$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Napakoordinaattiesitys ja juuret¶

Koska kompleksitaso voidaan samastaa karteesisen tason $$\R^2$$ kanssa, kompleksiluvuille saadaan napakoordinaattiesitys samaan tapaan kuin reaalilukupareillekin. Jos $$(x, y) \in \R^2$$ ja $$r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$$, niin on olemassa täyden kierroksen $$2\pi$$ monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen kulma $$\phi$$, jolle

(1)$\begin{split}\begin{cases} x = r\cos(\phi) \\ y = r\sin(\phi). \end{cases}\end{split}$

Kuvan 1.4.1 suorakulmaisesta kolmiosta nähdään, että $$\phi$$ (tai $$\phi + k2\pi$$, missä $$k \in \Z$$) on vektorin $$(x, y)$$ ja $$x$$-akselin muodostama suunnattu kulma.

Kuva 1.4.1. Kompleksiluvun $$z \not= 0$$ napakoordinaattiesitys muodostetaan kuten tason $$\R^2$$ pisteen.

Suoralla analogialla siis päätellään, että jos $$z = x + \im y \in \C$$, niin $$r = |z|$$ ja $$\phi$$ on ehdot (1) toteuttava luvun $$z$$ argumentti, joille

$z = r\cos(\phi) + \im r\sin(\phi) = r(\cos(\phi) + \im\sin(\phi)).$

Kuten edellä, kulma $$\phi$$ on vain luvun $$2\pi$$ monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen. Kaikkia luvun $$z$$ argumentteja merkitään yhteisesti $$\arg(z)$$, eli jos $$\phi$$ on jokin luvun $$z$$ argumentti, niin $$\arg(z) = \phi + k2\pi$$, missä $$k \in \Z$$. Kompleksiluvun argumentti voidaan laskea seuraavasti.

1. Jos $$\real(z) = 0$$ ja $$\imag(z) = 0$$, niin $$\arg(z) = \arg(0)$$ ei ole määritelty.

2. Jos $$\real(z) = 0$$ ja $$\imag(z) \neq 0$$, niin

$\begin{split}\arg(z) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} + k2\pi, & \text{kun } \imag(z) > 0 \\ -\frac{\pi}{2} + k2\pi, & \text{kun } \imag(z) < 0, \end{cases} \qquad k \in \Z.\end{split}$
3. Jos $$\real(z) \neq 0$$ ja $$z = x + \im y$$, niin

$\begin{split}\arg(z) = \begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + k2\pi, & \text{kun } x > 0 \\ \pi + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + k2\pi, & \text{kun } x < 0, \end{cases} \qquad k \in \Z.\end{split}$

Esimerkki 1.4.1

Olkoon $$z_1=1+\im$$ ja $$z_2=\sqrt{3}+\im$$. Esitä $$z_1$$ ja $$z_2$$ napakoordinaattimuodossa.

Ratkaisu

Nyt $$|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ ja kuvan 1.4.2 muistikolmioiden perusteella esimerkiksi $$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 = \frac{1}{1}$$. Vastaavasti $$|z_2| = 2$$ ja esimerkiksi $$\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$. Siis

$z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \im\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \qquad\text{ja}\qquad z_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \im\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right).$

Myös mikä tahansa luvuista $$\frac{\pi}{4} + k2\pi$$, $$k \in \Z$$, kuten $$-\frac{7\pi}{4}$$ kävisi luvun $$z_1$$ argumentiksi.

Kuva 1.4.2. Muistikolmiot kulmien $$\frac{\pi}{4}$$, $$\frac{\pi}{3}$$ ja $$\frac{\pi}{6}$$ käsittelyyn.

