$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Integroimistekniikkaa

Yksinkertaisimmissa tapauksissa paras keino integraalifunktion selvittämiseksi on “arvata” tai selvittää kokeilemalla, minkä funktion derivaatta integroitava funktio on. Lähtökohdaksi voidaan ottaa muutama peruskaava, jotka johdetaan suoraan derivointikaavoista. Liitetaulukossa on esitetty laajempi kokoelma samaan tapaan perusteltavia kaavoja.

Integraalifunktiota määritettäessä on syytä selvittää väli $I$, jolla tulos on voimassa (vertaa esimerkkiin 5.2.6). Välejä voi olla useampiakin, jolloin tulos on voimassa kullakin välillä erikseen.

Yleensä funktiosta ei kuitenkaan näe suoraan, kuinka se olisi integroitava. Tällöin seuraavat integroimismenetelmät saattavat auttaa. Menetelmästä riippumatta integroinnin tulos kannattaa aina tarkastaa derivoimalla!

Osittaisintegrointi

Tulon derivoimissäännnön mukaan

$$D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),$$

joten

$$f'(x)g(x)=D(f(x)g(x))-f(x)g'(x).$$

Integroimalla puolittain saadaan osittaisintegrointikaava (integration by parts), jota voi yrittää käyttää, kun integroitavana on tulo, jonka tekijöistä toinen osataan integroida ja toinen derivoida

(1) $$\int f'(x)g(x)\,\d x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,\d x.$$

Huomautus 5.3.1

Integraalifunktioita koskevissa yhtälöissä, kuten osittaisintegroinnin yhtälössä on muistettava, että laskettaessa puolittain jotkin integraalifunktiot yhtälö pätee vain vakiota vaille. Esimerkiksi yhtälöstä $1=1$ ei seuraa puolittain integroimalla, että $x=x+7$, vaikka sekä $F(x)=x$ että $G(x)=x+7$ ovat funktion $1$ integraalifunktioita.

Esimerkki 5.3.2

Laske $\displaystyle\int xe^{-x}\,\d x$.

Ratkaisu

Valitaan $f'(x)=e^{-x}$ ja $g(x)=x$, jolloin $f(x)=\int e^{-x}\,\d x=-e^{-x}$. Integroimisvakio voidaan valita nollaksi, sillä osittaisintegroinnin kaava on voimassa kaikille funktion $f'(x)$ integraalifunktioille $f(x)$. Lisäksi $g'(x)=1$ ja nyt

$$\int xe^{-x}\,\d x=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,\d x=-(x+1)e^{-x}+C.\qedhere$$

Question 1

Osittaisintegrointia käytetään, kun

integroitavana on tulo, jonka tekijät osataan derivoida,

integroitavana on erotus, jonka tekijöistä toinen osataan integroida ja toinen derivoida,

integroitavana on tulo, jonka tekijöistä toinen osataan derivoida ja toinen integroida,

integroitavana on erotus, jonka termeistä kumpaakaan ei osata integroida,

integroitavana on erotus, jonka termeistä kumpaakaan ei osata derivoida,

integroitavana on tulo, jonka molemmat tekijät pitää osata sekä integroida että derivoida.

Esimerkki 5.3.3

Laske $\displaystyle\int x^2e^x\,\d x$.

Ratkaisu

Sovelletaan osittaisintegrointia kahdesti niin, että päästään ensin eroon tekijästä $x^2$ ja sitten tekijästä $x$. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} &\int x^2e^x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x^2,& g'(x)=2x \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\int xe^x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x,& g'(x)=1 \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\left(xe^x-\int e^x\,\d x\right)\\ &=(x^2-2x+2)e^x+C. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki 5.3.4

Laske $\displaystyle\int e^x\sin x\,\d x$.

Ratkaisu

Sovelletaan taas ensin osittaisintegrointia kahdesti. Tällä kertaa

$$\begin{split}\begin{aligned} &\int e^x\sin x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\sin x,& g'(x)=\cos x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\d x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\cos x,& g'(x)=-\sin x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,\d x\right) \end{aligned}\end{split}$$

On saatu yhtälö, jonka molemmilla puolilla esiintyy kysytty integraali, ja täten se voidaan ratkaista tavallisin menetelmin.

$$\int e^x\sin x\,\d x=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C\qedhere$$

Osittaisintegroinnin onnistuminen on suuresti kiinni siitä, kuinka funktiot $f$ ja $g$ valitaan. Väärä järjestys voi johtaa ojasta allikkoon ja monesti oikea tapa selviääkin vasta kokeilujen jälkeen.

