vastapäivään. Puoli kierrosta vastapäivään on siis $\pi$ ja neljänneskierros myötäpäivään $-\frac{\pi}{2}$. Jos $\theta>2\pi$ tai $\theta<-2\pi$, niin ajatellaan kierretyn useampia kierroksia. Kulmat $\theta$, $\theta + 2\pi$, $\theta - 2\pi$ ja yleisemmin $\theta + n2\pi$, missä $n$ on kokonaisluku, ovat eri kulmia, mutta vastaavat samaa yksikköympyrän kehän pistettä.

Edellä määritellyn mukaisesti kulma on yksikötön suure, mutta toisinaan selvyyden vuoksi käytetään yksikkönä radiaania (radian). Tällöin yksi kierros yksikköympyrää vastapäivään on $2\pi$ rad. Kulman yksikkönä käytetään myös astetta (degree), jolloin samanlainen kierros on $360^\circ$. Niinpä

$$1\text{ rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ},\qquad\text{eli}\qquad1^\circ=\frac{\pi}{180}\text{ rad}.$$

Seuraavaan on taulukoitu hyödyllisimpiä vastaavuuksia, jotka olisi syytä muistaa tai pystyä päättelemään.

$$\begin{split}\begin{array}{cccccccccccc}\hline \text{rad} & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2\pi}{3} & \frac{3\pi}{4} & \frac{5\pi}{6} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2\pi\\\hline ^{\circ} & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 120 & 135 & 150 & 180 & 270 & 360\\\hline \end{array}\end{split}$$

Määritelmä 1.6.1

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa $\theta$ vastaavaa kehäpistettä $(x,y)$. Trigonometriset funktiot sini (sine), kosini (cosine) ja tangentti (tangent) määritellään säännöillä

$$\sin(\theta) = y, \qquad \cos(\theta) = x \qquad\text{ja}\qquad \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{y}{x},$$

missä tangentti on määritelty vain, jos $\cos(\theta) = x \not= 0$. Jos sekaantumisen vaaraa ei ole, niin voidaan merkitä myös $\sin(\theta) = \sin\theta$, $\cos(\theta) = \cos\theta$ ja $\tan(\theta) = \tan\theta$.

Trigonometriset funktiot siis eräällä tavalla muuntavat yksikköympyrän suunnatun kulman vastaavaksi kehäpisteeksi. Jos kulma on $\theta$, niin $\sin(\theta)$ on vastaavan kehäpisteen $y$-koordinaatti ja $\cos(\theta)$ $x$-koordinaatti. Luvun $\tan(\theta)$ tulkinta on yksikköympyrän pisteeseen $(1, 0)$ tai $(-1, 0)$ piirretyn tangenttisuoran ja kulman $\theta$ toisen kyljen jatkeen leikkauspisteen $y$-koordinaatti.

Yksikköympyrästä päätellään sinin ja kosinin nollakohdat.

$$\begin{split}\begin{aligned} \sin\theta=0 &\Leftrightarrow \theta=n\pi\\ \cos\theta=0 &\Leftrightarrow \theta=\frac{\pi}{2}+n\pi, \end{aligned}\end{split}$$

kun $n$ on mielivaltainen kokonaisluku. Koska $\tan\theta$ on määritelty vain silloin, kun $\cos\theta \not= 0$, niin tangentin määrittelyehto on $\theta \not= \frac{\pi}{2} + n\pi$, missä $n$ on kokonaisluku. Tangentin nollakohdat ovat samat kuin sinin nollakohdat.

Koska yksikköympyrän yhtälö on $x^2 + y^2 = 1$ ja sen kehäpiste $(\cos\theta, \sin\theta)$, niin saadaan trigonometrian peruskaava

(1) $$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,$$

missä potenssimerkinnöillä tarkoitetaan lukuja $(\cos(\theta))^2$ ja $(\sin(\theta))^2$.

Koulutrigonometriassa sini, kosini ja tangentti määritellään suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituuksien suhteina.

$$\sin\theta = \frac{\text{vastainen}}{\text{hypotenuusa}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{viereinen}}{\text{hypotenuusa}}, \qquad\text{ja}\qquad \tan\theta = \frac{\text{vastainen}}{\text{viereinen}}$$

Aiemmin esitetty yksikköympyrämääritelmä laajentaa trigonometriset funktiot kattamaan kaikki reaaliarvoiset suunnatut kulmat. Joitakin trigonometristen funktioiden arvoja välillä $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ voidaan edelleen päätellä muistikolmioista.