Jokaiselle kompleksiluvulle $$z$$ voidaan siis määrittää napakoordinaatit $$r$$ ja $$\phi$$, mutta näistä argumentti $$\phi$$ ei ole yksikäsitteinen. Seuraavan tuloksen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 1.4.2

Kompleksiluvut $$z_1$$ ja $$z_2$$ toteuttavat ehdon $$z_1 = z_2$$, jos ja vain jos

$|z_1| = |z_2| \qquad\text{ja}\qquad \arg(z_1) = \arg(z_2).$

Huomautus 1.4.3

Ilmaus $$\arg(z_1) = \arg(z_2)$$ sisältää luvun $$2\pi$$ monikertojen lisäyksen: $$\arg(z_1) = \phi_1 + k2\pi$$ ja $$\arg(z_2) = \phi_2 + l2\pi$$ joillekin reaaliluvuille $$\phi_1$$ ja $$\phi_2$$, sekä kokonaisluvuille $$k$$ ja $$l$$. Yhtäpitävästi voitaisiin sanoa, että $$\phi_1 = \phi_2 + m2\pi$$ jollekin kokonaisluvulle $$m$$.

Koska kompleksiluvun argumentti on tähän tapaan $$2\pi$$-jaksollinen suure, sen arvo millä tahansa puoliavoimella $$2\pi$$-pituisella välillä on yksikäsitteinen. Sen vuoksi seuraava määritelmä on järkevä.

Määritelmä 1.4.4

Kompleksiluvun $$z$$ pääargumentti $$\Arg(z) = \phi$$, jos $$\phi = \arg(z)$$ ja $$-\pi < \phi \leq \pi$$.

Mikä tahansa kompleksiluvun $$z$$ argumentti voidaan esittää pääargumentin avulla muodossa $$\arg(z) = \Arg(z) + k2\pi$$ jollakin kokonaisluvulla $$k$$.

Pohdi 1.4.5

Lukujen $$z_1 = 1 + \im$$ ja $$z_2 = \sqrt{3} + \im$$ tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitykset ovat

$z_1 z_2=2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)+\im \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\right) \qquad\text{ja}\qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+\im \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right).$

Vertaa näitä esimerkin 1.4.1 tuloksiin. Mitä luvun itseisarvolle ja argumentille tapahtuu jako- ja kertolaskuissa?

Pohditaan sitten napakoordinaattiesityksen hyödyllisiä seurauksia. Erityisesti kompleksilukujen kerto- ja jakolaskulle löytyy helpot tulkinnat itseisarvojen ja argumenttien avulla.

Lemma 1.4.6 (Kerto- ja jakolasku napakoordinaattimuodossa)

Olkoot $$z_1=r_1(\cos(\phi_1)+\im\sin(\phi_1))$$ ja $$z_2=r_2(\cos(\phi_2)+\im\sin(\phi_2))$$. Tällöin

1. $$z_1 z_2=r_1 r_2\left(\cos(\phi_1+\phi_2)+\im\sin(\phi_1+\phi_2)\right)$$,
2. $$\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\phi_1-\phi_2)+\im\sin(\phi_1-\phi_2)\right)$$.
Todistus

Todistetaan lause hyödyntämällä reaalisen sinin ja kosinin summakaavoja

$\sin(\phi_1+\phi_2)=\cos(\phi_1)\sin(\phi_2)+\cos(\phi_2)\sin(\phi_1)$

ja

$\cos(\phi_1+\phi_2)=\cos(\phi_1)\cos(\phi_2)-\sin(\phi_1)\sin(\phi_2).$

Huomaa, että tässä sini ja kosini ovat reaalifunktioita, joiden ominaisuudet oletetaan tunnetuiksi.

\begin{split}\begin{aligned} z_1z_2 &= r_1(\cos(\phi_1) + \im\sin(\phi_1))r_2(\cos(\phi_2) + \im\sin(\phi_2)) \\ &= r_1r_2(\cos(\phi_1)\cos(\phi_2) - \sin(\phi_1)\sin(\phi_2) + \im(\cos(\phi_1)\sin(\phi_2) + \cos(\phi_2)\sin(\phi_1))) \\ &= r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + \im\sin(\phi_1 + \phi_2)). \end{aligned}\end{split}

Näin ensimmäinen kohta on todistettu. Koska

$z_2^{-1} = \frac{1}{r_2(\cos(\phi_2) + \im\sin(\phi_2))} = \frac{1}{r_2}\frac{\cos(\phi_2) - \im\sin(\phi_2)}{\cos^2(\phi_2) + \sin^2(\phi_2)} = \frac{1}{r_2}(\cos(\phi_2) - \im\sin(\phi_2)),$

toinen kohta seuraa ensimmäisestä.

