$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Kompleksimuuttujan funktion havainnollistaminen¶

Kompleksimuuttujan funktiolla $$f(z)$$ ei ole samassa mielessä kuvaajaa kuin yhden tai kahden muuttujan reaalisilla funktioilla, sillä sen piirtämiseen tarvittaisiin neljä paikkaulottuvuutta. Funktion muotoa voidaan kuitenkin yrittää havainnollistaa monin erilaisin keinoin.

1. Voidaan piirtää reaalisten kahden muuttujan funktioiden $$\real(f(z))$$, $$\imag(f(z))$$, $$|f(z)|$$ ja $$\Arg(f(z))$$ kuvaajia. Esimerkkejä löytyy tästä blogista ja tästä artikkelista.
2. Voidaan piirtää erilaisten (vaaka- ja pystysuorien) käyrien tai laajempien alueiden muunnoksia funktiossa $$f(z)$$.
3. Voidaan yhdistellä ylempiä ja hyödyntää värejä.

Tällaiset visualisoinnit voivat olla käyttökelpoisia tutkittaessa jonkin funktion ominaisuuksia. Käydään seuraavaksi läpi muutamia esimerkkejä kompleksisten funktioiden havainnollistuksista.

Esimerkki 2.5.1

Kompleksimuuttujan funktioiden avulla voidaan kuvata tason muunnoksia. Kun kirjoitetaan $$z=x+\im y=r(\sin(\phi)+\im\cos(\phi))$$, voidaan päätellä seuraavasti.

1. Kuvaus $$f_1(z)=\overline{z}=x-\im y$$ on kompleksitason peilaus reaaliakselin suhteen.

2. Jos kompleksiluku $$a$$ toteuttaa ehdon $$|a| = 1$$, niin kuvaus

$f_2(z)=az=|z|(\cos(\arg(a)+\phi)+\im\sin(\arg(a)+\phi)),$

on kompleksitason kierto vastapäivään kulman $$\arg(a)$$ verran.

3. Kuvaus $$f_3(z)=z^2$$ kuvaa

1. suoran $$\imag(z)=a\neq 0$$ ja $$\real(z)\in\R$$ paraabelille $$x=\frac{y^2}{4a^2}-a^2$$, $$y\in\R$$,
2. suoran $$\real(z)=b\neq 0$$ ja $$\imag(z)\in\R$$ paraabelille $$x=b^2-\frac{y^2}{4b^2}$$, $$y\in\R$$,
3. ympyrän neljänneksen $$\left\{(r, \phi) \,\middle|\, r = 2 \land 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\right\}$$ ympyrän puolikkaalle $$\{(r, \phi) \mid r = 4, 0 \leq \phi \leq \pi\}$$.

Esimerkki 2.5.2

Tutkitaan kompleksitason yksikköneliön $$A = \{z \in \C \mid 0 \leq \real(z), \imag(z) \leq 1\}$$ kuvaa funktiossa $$f(z) = -3 - 2\im + 2\e^{\im\pi/4}z$$. Kuvaus $$f$$ voidaan ajatella yksinkertaisempien funktioiden $$g(z) = 2\e^{\im\pi/4}z$$ ja $$h(z) = -3 - 2\im + z$$ yhdisteenä $$h \circ g$$. Näistä $$g$$ edustaa skaalausta ja kiertoa, sekä $$h$$ edustaa siirtoa luvun $$-3 - 2\im$$ verran. Niinpä yksikköneliö tulee funktiossa $$f$$ ensin skaalattua sivultaan kaksinkertaiseksi ja kierrettyä kulman $$\frac{\pi}{4}$$ vastapäivään, sekä lopulta siirrettyä $$3$$ yksikköä negatiivisen reaaliakselin suuntaan ja $$2$$ yksikköä negatiivisen imaginaariakselin suuntaan. Kuva 2.5.1 esittää näitä muunnoksia.

