$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Yleisen funktion nollat ja erikoispisteet

Nollia, napoja ja poistuvia erikoispisteitä vastaavat käsitteet voidaan yleistää myös muille kompleksimuuttujan funktioille Laurentin sarjakehitelmän avulla.

Määritelmä 6.2.1

Olkoon funktio $f$ analyyttinen kiekossa $|z - z_0| < R$ ja $k$ positiivinen kokonaisluku. Funktiolla $f$ on $k$-kertainen nolla pisteessä $z_0$, jos sen Taylorin sarjakehitelmässä

$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (z-z_0)^n$$

kertoimet $a_0 = a_1 = \cdots = a_{k - 1} = 0$ ja $a_k \neq 0$.

Huomautus 6.2.2

Jos funktiolla $f$ on $k$-kertainen nolla pisteessä $z_0$, niin

$$f(z)=(z-z_0)^k \sum_{n=k}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n-k}=(z-z_0)^k g(z),$$

missä $g$ on analyyttinen funktio, jolle $g(z_0) = a_k \neq 0$.

Esimerkki 6.2.3

Sinifunktion Taylorin sarja origossa on

$$\sin(z)=\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m}z^{2m+1}}{(2m+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n,$$

missä

$$\begin{split}a_n = \begin{cases} 0, & \text{kun } n \text{ on parillinen} \\ (-1)^n/n!, & \text{kun } n \text{ on pariton}. \end{cases}\end{split}$$

Koska $a_0=0$ ja $a_1=1\neq 0$, sinifunktiolla on origossa yksinkertainen nolla.

Funktion $f$ erityisten pisteiden tarkastelussa nollat muodostavat oman kategoriansa. Toisen muodostavat erikoispisteet, joissa $f$ ei ole analyyttinen. Rajoitutaan tässä tarkastelemaan vain erikseen esiintyviä erikoispisteitä, eli sellaisia joiden ympärillä $f$ on analyyttinen.

Määritelmä 6.2.4

Funktiolla $f$ on pisteessä $z_0$ eristetty erikoispiste, jos se on analyyttinen jossakin pisteen $z_0$ avoimessa ympäristössä, mutta ei itse pisteessä $z_0$.

Olkoon $z_0$ funktion $f$ eristetty erikoispiste, funktion $f$ Laurentin sarja pisteessä $z_0$

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n$$

ja $k$ positiivinen kokonaisluku. Funktiolla $f$ on pisteessä $z_0$

1. poistuva erikoispiste, jos $a_n=0$ aina, kun $n<0$,
2. $k$-kertainen napa, jos $a_{-k}\neq 0$ ja $a_n=0$ aina, kun $n<-k$,
3. oleellinen erikoispiste, jos ei löydy kokonaislukua $m$, jolle $a_n = 0$ aina, kun $n < m$.

Koska analyyttiset funktiot käyttäytyvät erityisen kauniisti, olisi välillä kätevää pystyä määrittämään epäanalyyttisen funktion analyyttinen vastine. Tavat, joilla erilaiset eristetyt erikoispisteet on nimetty, viittaavat tämän vastineen löytämisen vaikeuteen. Jos funktiolla $f$ on pisteessä $z_0$

1. poistuva erikoispiste, niin määrittelemällä $f(z_0) = a_0$ saadaan analyyttinen funktio,
2. $k$-kertainen napa, niin funktiolla $(z - z_0)^kf(z)$ on pisteessä $z_0$ poistuva erikoispiste,
3. oleellinen erikoispiste, niin siitä ei voida muodostaa analyyttista funktiota.

Funktion erikoispisteiden tunnistaminen on oleellista esimerkiksi residyjä laskettaessa. Oleellista erikoispistettä voidaan luonnehtia paitsi pisteeksi, jonka Laurentin sarjakehitelmässä on ääretön määrä negatiivisia potensseja, myös eristetyksi erikoispisteeksi, joka ei ole poistuva eikä napa. Käydään vielä läpi eristettyihin erikoispisteisiin liittyviä esimerkkejä.