Geometrisesti edellinen lemma sanoo, että kompleksilukujen kertolaskussa niiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja argumentit lisätään toisiinsa. Vastaavasti jakolaskussa määritetään itseisarvojen osamäärä ja argumenttien erotus. Tätä voidaan havainnollistaa kuvan 1.4.3 tapaan.

Kuva 1.4.3. Kompleksiluvulla kertominen skaalaa itseisarvoa ja lisää vakion argumenttiin.

Tästä tuloksesta seuraa välittömästi, että kaikille kompleksiluvuille $$z_1$$ ja $$z_2$$ on voimassa

$\arg(z_1z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \qquad\text{ja}\qquad \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2).$

Kumpikaan näistä ei ole yleisesti voimassa pääargumentille. Vastaesimerkiksi käy $$z_1 = -1$$ ja $$z_2 = 1 + \im$$. Lisäksi luvun $$z = r(\cos(\phi) + \im\sin(\phi))$$ liittoluvun napakoordinaattiesitys on

$\overline{z} = r(\cos(\phi) - \im\sin(\phi)) = r(\cos\left(-\phi\right) + \im\sin\left(-\phi\right)),$

joten $$\arg(\overline{z}) = -\arg(z)$$.

Pohdi 1.4.7

Onko $$\Arg(\overline{z}) = -\Arg(z)$$ kaikille kompleksiluvuille $$z$$?

Lemman 1.4.6 kaavoista seuraa induktiolla ja parin erityistapauksen käsittelyllä yksinkertainen laskukaava myös kompleksiluvun potensseille.

Seuraus 1.4.8 (De Moivren kaava)

Olkoon $$z=r(\cos(\phi)+\sin(\phi))$$ ja $$n \in \Z$$. Tällöin

$z^n=r^n\left(\cos(n\phi)+\im\sin(n\phi)\right).$

Esimerkki 1.4.9

Olkoon $$z_1 = 1 + \im$$ ja $$z_2 = \sqrt{3} + \im$$. Lasketaan

$z=\frac{(1+\im)^{50}}{(\sqrt{3}+\im)^{27}}.$

Esimerkistä 1.4.1 muistetaan, että

\begin{split}\begin{aligned} z_1&=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\im \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right),\\ z_2&=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+\im \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right), \end{aligned}\end{split}

joten De Moivren kaavan avulla saadaan

\begin{split}\begin{aligned} z_1^{50}& =\sqrt{2}^{50}\left(\cos\left(\frac{50\pi}{4}\right)+\im\sin\left(\frac{50\pi}{4}\right)\right)=2^{25}\left(\cos\left(\frac{25\pi}{2}\right)+\im\sin\left(\frac{25\pi}{2}\right)\right),\\ z_2^{27} &=2^{27}\left(\cos\left(\frac{27\pi}{6}\right)+\im\sin\left(\frac{27\pi}{6}\right)\right)=2^{27}\left(\cos\left(\frac{9\pi}{2}\right)+\im\sin\left(\frac{9\pi}{2}\right)\right). \end{aligned}\end{split}

Lemman 1.4.6 nojalla siis

$\frac{(1+\im)^{50}}{(\sqrt{3}+\im)^{27}}=\frac{2^{25}}{2^{27}}\left(\cos\left(\frac{25-9}{2}\pi\right)+\im\sin\left(\frac{25-9}{2}\pi\right)\right)=\frac{1}{4}.$

Esimerkki 1.4.10

Olkoon $$z=r(\cos(\phi)+\im\sin(\phi))$$. Tiedon $$\arg(\overline{z})=-\arg(z)$$ avulla voidaan osoittaa, että

$z\overline{z}=r^2(\cos(\phi-\phi)+\im\sin(\phi-\phi))=r^2=|z|^2.$

Esimerkki 1.4.11

Napakoordinaattiesityksen ja De Moivren kaavan avulla voidaan laskea kaikki ne luvut $$w$$, jotka toteuttavat yhtälön $$w^5=2\im$$. Merkitään $$w=r(\cos(\phi)+\im\sin(\phi))$$, jolloin De Moivren kaavan nojalla