Kuva 2.5.1. Funktio $$f(z) = -3 - 2\im + 2\e^{\im\pi/4}z$$ skaalaa, kiertää ja siirtää yksikköneliötä.

Esimerkki 2.5.3

Eksponenttifunktio kuvaa reaaliakselin suuntaisen suoran origosta alkavaksi puolisuoraksi (origo poislukien). Tarkastellaan kompleksitason tietä $$z(t) = t + \im b$$, missä $$t \in \R$$ ja $$b$$ on reaalivakio. Tällöin

$\e^{z(t)} = \e^{t + \im b} = \e^t\cos(b) + \im \e^t\sin(b).$

Miksi tämä esittää kompleksitason puolisuoraa? Käyrä $$\e^{z(t)}$$ voidaan parametrisoida uudelleen asettamalla $$\e^t\cos(b) = s$$, jolloin $$\e^t\sin(b) = s\tan(b)$$ ja $$s \in (0, \infty)$$. Saman käyrän parametriesitykseksi saadaan täten

$\e^{z(t)} = \tilde{z}(s) = s + \im s\tan(b).$

Tämän vastine karteesisessa tasossa on $$(s, s\tan(b))$$, $$s \in (0, \infty)$$, eli juurikin origosta avoimesti alkava puolisuora, jonka kulmakerroin on $$\tan(b)$$. Tämän vuoksi vakio $$b$$ kuvaa kompleksitason puolisuoran ja reaaliakselin välistä kulmaa. Kuvaan 2.5.2 on piirretty muutamia reaaliakselin suuntaisia suoria, sekä niitä vastaavat kuvajoukot eksponenttifunktiossa.

Kuva 2.5.2. Eksponenttifunktio kuvaa reaaliakselin suuntaiset suorat origosta alkaviksi puolisuoriksi.

Esimerkki 2.5.4

Määritä kompleksitason tien $$z(t) = a + \im t$$, $$t \in \R$$ kuva eksponenttifunktiossa $$\e^t$$.

Ratkaisu

Merkitään $$z(t) = a + \im t$$, missä $$t \in \R$$ ja $$a$$ on reaalivakio. Tämän käyrän kuva on

$\e^{z(t)} = \e^{a + \im t} = \e^{a}\e^{\im t}, \qquad t \in \R.$

Lauseke $$\e^{\im t} = \cos(t) + \im\sin(t)$$ edustaa kompleksitason yksikköympyrää, jolloin $$\e^{z(t)}$$ on kompleksitason origokeskinen $$\e^a$$-säteinen ympyrä. Kuvaan 2.5.3 on piirretty muutamia imaginaariakselin suuntaisia suoria, sekä niitä vastaavat kuvajoukot eksponenttifunktiossa.

Kuva 2.5.3. Eksponenttifunktio kuvaa imaginaariakselin suuntaiset suorat origokeskisiksi ympyröiksi.

Esimerkki 2.5.5

Eksponenttifunktion $$\e^{x + \im y} = \e^x\cos(y) + \im\e^x\sin(y)$$ käyttäytymistä voidaan havainnollistaa helposti myös reaali- ja imaginaariosien $$u(x, y) = \e^x\cos(y)$$ ja $$v(x, y) = \e^x\sin(y)$$ kuvaajien avulla. Toinen vaihtoehto on käyttää niin ikään muuttujien $$x$$ ja $$y$$ funktioina esitettyä itseisarvoa ja pääargumenttia

$r(x, y) = |\e^{x + \im y}| = \e^x \qquad\text{ja}\qquad \phi(x, y) = \Arg(\e^{x + \im y}) = y + k2\pi,$

missä $$k$$ on välille $$\left(\frac{-\pi - y}{2\pi}, \frac{\pi - y}{2\pi}\right]$$ osuva kokonaisluku. Näiden neljän funktion kuvaajat on esitetty kuvassa 2.5.4.

