$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Yhden satunnaismuuttujan funktion odotusarvo

Satunnaismuuttujan $X$ funktiona määritellyn uuden muuttujan $Y = h(X)$ odotusarvo voidaan laskea tavanomaisesti suoraan määritelmän avulla, jos satunnaismuuttujan $Y$ tiheysfunktio tunnetaan. Tämän selvittäminen on kuitenkin edellistä tarkastelua yleisemmissä tapauksessa vaikeaa. Käy ilmi, että odotusarvo $\rE(Y)$ voidaan laskea satunnaismuuttujan $X$ tiheysfunktion $f(x)$ avulla.

Lause 3.2.1

Olkoon satunnaismuuttujan $X$ otosavaruus $\Omega_X$ ja tiheysfunktio $f(x)$, sekä olkoon satunnaismuuttuja $Y=h(X)$.

1. Jos $X$ on diskreetti, niin

   $$\rE(Y) = \rE(h(X)) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x).$$

2. Jos $X$ on jatkuva, niin

   $$\rE(Y) = \rE(h(X)) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.$$

Piilota/näytä todistus

Todistetaan kohdat erikseen.

1. Nyt voidaan kirjoittaa suoraan lauseen 2.3.2 avulla

   $$\begin{split}\begin{aligned} \rE(Y) &= \sum_{y \in \Omega_Y}yg(y) = \sum_{y \in \Omega_Y}yP(h(X) = y) = \sum_{y \in \Omega_Y}y\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}f(x)\right) \\ &= \sum_{y \in \Omega_Y}\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}h(x)f(x)\right) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x). \end{aligned}\end{split}$$

   Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa havaitaan, että jos $x \in h^{-1}(y)$, niin $y = h(x)$. Viimeinen puolestaan perustuu siihen, että $\Omega_X = \{x \in h^{-1}(y) : y \in \Omega_Y\}$, eli kaikkien otosavaruuden $\Omega_Y$ alkioiden alkukuvat funktiossa $h$ kattavat yhdessä otosavaruuden $\Omega_X$.

2. Tämän väitteen yleinen todistus on hankala, joten rajoitutaan tapaukseen, jossa $h$ on derivoituva ja aidosti kasvava. Tällöin lauseen 2.3.4 nojalla

   $$\begin{aligned} \rE(Y) &= \int_{-\infty}^{\infty}yg(y)\,\rd y = \int_{-\infty}^{\infty}y f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|\,\rd y, \end{aligned}$$

   missä $\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) > 0$ ja edelleen $\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right| = \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)$, sillä $h^{-1}$ on aidosti kasvava. Käänteisfunktio toteuttaa ehdon $h^{-1}(y) = x$ täsmälleen silloin, kun $h(x) = y$, ja täten $\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\,\rd y = \rd x$. Sijoittamalla nämä tulokset saadaan odotusarvoksi

   $$\rE(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.\qedhere$$

Tehtävää ladataan...

Lauseesta seuraa käyttökelpoisia tuloksia odotusarvolle. Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa seuraava odotusarvon lineaarisuusominaisuus.

Lause 3.2.2

Satunnaismuuttujan $X$ funktion $ag(X)+bh(X)$ odotusarvo

$$\rE(ag(X)+bh(X))=a\rE(g(X))+b\rE(h(X)),$$

ja erityisesti

$$\rE(aX+b)=a\rE(X)+b.$$

Toinen hyödyllinen seuraus on kätevän laskukaavan muodostaminen satunnaismuuttujan varianssille.

Lause 3.2.3

Satunnaismuuttujan $X$ varianssi

$$\Var(X)=\rE(X^2)-\rE(X)^2.$$

Piilota/näytä todistus

Merkitään $\rE(X)=\mu$, jolloin sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa muuttujan $X$ varianssi on lausekkeen $(X - \mu)^2$ odotusarvo. Täten

$$\Var(X)=\rE((X-\mu)^2)=\rE(X^2-2\mu X+\mu^2)=\rE(X^2)-2\mu \rE(X)+\mu^2=\rE(X^2)-\mu^2,$$

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 3.2.4

Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan $X$ tiheysfunktio

$$f(x)=\frac{x}{10},\quad\text{kun }x \in \{1,2,3,4\}.$$

Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} \rE(X)&=1\cdot\frac{1}{10}+2\cdot\frac{2}{10}+3\cdot\frac{3}{10}+4\cdot\frac{4}{10}=3,\\ \rE(X^2)&=1\cdot\frac{1}{10}+4\cdot\frac{2}{10}+9\cdot\frac{3}{10}+16\cdot\frac{4}{10}=10, \end{aligned}\end{split}$$

joten $\Var(X) = 10 - 3^2 = 1$.

Esimerkki 3.2.5

Olkoon $X$ jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio

$$f(x)=2x, \qquad\text{kun } 0 < x < 1.$$

Aiemmassa esimerkissä 3.1.6 saatiin $\rE(X)=\frac{2}{3}$, ja tämän lisäksi

$$\rE(X^2)=\int_0^1x^22x\,\rd x=\sij{0}{1}\frac{1}{2}x^4 = \frac{1}{2}.$$

Siis $\Var(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}$.

Lause 3.2.6

Satunnaismuuttujan $X$ funktion $aX + b$ varianssi

$$\Var(aX+b)=a^2\Var(X).$$

Piilota/näytä todistus

Hyödynnetään juuri johdettua varianssin laskukaavaa, jolloin

$$\begin{split}\begin{aligned} \Var(aX + b) &= \rE((aX + b)^2) - \rE(aX + b)^2 = \rE(a^2X^2 + 2abX + b^2) - (a\rE(X) + b)^2 \\ &= a^2\rE(X^2) + 2ab\rE(X) + b^2 - a^2\rE(X)^2 - 2ab\rE(X) - b^2 \\ &= a^2(\rE(X^2) - \rE(X)^2) = a^2\Var(X). \end{aligned}\end{split}$$

Palautusta lähetetään...