$w^5=r^5(\cos(5\phi)+\im\sin(5\phi)).$

Merkitsemällä $$2\im=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\im\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$$ ja hyödyntämällä lausetta 1.4.2 päätellään, että $$w^5 = 2\im$$ täsmälleen silloin, kun

$r^5 = 2 \qquad\text{ja}\qquad 5\phi = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

jollakin kokonaisluvulla $$k$$. Edelleen siis

$r = \sqrt[5]{2} \qquad\text{ja}\qquad \phi = \frac{\pi}{10} + k\frac{2\pi}{5}$

jollakin kokonaisluvulla $$k$$. Merkitään $$\phi_k = \frac{\pi}{10} + k\frac{2\pi}{5}$$. Äkkiseltään voi vaikuttaa siltä, että ratkaisuja on ääretön määrä, mutta todellisuudessa kokonaisluvun $$k$$ kasvattaminen johtaa toistuviin ratkaisuihin:

$\phi_{k + 5} - \phi_k = \frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{10} + (k + 5 - k)\frac{2\pi}{5} = 2\pi,$

joten jokaisella kokonaisluvulla $$k$$ argumentit $$\phi_{k + 5}$$ ja $$\phi_k$$ vastaavat samaa kompleksilukua $$w$$. Erilliset ratkaisut vastaavat siis viittä peräkkäistä kokonaisluvun $$k$$ arvoa, ja ne voidaan valita vapaasti esimerkiksi luvusta $$0$$ alkaen. Yhtälön ratkaisut ovat siis

$w = \sqrt[5]{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{10} + k\frac{2\pi}{5}\right) + \im\sin\left(\frac{\pi}{10} + k\frac{2\pi}{5}\right)\right), \qquad k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}.$

Näitä lukuja yhdessä kutsutaan luvun $$2\im$$ viidensiksi juuriksi.

Esimerkissä 1.4.11 laskettiin yhteensä viisi ratkaisua yhtälölle $$w^5 = 2\im$$. Vastaavuus ratkaisujen lukumäärän ja eksponentin välillä ei ole sattumaa, ja yleisesti kompleksilukuyhtälöllä $$w^n = z$$ on $$n$$ kappaletta erillisiä ratkaisuja.

Määritelmä 1.4.12

Oletetaan, että $$z \in \C$$ ja $$n \in \N$$. Niitä lukujen $$w$$ joukkoa, jotka toteuttavat yhtälön $$w^n = z$$ kutsutaan luvun $$z$$ $$n$$:ksi juuriksi ja merkitään

$z^{1/n} = \{w \in \C \mid w^n = z\}.$

Huomautus 1.4.13

Reaalilukujen joukossa on mahdollista määritellä luvun $$n$$:s juuri luontevalla tavalla yksikäsitteisesti. Kompleksilukujen joukossa tämä ei onnistu (ainakaan yhtä luontevasti), joten reaaliluvun ja kompleksiluvun juurille varataan eri merkinnät. Reaaliluvun $$a$$ juurta merkitään $$\sqrt[n]{a}$$ ja kompleksiluvun $$a$$ juurta $$a^{1/n}$$.

Lisäksi merkintä $$z^{1/n}$$ tarkoittaa määritelmän mukaan luvun $$z$$ $$n$$:sien juurten joukkoa, mutta joissakin tapauksissa sillä tarkoitetaan myös tämän joukon alkioita.

Juurten ratkaiseminen ja niiden lukumäärä voidaan muotoilla yhdessä De Moivren kaavan seurauksena.

