$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

L’Hôpitalin sääntö

Jos raja-arvoa etsittäessä saadaan epämääräinen muoto $\frac00$ tai $\frac{\infty}{\infty}$, voidaan se yrittää määrittää derivointiin perustuvalla, l’Hôpitalin säännöksi kutsutulla menetelmällä.

Lause 4.5.1 (l’Hôpitalin sääntö)

Olkoot $f$ ja $g$ derivoituvia funktioita ja $g'(x)\ne0$ jossakin pisteen $a$ punkteeratussa ympäristössä. Jos

$$\lim_{x\to a}f(x)=0=\lim_{x\to a}g(x),$$

niin

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös tapauksissa $a=\pm\infty$ ja $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty=\lim_{x\to a}g(x)$.

Todistus

Rajoitutaan todistamaan väite siinä tapauksessa, kun $f$ ja $g$ ovat derivoituvia myös pisteessä $a$, $g'(a)\ne0$ ja $f'$ ja $g'$ ovat jatkuvia. Silloin $f$ ja $g$ ovat jatkuvia pisteessä $a$, joten oletuksen vuoksi on oltava $f(a)=g(a)=0$. Derivaatan määritelmän nojalla

$$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\frac{\lim\limits_{x\to a}f'(x)}{\lim\limits_{x\to a}g'(x)} =\frac{f'(a)}{g'(a)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}} =\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}\lim_{x \to a}\frac{x - a}{x - a} =\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Tässä toisessa välivaiheessa käytetään lausetta 4.6.18, joka todistetaan myöhemmin.

Esimerkki 4.5.2

1. $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{2x} =\lim_{x\to1}\frac{1}{2x^2} =\frac{1}{2}$.
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(2x)}{\ln x} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}1=1$.
3. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6} =\frac16$

Mikään ei kiellä soveltamasta l’Hôpitalin sääntöä toistuvasti, kunnes raja-arvo ei enää suoran sijoituksen jälkeen ole epämääräisessä muodossa.

Huomautus 4.5.3

1. On syytä muistaa, että l’Hôpitalin sääntö sopii vain tapauksiin $\frac00$ tai $\frac{\infty}{\infty}$, ei esimerkiksi tapauksiin $\frac01$ tai $\frac\infty0$. Tarvittaessa funktion lauseketta voi muokata siten, että haluttu epämääräinen muoto syntyy suoralla sijoituksella, ja sen jälkeen soveltaa sääntöä.
2. L’Hôpitalin säännössä esiintyvää derivaattojen osamäärän raja-arvoa varten lasketaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat erikseen, eikä osamäärän derivaattaa.

Esimerkki 4.5.4

Olkoon $n$ luonnollinen luku. Tutkitaan raja-arvoa $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}$ soveltamalla toistuvasti l’Hôpitalin sääntöä.

$$\begin{split}\begin{aligned} &\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{nx^{n-1}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}\\ &=\cdots =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2x^1} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1} =\infty. \end{aligned}\end{split}$$

Sama tulos on voimassa muillekin kuin reaaliluvun $x$ kokonaislukueksponenteille,

$$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^a}=\infty,$$

kun $a > 0$. Vastaasti voidaan osoittaa, että

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\ln x}=\infty,$$

kun $a > 0$. Nämä vertailut antavat keinon asettaa eksponentti-, potenssi- ja logaritmifunktiot kasvunopeuden suhteen järjestykseen.

1. Eksponenttifunktio $e^x$ kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa potenssifunktio $x^a$.
2. Logaritmifunktio $\ln x$ kasvaa hitaammin kuin mikä tahansa potenssifunktio $x^a$.

Question 1

Voidaanko l’Hôpitalin sääntöä käyttää toispuoleisten raja-arvojen laskemiseen. Toisin sanoen, voidaanko säännön todistuksessa oleva päättely toistaa esimerkiksi tapauksessa $a\to 0+$?

Voidaan

Ei voida

Question 2

Miksi l’Hôpitalin sääntöä ei voi käyttää raja-arvon

$$\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{x+\sin{x}}{x}$$

laskemiseen? Merkitään vaihtoehdoissa $f(x)=x+\sin{x}$ ja $g(x)=x$.

Koska $f(x)$ ei ole derivoituva nollan ympäristössä.

Koska $g(x)$ ei ole derivoituva nollan ympäristössä.

Koska $g'(x)=0$ raja-arvopisteen ympäristössä.

Koska $\lim\limits_{x\to \infty} f(x) \neq \infty$.

Koska $\lim\limits_{x\to \infty} g(x) \neq \infty$.

Koska $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ei ole määritelty.

Question 3

Jos l’Hôpitalin sääntöä ei voi käyttää, voidaanko yllä esitetty raja-arvo silti laskea? Raja-arvo muokattuna on

$$\lim_{x\to \infty} \left( 1 + \frac{\sin{x}}{x} \right),$$

joten

voidaan, raja-arvo on $1$,

voidaan, raja-arvo on $2$,

voidaan, epäoleellinen raja-arvo on $\infty$,

ei voida, koska tämä raja-arvo ei ole määritelty.

Question 4

Mitä voidaan sanoa luvun viimeisen esimerkin perusteella raja-arvosta

$$\lim_{x\to \infty} \frac{\ln{x}}{e^x}?$$

Se ei ole määritelty.

Se on $0$, koska nimittäjä lähestyy ääretöntä nopeammin kuin osoittaja.

Se on $\infty$, koska osoittaja lähestyy ääretöntä nopeammin kuin nimittäjä.

Palautusta lähetetään...