$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Erikoispisteiden tunnuspiirteitä¶

Kun eristettyjen erikoispisteiden lajit määritellään Laurentin sarjan avulla, on luonnollista kysyä miten niitä voisi etsiä tilanteissa, joissa sarjakehitelmää ei tunneta. Jokaisella erikoispisteen tyypillä on sille ominaisia piirteitä, jotka auttavat niiden tunnistamisessa ja ominaisuuksien tutkimisessa.

Eristetyn erikoispisteen poistuvuus (ja myöhemmin oleellisuus) liittyy kiinteästi sen ympäristön kuvajoukkoon funktiossa. Eräässä mielessä voidaan todeta, että $$z_0$$ on funktion $$f$$ poistuva erikoispiste, kunhan funktion $$f$$ arvot pysyvät käsissä pisteen $$z_0$$ punkteeratussa ympäristössä.

Lause 6.3.1 (Riemannin lause)

Olkoon $$z_0$$ funktion $$f$$ eristetty erikoispiste. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä.

1. Funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ poistuva erikoispiste.
2. Funktio $$f$$ voidaan jatkaa analyyttiseksi pisteen $$z_0$$ ympäristössä.
3. Funktio $$f$$ on rajoitettu pisteen $$z_0$$ ympäristössä.
Todistus

Todistetaan implikaatiot $$1 \Rightarrow 2$$ ja $$3 \Rightarrow 1$$. Puuttuvan implikaation $$2 \Rightarrow 3$$ todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

$$1 \Rightarrow 2$$: Jos $$z_0$$ on funktion $$f$$ poistuva erikoispiste, niin pisteen $$z_0$$ ulkopuolella

$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$

joillekin kertoimille $$a_n$$, missä $$n \in \Z$$ ja $$a_n = 0$$ aina, kun $$n < 0$$. Tällöin myös pisteessä $$z_0$$ määritelty funktio

$\tilde{f}(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$

on lauseen 5.2.9 nojalla analyyttinen pisteen $$z_0$$ ympäristössä piste $$z_0$$ mukaan luettuna.

$$3 \Rightarrow 1$$: Määritellään uusi, myös pisteessä $$z_0$$ määritelty funktio $$g$$ asettamalla

$\begin{split}g(z) = \begin{cases} (z - z_0)^2f(z), & \text{kun } z \neq z_0 \\ 0, & \text{kun } z = z_0. \end{cases}\end{split}$

Tämä on analyyttinen pisteen $$z_0$$ punkteeratussa ympäristössä, sillä $$f$$ on sitä. Lisäksi

$0 \leq \left|\frac{g(z_0 + h) - g(z_0)}{h}\right| = \left|\frac{(z_0 + h - z_0)^2f(z_0 + h) - 0}{h}\right| = |h||f(z_0 + h)| \leq M|h| \to 0,$

kun $$h \to 0$$, missä $$M$$ on funktion $$f$$ rajoittuneisuuteen liittyvä vakio. Täten $$g'(z_0) = 0$$ ja $$g$$ on analyyttinen pisteen $$z_0$$ ympäristössä piste $$z_0$$ mukaan lukien. Nyt siis funktiolla $$g$$ on pisteen $$z_0$$ ympäristössä Taylorin sarja

$g(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = g(z_0) + g'(z_0)(z - z_0) + \sum_{n = 2}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \sum_{n = 2}^{\infty}a_n(z - z_0)^n,$

missä $$a_n = g^{(n)}(z_0)/n!$$, joten funktiolla $$g$$ on vähintään kaksinkertainen nolla pisteessä $$z_0$$. Nyt pisteen $$z_0$$ ympäristössä on oltava

$f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^2} = \frac{1}{(z - z_0)^2}\sum_{n = 2}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n + 2}(z - z_0)^n,$

eli funktion $$f$$ Laurentin sarjassa ei ole negatiivisia potensseja, eli $$z_0$$ on poistuva erikoispiste.

Seuraavan lauseen toinen kohta osoittaa, että kertomalla termillä $$(z-z_0)^k$$ funktiota, jolla on $$k$$-kertainen napa, saadaan funktio, jolla on poistuva erikoispiste. Kohta kolma on saman asian uudelleen muotoilu.

Lause 6.3.2

Oletetaan, että $$z_0$$ on funktion $$f$$ eristetty erikoispiste ja että kokonaisluku $$k > 0$$. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä.

1. Funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ $$k$$-kertainen napa.
2. $$k$$ on pienin kokonaisluku, jolla $$\lim\limits_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z) \in \C \setminus \{0\}$$.
3. $$k$$ on pienin kokonaisluku, jolla $$f(z) = (z - z_0)^{-k}g(z)$$, missä $$g$$ on pisteessä $$z_0$$ analyyttinen funktio ja $$g(z_0) \not= 0$$.
Todistus

Hahmotellaan todistuksen idea. Funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ $$k$$-kertainen napa, jos ja vain jos Laurentin sarjassa

$(z - z_0)^kf(z) = (z - z_0)^k\sum_{n = -k}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \sum_{n = 0}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n$

kertoimet $$a_{n - k} = 0$$, kun $$n - k < 0$$ ja $$a_{-k} \neq 0$$. Niinpä yhtäpitävästi raja-arvo

$\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z) = a_{-k} + \lim_{z \to z_0}\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n = a_{-k},$

ja toisaalta

$f(z) = (z - z_0)^{-k}\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n,$

missä potenssisarja määrittelee pisteessä $$z_0$$ analyyttisen funktion $$g$$, jolle $$g(z_0) = a_{-k} \not= 0$$. Positiivisen kokonaisluvun minimaalisuus vaaditaan siihen, että Laurentin sarjakehitelmän voi todella aloittaa indeksistä $$-k$$.

Samaan tapaan kuin rationaalifunktion nollat ja navat liittyvät toisiinsa osoittajan ja nimittäjän nollakohtien kautta, myös yleisen kompleksimuuttujan funktion $$f$$ ja siihen liittyvän osamäärän $$1/f$$ nollat ja navat liittyvät toisiinsa.

Lause 6.3.3

Oletetaan, että $$z_0$$ on funktion $$f$$ eristetty erikoispiste ja että kokonaisluku $$k > 0$$. Funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ $$k$$-kertainen napa, jos ja vain jos funktiolla $$1/f$$ on pisteessä $$z_0$$ $$k$$-kertainen nolla.

Todistus

Hahmotellaan todistuksen idea. Funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ $$k$$-kertainen napa, jos ja vain jos funktio $$(z - z_0)^kf(z)$$ voidaan jatkaa analyyttiseksi pisteen $$z_0$$ ympäristössä piste $$z_0$$ mukaan lukien. Tällöin myös funktio

$\frac{1}{(z - z_0)^kf(z)} = (z - z_0)^{-k}\frac{1}{f(z)}$

on analyyttinen pisteen $$z_0$$ ympäristössä, ja sillä on Taylorin sarja

$(z - z_0)^{-k}\frac{1}{f(z)} = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n.$

Yhtäpitävästi siis funktiolla $$1/f$$ on Taylorin sarja

$\frac{1}{f(z)} = \sum_{n = k}^{\infty}a_{n - k}(z - z_0)^n,$

mistä voidaan päätellä, että funktiolla $$1/f$$ on $$k$$-kertainen nolla pisteessä $$z_0$$.

Oleelliset erikoispisteet eroavatkin sitten luonteeltaan merkittävästi poistuvista erikoispisteistä ja navoista. Kahdesta aikaisemmasta voidaan “päästä eroon” kertomalla sopivalla termillä funktion määritelmää. Oleellisen erikoispisteen $$z_0$$ tapauksessa mitään raja-arvoista

$\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^kf(z)$

ei ole olemassa. Toisaalta tällä on merkittävä vaikutus funktion arvoihin erikoispisteen välittömässä ympäristössä. Picardin suurena lauseena tunnettu väite tyydytään vain toteamaan tässä.

Lause 6.3.4 (Picardin suuri lause)

Oletetaan, että $$z_0$$ on funktion $$f$$ eristetty erikoispiste. Jos funktiolla $$f$$ on pisteessä $$z_0$$ oleellinen erikoispiste, niin $$f$$ saavuttaa jokaisessa pisteen $$z_0$$ ympäristössä jokaisen kompleksilukuarvon korkeintaan yhtä poikkeusta lukuunottamatta.

Esimerkki 6.3.5

Funktiolla $$\e^{1/z^2}$$ on oleellinen erikoispiste origossa, joten Picardin suuren lauseen oletukset toteutuvat. Koska $$\e^{1/z^2}\neq 0$$ aina, kun $$z \neq 0$$, niin jokaiselle säteelle $$r > 0$$ punkteeratun kiekon $$0<|z|<r$$ kuvajoukko on $$\C \setminus \{0\}$$.

Funktion eristetty erikoispiste on ainoa ympäristönsä piste, jossa funktio ei ole analyyttinen. Funktiolla on pisteessä $$z_0$$

• $$k$$-kertainen nolla, jos siinä kehitetyssä Taylorin sarjassa $$a_k$$ on ensimmäinen nollasta eroava kerroin,
• $$k$$-kertainen napa, jos siinä kehitetyssä Laurentin sarjassa $$a_{-k}$$ on ensimmäinen nollasta eroava kerroin.

Funktion $$1/f$$ $$k$$-kertaiset nollat ovat funktion $$f$$ $$k$$-kertaiset navat. Muita eristettyjä erikoispisteitä ovat

• poistuva erikoispiste: funktio voidaan jatkaa analyyttiseksi siinä,
• oleellinen erikoispiste: ei poistuva erikoispiste eikä minkään kertaluvun napa.
Palautusta lähetetään...