Seuraus 1.4.14

Olkoon $$z=r(\cos(\phi)+\im\sin(\phi))$$, missä $$r \geq 0$$, $$\phi=\Arg(z)$$ ja $$n\in\N$$. Tällöin

$z^{1/n}=\left\{\sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+k2\pi}{n}\right)+\im\sin\left(\frac{\phi+k2\pi}{n}\right)\right) \,\middle|\, k \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}\right\}.$
Todistus

Merkitään $$w=s(\cos(\theta)+\im\sin(\theta))$$, jolloin De Moivren kaavan nojalla $$w^n = z$$ täsmälleen silloin, kun

$s^n = r \qquad\text{ja}\qquad n\theta = \phi + k2\pi$

jollakin kokonaisluvulla $$k$$. Siis

$s = \sqrt[n]{r} \qquad\text{ja}\qquad \theta = \frac{\phi + k2\pi}{n},$

missä $$k \in \Z$$. Merkitsemällä $$\theta_k = \frac{1}{n}(\phi + k2\pi)$$ nähdään, että

$\theta_{k + n} - \theta_{k} = \frac{1}{n}(\phi + (k + n)2\pi - (\phi + k2\pi)) = 2\pi,$

joten

$w_{k + n} = s(\cos(\theta_{k + n}) + \im\sin(\theta_{k + n})) = s(\cos(\theta_k) + \im\sin(\theta_k)) = w_k.$

Toisaalta $$\theta_{k + m} \not= \theta_k$$ aina, kun $$k \in \Z$$ ja $$m \in \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\}$$, joten erilliset ratkaisut voidaan esittää muodossa

$w = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+k2\pi}{n}\right)+\im\sin\left(\frac{\phi+k2\pi}{n}\right)\right),$

missä $$k \in \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\}$$.

Esimerkki 1.4.15

Lasketaan kaikki luvun $$z=-8-8\sqrt{3}\im$$ neljännet juuret. Piirtämällä $$z$$ vektorina kompleksitasoon nähdään, että $$\Arg(z)=-\frac{2\pi}{3}$$ ja että

$r=|z|=\sqrt{(-8^2)+(-8\sqrt{3})^2}=16.$

Täten seurauksen 1.4.14 nojalla

\begin{split}\begin{aligned} (-8-8\sqrt{3}\im)^{1/4}& = \sqrt[4]{16}\left(\cos\left(\frac{-\frac{2\pi}{3}+k2\pi}{4}\right)+\im\sin\left(\frac{-\frac{2\pi}{3}+k2\pi}{4}\right)\right)\\ & = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}\right)+\im\sin\left(-\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}\right)\right). \end{aligned}\end{split}

Tämä lauseke voidaan tulkita kahden kompleksiluvun tulona seuraavasti:

\begin{split}\begin{aligned} (-8 - 8\sqrt{3}\im)^{1/4} &= 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\im\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\left(\cos\left(k\frac{\pi}{2}\right)+\im\sin\left(k\frac{\pi}{2}\right)\right), \\ & =\left(\sqrt{3}-\im\right)\im^k, \end{aligned}\end{split}

missä $$k \in \{0, 1, 2, 3\}$$. Siis erilliset juuret perusmuodossa ovat

$w_0=\sqrt{3}-\im,\qquad w_1=1+\sqrt{3}\im,\qquad w_2=-\sqrt{3}+\im \qquad\text{ja}\qquad w_3=-1-\sqrt{3}\im.$

Juurten piirtäminen kompleksitason pisteiksi kuvan 1.4.4 tapaan paljastaa, kuinka ne todella ovat origokeskisen ympyrän kehällä tasaisin välein.

Kuva 1.4.4. Luvun $$-8 - 8\sqrt{3}\im$$ neljännet juuret.

Esimerkki 1.4.16

Laske $$(2\im)^{1/2}$$ ja $$(-16)^{1/4}$$.

Ratkaisu

Koska $$|2\im| = 2$$ ja $$\Arg(2\im) = \frac{\pi}{2}$$,

\begin{split}\begin{aligned} (2\im)^{1/2} &= \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi/2 + k2\pi}{2}\right) + \im\sin\left(\frac{\pi/2 + k2\pi}{2}\right)\right) \\ &= \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \im\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(\cos(k\pi) + \im\sin(k\pi)\right) = (-1)^k(1 + \im), \end{aligned}\end{split}