Muistikolmioiden lisäksi on toinenkin tapa saada helpohkosti lasketuksi samojen kulmien kosinit ja sinit, jos vasemmassa kädessäsi on viisi sormea. Jos ei ole, toivottavasti tämä tehtävä ei tuota ahdistusta.

• Jos pystyt, levitä vasemman kätesi kaikki sormet hiukan erilleen toisistaan niin, että peukalo ja pikkusormi ovat suurin piirtein suorassa kulmassa. Kämmenselkä ylöspäin.
• Peukalosta pikkusormeen päin edeten sormesi merkitsevät nyt kulmia $0$, $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$ ja $\pi/2$.
• Jos määrität kosinia jostakin näistä kulmista, laske kulmaa osoittavan sormen vasemmalle puolelle jäävien sormien määrä (kulman $\pi/2$ tapauksessa se on $0$). Jos määrität siniä, laske oikealle puolelle jäävien sormien määrä.
• Ota sormien määrästä neliöjuuri ja jaa tulos kahdella.

Kokeillaanpa tätä proseduuria. Haluat laskea sinin siitä kulmasta, joka on $x$-akselin ja funktion $f(x)=x$ kuvaajan välissä ensimmäisessä koordinaattineljänneksessä (jos ei muistu mieleen, mistä neljänneksestä on kyse, löydät sen opintomonisteesta muutaman rivin päässä eteenpäin tästä tehtävästä).

Question 1

Minkä sormen valitset vasemmasta kädestä?

peukalo

etusormi

keskisormi

nimetön

pikkusormi

Question 2

Siitä lasket sormien määrän mihin suuntaan?

oikealle

vasemmalle

ylös

alas

keskelle

Question 3

Kuinka monta sormea ko. suunnassa on? Kulmaa osoittava sormea ei lasketa tähän lukuun.

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Question 4

Siis kysytyn kulman sini on

$\sqrt{0}/2=0$

$\sqrt{1}/2=1/2$

$\sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}$

$\sqrt{3}/2$

$\sqrt{4}/2=1$

Jos kulma ei ole välillä $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$, niin trigonometrisen funktion arvon laskeminen voidaan palauttaa tälle välille seuraavien palautuskaavojen avulla.

1. $\sin(\theta + n2\pi) = \sin\theta$, $\cos(\theta + n2\pi) = \cos\theta$ ja $\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta$, kun $n$ on kokonaisluku
2. $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ ja $\cos(-\theta) = \cos\theta$
3. $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ ja $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$
4. $\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ ja $\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$

Kaavat voidaan päätellä yksikköympyrästä, sillä esimerkiksi

• kulmia $\theta$ ja $\theta+n2\pi$ vastaa samaa kehäpiste ja
• kulmia $\theta$ ja $-\theta$ vastaavilla kehäpisteillä on sama $x$-koordinaatti mutta $y$-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja.

Keskustelun selkeyttämiseksi $xy$-taso jaetaan neljään koordinaattineljännekseen.

Trigonometristen funktioiden merkit eri koordinaattineljänneksiin osuvilla kulmilla voidaan nyt koota seuraaviksi kaavioiksi.

Esimerkki 1.6.2

Laske $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

Ratkaisu

Kulma $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ on toisessa koordinaattineljänneksessä, jolloin sen kosinin laskeminen palautuu ensimmäiseen neljännekseen ja muistikolmioon palautuskaavojen avulla seuraavasti:

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) =-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) =-\frac12.$$

Vaihtoehtoinen tapa on piirtää suorakulmainen kolmio yksikköympyrän toiseen neljännekseen ja päätellä palauttaminen kulmaan $\frac{\pi}{3}$ suoraan siitä.

