\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
L’Hôpitalin sääntö
Jos raja-arvoa etsittäessä saadaan epämääräinen muoto \(\frac00\) tai \(\frac{\infty}{\infty}\), voidaan se yrittää määrittää derivointiin perustuvalla, l’Hôpitalin säännöksi kutsutulla menetelmällä.
Lause 4.5.1 (l’Hôpitalin sääntö)
Olkoot \(f\) ja \(g\) derivoituvia funktioita ja \(g'(x)\ne0\) jossakin pisteen \(a\) punkteeratussa ympäristössä. Jos
\[\lim_{x\to a}f(x)=0=\lim_{x\to a}g(x),\]
niin
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},\]
mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös tapauksissa \(a=\pm\infty\) ja \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty=\lim_{x\to a}g(x)\).
Todistus
Rajoitutaan todistamaan väite siinä tapauksessa, kun \(f\) ja \(g\) ovat derivoituvia myös pisteessä \(a\), \(g'(a)\ne0\) ja \(f'\) ja \(g'\) ovat jatkuvia. Silloin \(f\) ja \(g\) ovat jatkuvia pisteessä \(a\), joten oletuksen vuoksi on oltava \(f(a)=g(a)=0\). Derivaatan määritelmän nojalla
\[\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
=\frac{\lim\limits_{x\to a}f'(x)}{\lim\limits_{x\to a}g'(x)}
=\frac{f'(a)}{g'(a)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}
=\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}\lim_{x \to a}\frac{x - a}{x - a}
=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}.\]
Tässä toisessa välivaiheessa käytetään lausetta 4.6.18, joka todistetaan myöhemmin.
Esimerkki 4.5.2
- \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{2x} =\lim_{x\to1}\frac{1}{2x^2} =\frac{1}{2}\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(2x)}{\ln x} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}1=1\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6} =\frac16\)
Mikään ei kiellä soveltamasta l’Hôpitalin sääntöä toistuvasti, kunnes raja-arvo ei enää suoran sijoituksen jälkeen ole epämääräisessä muodossa.
Huomautus 4.5.3
- On syytä muistaa, että l’Hôpitalin sääntö sopii vain tapauksiin \(\frac00\) tai \(\frac{\infty}{\infty}\), ei esimerkiksi tapauksiin \(\frac01\) tai \(\frac\infty0\). Tarvittaessa funktion lauseketta voi muokata siten, että haluttu epämääräinen muoto syntyy suoralla sijoituksella, ja sen jälkeen soveltaa sääntöä.
- L’Hôpitalin säännössä esiintyvää derivaattojen osamäärän raja-arvoa varten lasketaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat erikseen, eikä osamäärän derivaattaa.
Esimerkki 4.5.4
Olkoon \(n\) luonnollinen luku. Tutkitaan raja-arvoa \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}\) soveltamalla toistuvasti l’Hôpitalin sääntöä.
\[\begin{split}\begin{aligned}
&\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{nx^{n-1}}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}\\
&=\cdots
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2x^1}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1}
=\infty.
\end{aligned}\end{split}\]
Sama tulos on voimassa muillekin kuin reaaliluvun \(x\) kokonaislukueksponenteille,
\[\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^a}=\infty,\]
kun \(a > 0\). Vastaasti voidaan osoittaa, että
\[\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\ln x}=\infty,\]
kun \(a > 0\). Nämä vertailut antavat keinon asettaa eksponentti-, potenssi- ja logaritmifunktiot kasvunopeuden suhteen järjestykseen.
- Eksponenttifunktio \(e^x\) kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa potenssifunktio \(x^a\).
- Logaritmifunktio \(\ln x\) kasvaa hitaammin kuin mikä tahansa potenssifunktio \(x^a\).