Integrointi sijoituksen avulla

Olkoon $F$ funktion $f$ integraalifunktio. Yhdistetyn funktion derivointisäännöstä

$$DF(g(x))=f(g(x))g'(x)$$

saadaan integrointikaava

(2) $$\int f(g(x))g'(x)\,\d x=F(g(x))+C.$$

Erityisesti

(3) $$\begin{split}\begin{aligned} &\int g'(x)e^{g(x)}\,\d x=e^{g(x)}+C,\\ &\int g'(x)(g(x))^a\,\d x=\frac{1}{a+1}(g(x))^{a+1}+C&&(a\ne-1),\\ &\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,\d x=\ln|g(x)|+C&&(g(x)\ne0). \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki 5.3.5

Kaavan (3)

1. ensimmäisen rivin mukaan

   $$\int x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}\int12x^2e^{4x^3}\,\d x=\frac{1}{12}e^{4x^3}+C,$$

2. keskimmäisen rivin mukaan

   $$\int(9x-7)^4\,\d x=\frac19\int9(9x-7)^4\,\d x=\frac19\cdot\frac15(9x-7)^5+C=\frac{1}{45}(9x-7)^5+C,$$

3. alimman rivin mukaan

   $$\int\tan x\,\d x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,\d x=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,\d x=-\ln\left|\cos x\right|+C.$$

Näissä tulkitaan hankalan integraalin olevan muotoa $\int f(g(x))g'(x)\,\d x$. Tällainen yhdistetyn funktion derivointiin perustuva integroimismenettely on onnistuessaan nopea ja tehokas, mutta vaatii kekseliäisyyttä tai kokeiluja integroitavan funktion saattamiseksi muotoon $f(g(x))g'(x)$. Menetelmä voidaan tehdä hieman mekaanisemmaksi kirjoittamalla kaava (2) uuteen muotoon. Olkoon $u(x)$ sisäfunktio. Nyt

(4) $$\int f(u(x))u'(x)\,\d x=\left[\int f(u)\,\d u\right]_{u=u(x)},$$

missä merkintä $[\,\cdot\,]_{u=u(x)}$ tarkoittaa, että sulkujen sisällä olevaan lausekkeeseen sijoitetaan muuttujan $u$ paikalle funktio $u=u(x)$. Tässä alkuperäisestä muuttujasta $x$ siirrytään muuttujanvaihdon (change of variables) eli sijoituksen (substitution) avulla uuteen muuttujaan $u=u(x)$. Tässä laskettavana on vasemman puolen integraali, josta tunnistetaan sopiva sisäfunktio $u(x)$ ja sen derivaatta $u'(x)$. Muistisääntönä muuttujanvaihdossa differentiaalimuotoja $\d u$ ja $\d x$ käytetään ikään kuin ne olisivat lukuja. Siis tulkitaan, että

$$\frac{\d u}{\d x}=u'(x) \Rightarrow u'(x)\,\d x=\d u.$$

Jos kaavassa (4) vaihdetaan kirjainten $x$ ja $u$ roolit, saadaan

$$\left[\int f(x)\,\d x\right]_{x=x(u)}=\int f(x(u))x'(u)\,\d u.$$

Oletetaan, että $x(u)$ on bijektio, jolloin tähän yhtälöön voidaan sijoittaa puolittain käänteisfunktio $u=u(x)$. Vasemmalle puolelle jää sijoitusten jälkeen $x=x(u(x))$, joten saadaan

(5) $$\int f(x)\,\d x=\left[\int f(x(u))x'(u)\,\d u\right]_{u=u(x)}.$$

Tässä kaavassa ajatellaan, että vasemmalle puolelle muuttujan $x$ paikalle sijoitetaan uusi funktio $x=x(u)$.

Esimerkki 5.3.6

Laske $\displaystyle\int e^{2x + 3}\,\d x$.

Ratkaisu

Sijoitetaan $u=2x+3$. Tällöin

$$\frac{\d u}{\d x}=2 \Rightarrow \d x=\frac{1}{2}\,\d u.$$

Niinpä

$$\int e^{2x+3}\,\d x=\frac{1}{2}\int e^u\,\d u =\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{2x+3}+C.\qedhere$$

Esimerkki 5.3.7

Laske $\displaystyle\int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\d t$.

Ratkaisu

Sijoitetaan $u=3-5t^5$, jolloin

$$\frac{\d u}{\d t}=-25t^4 \Rightarrow t^4\,\d t=-\frac{1}{25}\d u.$$

Siten

$$\int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\d t =-\frac{1}{25}\int u^{1/3}\,\d u =-\frac{1}{25}\cdot\frac{3}{4}u^{4/3}+C=-\frac{3}{100}(3-5t^5)^{4/3}+C.\qedhere$$

Kaksi edellistä esimerkkiä oltaisiin voitu integroida myös suoraan kaavoja (3) käyttäen. Aina sopiva sijoitus ei ole yhtä ilmeinen.

Esimerkki 5.3.8

Laske $\displaystyle\int\frac{x}{x^4+1}\,\d x$.

Ratkaisu

Sijoitetaan $u=x^2$. Nyt

$$\frac{\d u}{\d x}=2x \Rightarrow x\,\d x=\frac{\d u}{2},$$

joten

$$\int\frac{x}{x^4+1}\,\d x=\frac12\int\frac{\d u}{u^2+1} =\frac12\arctan u+C=\frac12\arctan(x^2)+C.\qedhere$$

Palautusta lähetetään...