Kulman $\theta$ kosinin ja sinin arvon etsimisproseduuri yksikköympyrän ja muistikolmioiden avulla:

1. Piirrä $xy$-tasoon yksikköympyrä ja sille säde kulman $\theta$ kohdalle.
2. Päättele kulmalle trigonometrisen funktion merkki neljänneksen perusteella.
   • Kosini on negatiivinen $y$-akselin vasemmalla ja positiivinen oikealla puolella.
   • Sini on negatiivinen $x$-akselin alla ja positiivinen yläpuolella.
3. Mikä on pienin kulman itseisarvo säteen ja $x$-akselin välissä (negatiivisen $x$-akselin 2. ja 3. neljänneksessä)? Päättele sen suuruus. Merkitään sitä tässä vaikkapa kirjaimella $\alpha$.
4. Kulmilla $\theta$ ja $\alpha$ on itseisarvoltaan yhtäsuuret kosinit (vastaavasti sinit). Päättele tämä arvo muistikolmioiden avulla.

Kokeillaanpa tätä proseduuria. Haluat laskea kosinin kulmasta $\frac{7\pi}{6}$.

Question 1

Piirrä kulman kohdalle säde. Millä puolella $y$-akselia säde sijaitsee?

vasemmalla

oikealla

säde on y-akselilla

Question 2

Siis kulman $\theta$ kosinin etumerkki on

miinus

plus

ei kumpikaan, koska säde on $y$-akselilla

Question 3

Ajattele, että piirtämäsi säde ja $x$-akseli esittävät suoria. Mikä on näiden suorien välinen pienin kulma $\alpha$?

$0$

$\pi/6$

$\pi/4$

$\pi/3$

$\pi/2$

Question 4

Mikä on kulman $\alpha$ kosini muistikolmioista (tai aikaisemman tehtävän sormitekniikalla) pääteltynä?

$0$

$1/2$

$1/\sqrt{2}$

$\sqrt{3}/2$

$1$

Question 5

Siis mitä on yllä olevan perusteella $\cos\frac{7\pi}{6}$?

$-1$

$-\sqrt{3}/2$

$-1/\sqrt{2}$

$-1/2$

$0$

$1/2$

$1/\sqrt{2}$

$\sqrt{3}/2$

$1$

Esimerkki 1.6.3

Ratkaise yhtälö $3\sin^2 x-\cos^2x=2$, kun $0 \leq x \leq \pi$.

Ratkaisu

Koska $\cos^2x=1-\sin^2x$, niin yhtälö saadaan muotoon

$$3\sin^2 x-1+\sin^2x=2 \Leftrightarrow 4\sin^2x=3 \Leftrightarrow \sin^2x=\frac34 \Leftrightarrow \sin x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Koska halutaan, että $0 \leq x \leq \pi$, niin rajoitutaan $xy$-tason ensimmäiseen ja toiseen neljännekseen, joissa sini on ei-negatiivinen. Täten riittää riittää hakea yhtälön $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ kaikki ratkaisut tällä välillä. Siis $x=\frac{\pi}{3}$ tai $x=\frac{2\pi}{3}$.

Palautuskaavojen mukaan trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, eli ne toistavat samat arvot säännöllisin välein. Sinin ja kosinin jakso on $2\pi$ ja tangentin jakso on $\pi$. Yksikköympyrän kehäpisteiden koordinaatit voidaan kääntää trigonometristen funktioiden kuvaajiksi.

Palautuskaavoilla $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ ja $\cos(-\theta) = \cos\theta$ on erityinen merkitys.

Määritelmä 1.6.4

Funktio $f$ on parillinen, jos $f(-x)=f(x)$, ja pariton, jos $f(-x)=-f(x)$ aina kun $f(x)$ ja $f(-x)$ on määritelty.

Geometrisesti parillisuus tarkoittaa sitä, että funktion kuvaaja on peilisymmetrinen $y$-akselin suhteen, ja parittomuus sitä, että kuvaaja on kiertosymmetrinen origon suhteen. Esimerkiksi $\cos x$, $1$, $x^2$, $x^4$ ja $x^6$ ovat parillisia funktioita, kun taas $\sin x$, $\tan x$, $x$, $x^3$ ja $x^5$ ovat parittomia funktioita. Valittu funktio ei yleensä ole parillinen eikä pariton.