Kuva 2.5.4. Eksponenttifunktion reaali- ja imaginaariosien, sekä itseisarvon ja argumentin kuvaajat.

Kahden muuttujan funktioille voi luonnollisesti käyttää myös muita kuvaajien esitystapoja, kuten tasa-arvokäyriä (kuva 2.5.5).

Kuva 2.5.5. Eksponenttifunktion reaali- ja imaginaariosien tasa-arvokäyriä.

Imaginaariosa tai argumentti voi joskus olla luontevaa ilmaista värikartan avulla reaaliosan tai itseisarvon kuvaajassa (kuva 2.5.6).

Kuva 2.5.6. Eksponenttifunktion imaginaariosa ja argumentti värikartoin.

Esimerkki 2.5.6

Tarkastellaan rationaalifunktion

$f(z) = \frac{z - 1}{(z + 2 - \im)(z - 3\im)}$

käyttäytymistä kuvaajan avulla. Kuvassa 2.5.7 on esitetty funktion $$f$$ itseisarvon reaalinen $$10$$-kantainen logaritmi $$\log_{10}|f(x + \im y)|$$ muuttujan $$z = x + \im y$$ reaali- ja imaginaariosien funktiona, sekä funktion $$f$$ pääargumentti kompleksitason värikarttakuvaajana.

Kuva 2.5.7. Rationaalifunktion $$f(z) = (z - 1)/(z + 2 - \im)(z - 3\im)$$ itseisarvon logaritmin, sekä argumentin kuvaajat.

Kuvaajien avulla on helppo tunnistaa rationaalifunktiolle erityisiä pisteitä. Pisteet, joissa argumentin kuvaajassa kohtaa monta väriä sattuvat nimittäin olevan täsmälleen funktion $$f$$ osoittajan ja nimittäjän nollakohdat, eli niin kutsutut nollat ja navat. Itseisarvon logaritmin kuvaaja puolestaan paljastaa, kumman tyyppisestä pisteestä on kyse: osoittajan nollakohta tekee kuvaajaan piikin alaspäin ja nimittäjän nollakohta ylöspäin. Näin käy, sillä $$\log_{10}(t) \to -\infty$$, kun $$t \to 0^{+}$$, ja $$\log_{10}(t) \to \infty$$, kun $$t \to \infty$$. Rationaalifunktion, ja muunkin tyyppisten funktioiden nollien ja napojen tarkasteluun palataan myöhemmin.

Yhteenvetona voidaan todeta, että kompleksimuuttujan funktion havainnollistamiseen ei ole yhtä oikeaa tai edes yhtä hyvää tapaa. Sopiva visualisointi täytyy valita aina tilanteen mukaan omaa harkintaa käyttäen. Parhaiden tapojen omaksuminen vaatii edellä esitettyjen eri keinojen (tai omienkin ajatusten) rohkeaa ja luovaa yhdistelemistä!

• Kompleksimuuttujan funktio $$f$$ voidaan esittää muuttujan $$z$$ reaali- ja imaginaariosien perusteella määräytyvien reaalifunktioiden $$u$$ ja $$v$$ avulla muodossa $$f = u + \im v$$.
• Alkeisfunktiot määritellään siten, että ne laajentavat reaalisia vastineitaan koskemaan kompleksilukuja.
• Eksponenttifunktio $$\e^{x + \im y} = \e^{x}(\cos(y) + \im\sin(y))$$ ja trigonometriset/hyperboliset funktiot määritellään sen avulla.
• Logaritmifunktio $$\log(z) = \ln|z| + \im\arg(z)$$ on monikäsitteinen, kuten sen avulla määriteltävät arkus- ja areafunktiotkin.
• Kompleksimuuttujan funktion visualisointi perustuu sen reaali- ja imaginaariosien tai itseisarvon ja argumentin avulla saataviin reaalifunktioiden kuvaajiin, tai kuvajoukkojen havainnollistamiseen kompleksitasossa.
Palautusta lähetetään...