missä $$k = 0$$ tai $$k = 1$$. Erilliset juuret ovat siis

$w_0 = 1 + \im \qquad\text{ja}\qquad w_1 = -1 - \im.$

Vastaavasti $$\left|-16\right| = 16$$ ja $$\Arg(-16) = \pi$$, joten

\begin{split}\begin{aligned} (-16)^{1/4} &= \sqrt[4]{16}\left(\cos\left(\frac{\pi + k2\pi}{4}\right) + \im\sin\left(\frac{\pi + k2\pi}{4}\right)\right) \\ &= 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \im\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(\cos\left(k\frac{\pi}{2}\right) + \im\sin\left(k\frac{\pi}{2}\right)\right) = \im^k\sqrt{2}(1 + \im), \end{aligned}\end{split}

missä $$k \in \{0, 1, 2, 3\}$$. Erilliset juuret ovat siis

$w_0 = \sqrt{2}(1 + \im), \quad w_1 = \sqrt{2}(-1 + \im), \quad w_2 = \sqrt{2}(-1 - \im) \quad\text{ja}\quad w_3 = \sqrt{2}(1 - \im).\qedhere$

Jos reaaliluvut voidaan ajatella kompleksilukuina, niin miksi sitten positiivisten reaalilukujen juuri on yksikäsitteinen ja kompleksilukujen ei? Soveltamalla määritelmää 1.4.12 esimerkiksi reaalilukuun $$64$$ nähdään, että

\begin{split}\begin{aligned} 64^{1/2} &= \{w \in \C \mid w^2 = 64\} = \{-8, 8\} \qquad\text{ja} \\ 64^{1/3} &= \{w \in \C \mid w^3 = 64\} = \{4, -2 \pm \im 2\sqrt{3}\}. \end{aligned}\end{split}

Positiivisen reaaliluvun $$a$$ tapauksessa joukko $$a^{1/n}$$ sisältää aina positiivisen reaaliluvun, ja reaalisen juurifunktion määritelläänkin saavan arvokseen aina tämä positiivinen juuri.

Edellä on kyse myös kompleksilukujen juurelle yleistyvästä haaran valinnasta. Juuressa

$z^{1/n} = \left\{\sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi + k2\pi}{n}\right) + \im\sin\left(\frac{\phi + k2\pi}{n}\right)\right) \,\middle|\, k \in \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\}\right\}$

jokainen kokonaisluvun $$k$$ arvo määrää juurelle eri arvon, eli juuren haaran. Jokaista lukua $$k \in \{0, 1, 2, \ldots, n - 1\}$$ vastaamaan voitaisiinkin kirjoittaa yksikäsitteinen juuri

$z_k^{1/n} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi + k2\pi}{n}\right) + \im\sin\left(\frac{\phi + k2\pi}{n}\right)\right).$

Erityisasema voidaan antaa juurelle $$z_0^{1/n}$$, eli tapaukselle $$k = 0$$. Tätä kutsutaan juuren päähaaraksi. Koska positiivisen reaaliluvun $$a$$ itseisarvo $$|a| = a$$ ja eräs argumentti on $$0$$, niin

$a_0^{1/n} = \sqrt[n]{a}\left(\cos\left(\frac{0}{n}\right) + \im\sin\left(\frac{0}{n}\right)\right) = \sqrt[n]{a},$

eli positiivisen reaaliluvun kompleksisen juuren päähaara vastaa sen reaalista juurta.

• Kompleksiluvut muodostavat kunnan $$(\C, +, \cdot)$$.
• Imaginaariyksikön neliö $$\im^2 = -1$$.
• Liittoluku $$\overline{z} = \real(z) - \im\imag(y)$$ ja itseisarvo $$|z| = z\overline{z} = \sqrt{\real(z)^2 + \imag(z)^2}$$.
• Kompleksiluvut toteuttavat kolmioepäyhtälön $$||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 \pm z_2| \leq |z_1| + |z_2|$$.
• Ehto $$z(t) = x(t) + \im y(t)$$ parametrisoi kompleksitason tien, jos $$x$$ ja $$y$$ ovat jatkuvia reaalifunktioita.
• Jordanin käyrä on sulkeutuva itseään leikkaamaton tie.
• Kompleksiluvun juuret on helpointa määrittää napakoordinaattiesityksen avulla.
Palautusta lähetetään...