Esimerkki 1.6.5

1. Osoita, että $f(x)=x^2\sin x$ on pariton.
2. Onko $f(x)=(x+1)^2$ parillinen tai pariton?

Ratkaisu

1. Suoralla laskulla nähdään, että

   $$f(-x) = (-x)^2\sin(-x) = x^2(-\sin x) = -x^2\sin x = -f(x),$$

   joten $f$ on pariton funktio.

2. Koska $f(-1) = 0$ ja $f(1) = 4$, niin funktio $f$ ei ole parillinen eikä pariton.

Seuraavat sinin ja kosinin summakaavat ovat ratkaisevan tärkeitä myöhemmin kompleksilukujen käsittelyssä.

Lause 1.6.6

$\sin(\theta + \varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi\qquad$ ja $\qquad\cos(\theta + \varphi) = \cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi$.

Todistus

Todistetaan sinin summakaava geometrisesti silloin, kun $\theta$, $\varphi$ ja $\theta+\varphi$ sijaitsevat ensimmäisessä neljänneksessä. Piirretään avuksi kuva.

Lasketaan siis kulmaa $\theta + \varphi$ vastaavan kehäpisteen $y$-koordinaatti. Piirretään tästä kehäpisteestä kohtisuora jana kulman $\theta$ vasemmalle kyljelle, sekä $x$-akselin suuntainen suora niiden leikkauspisteen kautta. Piirretään vielä kulman $\theta + \varphi$ kehäpisteeltä kohtisuora jana tälle suoralle. Kuvan mukaisesti muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden hypotenuusien pituudet ovat $\sin\varphi$ ja $\cos\varphi$, sekä toinen terävistä kulmista $\theta$. Tällöin halutun kehäpisteen $y$-koordinaatti on kahden kateetin pituuden summana

$$\sin(\varphi + \theta) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi.$$

Muita kuin ensimmäisen neljänneksen tapauksia varten voidaan soveltaa palautuskaavoja, kunnes edellämainitut ehdot toteutuvat, ja näin todistus laajenee kaikille kulmille $\theta$ ja $\varphi$. Kosinin summakaava todistuu vastaavasti.

Summakaavojen, palautuskaavojen ja peruskaavan avulla voidaan johtaa lukuisa määrä taulukkokirjoissa lueteltuja trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja, kuten kaksoiskulmakaavat

$$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\qquad\text{ja}\qquad \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$

ja niiden johdannaiset

$$\sin^2\theta = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \qquad\text{ja}\qquad \cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)).$$

Lisäksi kulmien $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{4}$ ja $\frac{\pi}{6}$ yhdistelmien sinin ja kosinin tarkkoja arvoja voidaan laskea summakaavojen avulla.

Esimerkki 1.6.7

Laske kulman $15^{\circ}$ sinin, kosinin ja tangentin tarkat arvot.

Ratkaisu

Nähdään, että $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ radiaania. Täten

$$\begin{split}\begin{aligned} \sin(15^{\circ}) &= \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ \cos(15^{\circ}) &= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \\ \tan(15^{\circ}) &= \frac{\sin(15^{\circ})}{\cos(15^{\circ})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{4} = \frac{8 - 2\sqrt{12}}{4} = 2 - \sqrt{3}. \end{aligned}\end{split}$$

Joskus sinin, kosinin ja tangentin käänteisluvuille käytetään nimityksiä kosekantti, sekantti ja kotangentti, ja merkitään

$$\begin{aligned} \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \end{aligned}$$

Näiden avulla monimutkaisia trigonometrisia lausekkeita voidaan ilmaista lyhyemmin.

Jos sini ja kosini muuntavat kulman yksikköympyrän kehäpisteen koordinaateiksi, niin voidaanko tämä kääntää ympäri? Onko mahdollista määrittää kulma kehäpisteen koordinaatista?

Määritelmä 1.6.8

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa $\theta$ vastaavaa kehäpistettä $(x, y)$. Arkusfunktiot arkussini, arkuskosini ja arkustangentti määritellään säännöillä

$$\arcsin(y) = \theta, \qquad \arccos(x) = \theta \qquad\text{ja}\qquad \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \theta,$$

missä arkustangentti on määritelty vain, jos $x \not= 0$. Näistä funktioista käytetään joskus myös merkintöjä $\arcsin = \sin^{-1}$, $\arccos = \cos^{-1}$ ja $\arctan = \tan^{-1}$, joita ei tule sekoittaa potenssiin $-1$.