Esimerkki 6.2.5

Rationaalifunktiolle mainittu poistuvan erikoispisteen määritelmä on yhtäpitävä yleisen funktion poistuvan erikoispisteen kanssa. Esimerkiksi käy rationaalifunktio

$$f(z) = \frac{(z + \im)(z - 1)}{z - 1}.$$

Tällä on pistettä $1$ ympäröivässä rengasmaisessa alueessa Laurentin sarja

$$f(z) = \frac{(z + \im)(z - 1)}{z - 1} = z + \im = \sum_{n = -\infty}^{\infty}a_nz^n,$$

missä vain $a_0 = \im \neq 0$ ja $a_1 = 1 \neq 0$. Täten funktiolla $f$ on pisteessä $1$ poistuva erikoispiste.

Esimerkki 6.2.6

Koska origossa saadaan sarjakehitelmä

$$\frac{\sin(z)}{z}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n+1)!},$$

piste $z=0$ on määritelmän mukaisesti funktion $\sin(z)/z$ poistuva erikoispiste. Jatkamalla funktion $\sin(z)/z$ määritelmää origoon asettamalla

$$\begin{split}f(z) = \begin{cases} \frac{\sin(z)}{z}, & \text{kun } z \not= 0 \\ 1, & \text{kun } z = 0, \end{cases} \qquad\text{tai yhtäpitävästi}\qquad f(z) = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n+1)!}\end{split}$$

saadaan lauseen 5.2.9 nojalla analyyttinen funktio $f$. Täten Cauchyn integraalikaavasta seuraa, että jos $S$ on origon sisäänsä sulkeva paloittain sileä Jordanin käyrä, niin

$$\int_S\frac{\sin(z)}{z^2}\,\rd z = \int_S\frac{f(z)}{z}\,\rd z = 2\pi\im f(0) = 2\pi\im.$$

Eristetyn erikoispisteen $z_0$ tyypin määrittämiseen tarvitaan nimenomaan Laurentin sarja siinä pisteessä (kehityskeskuksena $z_0$). Usein, kuten seuraavassa esimerkissä, ei kuitenkaan tarvita koko sarjaa vaan vain sen verran, että nähdään erikoispisteen laadun yksilöivä informaatio.

Esimerkki 6.2.7

Rationaalifunktiolla

$$f(z)=\frac{1}{z^2(z+1)}$$

on kaksinkertainen napa pisteessä $0$ ja yksinkertainen napa pisteessä $-1$, sillä nämä pisteet ovat nimittäjän $z^2(z + 1)$ kaksin- ja yksinkertainen nolla. Todetaan, että Laurentin sarjan avulla annettu navan määritelmä antaa saman tuloksen. Tätä varten etsitään osamurtohajotelma. Jos

$$\frac{1}{z^2(z+1)} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z^2} + \frac{C}{z+1} = \frac{(A + C)z^2 + (A + B)z + B}{z^2(z + 1)},$$

niin $A+C=0$, $A+B=0$ ja $B=1$. Täten $A=-1$, $B=1$ ja $C=1$, eli

$$f(z)=\frac{1}{z^2(z+1)}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z}+\frac{1}{z+1}.$$

Koska $\frac{1}{z+1}$ on analyyttinen origossa, niin funktion $f$ Laurentin sarja origossa on muotoa

$$f(z)=z^{-2} - z^{-1} + \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$$

joillekin kertoimille $a_n$, $n \in \Z$. Koska kerroin $a_{-2} = 1 \neq 0$ ja $a_n = 0$, kun $n < -2$, funktiolla $f$ on kaksinkertainen napa origossa.

Koska $\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z}$ on analyyttinen pisteessä $z=-1$, niin funktion $f$ Laurentin sarja pisteessä $-1$ on muotoa

$$f(z)=(z - (-1))^{-1} + \sum_{n=0}^{\infty}b_n (z-(-1))^n$$

joillekin kertoimille $b_n$, $n \in \Z$. Näin funktiolla $f$ on yksinkertainen napa pisteessä $-1$.

Esimerkki 6.2.8

Esimerkissä 5.3.8 osoitettiin, että

$$\e^{1/z^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{-2n},$$

joten origossa kehitetyn Laurentin sarjan kertoimet $a_0, a_{-2}, a_{-4}, \ldots$ eroavat nollasta. Näitä on äärettömän monta, ja täten funktiolla $\e^{1/z^2}$ on oleellinen erikoispiste origossa.

Palautusta lähetetään...