Jos tiedetään vaikkapa yksikköympyrän kehäpisteen $x$-koordinaatti, niin $y$-koordinaatille on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Täten myös arkuskosinin arvolle on kaksi mahdollista vaihtoehtoa! Vastaavasti kuin juurifunktion määritelmässä, sovitaan että arkuskosinin arvoksi asetetaan ei-negatiivinen. Arkussinin ja arkustangentin tapauksissa sovitaan, että niiden arvo sijoittuu aina kulmien $-\frac{\pi}{2}$ ja $\frac{\pi}{2}$ väliin.

Koska arkussini ja arkuskosini kuvaavat yksikköympyrän kehäpisteen koordinaatit kulmalle, niin niiden syötteen täytyy aina olla lukujen $-1$ ja $1$ välissä! Esimerkiksi lukua $\arcsin(\pi)$ ei ole määritelty. Arkustangentin tapauksessa tällaista rajoitusta ei ole, sillä kehäpisteiden koordinaattien suhde $\frac{y}{x}$ käy läpi kaikki reaaliset arvot. Seuraavassa on esitetty kunkin arkusfunktion kuvaaja.

Laskuissa toisiaan vastaavat trigonometriset ja arkusfunktiot kumoavat toisensa, kunhan molemmat on määritelty, eli esimerkiksi

$$\arcsin(\sin(x))=x\qquad\text{ja}\qquad\sin(\arcsin(y))=y$$

silloin, kun $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ja $-1 \leq y \leq 1$. Kirjoita vastaavat tulokset kosinille ja tangentille!

Esimerkki 1.6.9

Laske $\arcsin\left(\dfrac12\right)$, $\arcsin\left(-\dfrac12\right)$ ja $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$.

Ratkaisu

On siis löydettävä sellaiset kulmat, joiden sini tai kosini on mainittu luku. Muistikolmiosta nähdään, että

$$\arcsin\left(\frac12\right)=\frac{\pi}{6}.$$

Merkitään $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = x$ ja otetaan sini molemmin puolin. Tällöin

$$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = -\frac{1}{2} = \sin(x),$$

joten $\frac{1}{2} = -\sin(x) = \sin(-x)$ ja edelleen

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} = -x = \arcsin\left(\sin(-x)\right).$$

Siis edellisen laskun nojalla $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$. Vastaavasti viimeistä varten muistetaan, että $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, joten

$$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

ja $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

Täydennä seuraavaan sievennysprosessiin oikeat osat.

Sievennä $\cos( \arcsin x )$.

Question 1

Merkitään $z=\cos(\arcsin x)$ ja $y=\arcsin x$. Tällöin

$y = \sin z$

$y = \cos z$

$z = \sin y$

$z = \cos y$

Question 2

Koska $y=\arcsin{x}$, niin $x = \sin y$ ja

$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

$0 \leq y \leq \pi$

$\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{3\pi}{2}$

$\pi \leq y \leq 2\pi$

Question 3

Trigonometrian peruskaava on

$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=\cos(2\theta)$

$\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=\cos(2\theta)$

$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$

$\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=1$

Question 4

Trigonometrian peruskaavasta seuraa, että (muista $x = \sin y$)

$\cos{y}=\pm\sqrt{\cos(2y)+x^2}$

$\cos{y}=\pm\sqrt{\cos(2y)-x^2}$

$\cos{y}=\pm\sqrt{1+x^2}$

$\cos{y}=\pm\sqrt{1-x^2}$

Question 5

Toisen kysymyksen (oikean vastauksen) mukaisella välillä $\cos{y}$ on

positiivinen

negatiivinen

Question 6

Siis sievennetty muoto on

$\cos{y}=\sqrt{1+x^2}$

$\cos{y}=\sqrt{1-x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{1+x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{1-x^2}$

$\cos{y}=\sqrt{\cos(2y)-x^2}$

$\cos{y}=\sqrt{\cos(2y)+x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{\cos(2y)-x^2}$

$\cos{y}=-\sqrt{\cos(2y)+x^2}$

Palautusta lähetetään...