$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Cauchyn integraalikaavan seurauksia¶

Cauchyn integraalikaavalla on useita teoreettisesti mielenkiintoisia seurauksia, joista Taylorin ja Laurentin sarjakehitelmiä, sekä residylaskentaa käsitellään tulevissa luvuissa. Suoraviivaisempina integraalikaavan sovelluksina voidaan osoittaa, että kaikki koko kompleksitasossa analyyttiset rajoitetut funktiot ovat vakiofunktioita, ja että jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi kompleksinen juuri.

Lause 4.5.1 (Liouvillen lause)

Olkoon $$f : \C \to \C$$ kokonainen rajoitettu funktio (löytyy $$M > 0$$, jolle $$|f(z)| < M$$ aina, kun $$z \in \C$$). Tällöin $$f$$ on vakiofunktio.

Todistus

Olkoon $$z_0$$ mielivaltainen kompleksiluku, sekä $$S$$ $$r$$-säteinen $$z_0$$-keskinen ympyrä, jolloin tien $$S$$ pituus on $$2\pi r$$. Koska $$f$$ on kokonainen (analyyttinen kaikkialla), Cauchyn integraalikaavaa derivaatoille voidaan soveltaa derivaatan $$f'(z_0)$$ laskemiseen riippumatta säteen $$r$$ suuruudesta. Koska tiellä $$S$$ on oltava $$|z - z_0| = r$$, integraalikaavan ja ML-lauseen nojalla saadaan arvio

$|f'(z_0)|=\left|\frac{1!}{2\pi\im}\int_S \frac{f(z)}{(z-z_0)^2}\, \rd z\right| \leq \frac{1}{2\pi}\frac{M}{r^2}2\pi r=\frac{M}{r}.$

Koska $$M/r \to 0$$, kun $$r\to\infty$$, on oltava $$|f'(z_0)|=0$$, eli $$f'(z_0)=0$$. Tässä $$z_0$$ on mielivaltainen, joten $$f'(z_0) = 0$$ aina, kun $$z_0 \in \C$$, ja edelleen lauseen 3.3.10 nojalla $$f$$ on vakio.

Lause 4.5.2 (Algebran peruslause)

Polynomilla $$p(z)=a_0+a_1 z+a_2 z^2+\cdots+a_n z^n$$, missä $$a_n\neq 0$$ ja luonnollinen luku $$n \geq 1$$, on ainakin yksi kompleksinen juuri. Tästä seuraa, että sillä on $$n$$ juurta.

Todistus

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan funktiolla $$p$$ ei ole nollakohtia. Tällöin $$f(z)=\frac{1}{p(z)}$$ on määritelty koko kompleksitasossa, ja sillä on pisteessä $$z$$ derivaatta $$f'(z)= -p'(z)/(p(z))^2$$. Funktio $$f$$ on siis kokonainen.

Pyritään ristiriitaan osoittamalla, että $$f$$ on rajoitettu. Käyttämällä käänteistä kolmioepäyhtälöä ja arvioimalla ylöspäin huomataan, että

$|f(z)|=\frac{1}{|p(z)|}=\frac{1}{|z|^n\left(\left|a_n+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\right)}\leq\frac{1}{R^n\left(|a_n|-\frac{|a_{n-1}|}{R}-\cdots-\frac{|a_0|}{R^n}\right)},$

kun $$|z|\geq R>0$$ ja säde $$R$$ on riittävän suuri. Tästä seuraa, että $$f$$ on rajoitettu joukossa $$|z|>R$$. Koska $$|f(z)|$$ on jatkuva kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio, se on rajoitettu myös kompaktissa joukossa $$|z|\leq R$$. Siis $$f$$ on rajoitettu koko kompleksitasossa. Nyt Liouvillen lauseen nojalla $$f$$, ja siten myös $$p$$ ovat vakiofunktioita. Tämä on selvästi ristiriita, eli polynomilla $$p$$ on kompleksitasossa ainakin yksi juuri $$z_0$$.

Nyt polynomien jakoalgoritmin nojalla voidaan kirjoittaa $$p(z)=(z-z_0)q(z)$$, missä $$q$$ on astetta $$n-1$$ oleva polynomi. Juuri todistettu on luonnollisesti voimassa myös polynomille $$q$$, ja näin induktiivisesti voidaan päätellä, että juuria on $$n$$ kappaletta.

Alueessa $$A$$ jatkuvan funktion $$f$$ integraali ei-suljetun integroimistien $$S \subseteq A$$ yli voidaan laskea

• määritelmän

$\int_S f(z)\,\rd z=\int_a^b f(z(t))z'(t)\,\rd t$

mukaan, jos tien $$S$$ parametrisointi tunnetaan tai voidaan selvittää, ja $$f(z(t))z'(t)$$ osataan integroida,

• analyysin peruslauseen

$\int_S f(z)\,\rd z=F(z(b))-F(z(b))$

avulla, jos antiderivaatta $$F$$ on olemassa ja vähintään tien $$S$$ päätepisteet tunnetaan.

Suljetun integroimistien (Jordanin käyrän), yhdesti yhtenäisen alueen $$A$$ ja analyyttisen funktion $$f$$ tapauksessa apuna voi käyttää edellisten lisäksi

• Cauchy-Goursat’n lausetta,

• integroimistien deformointia (Cauchy-Goursat’n lauseen seuraus),

• Cauchyn integraalikaavoja

$\int_S \frac{f(z)}{z-z_0}\,\rd z=2\pi\im f(z_0) \qquad\text{ja}\qquad \int_S \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,\rd z=\frac{2\pi\im}{n!} f^{(n)}(z_0).$

Funktiolla $$f$$ on alueessa $$A$$ antiderivaatta,

• jos ja vain jos sen integraalit alueessa $$A$$ ovat polkuriippumattomia, ja tällöin eräs antiderivaatta on

$F(z)=\int_{z_0}^z f(s)\,\rd s,$

missä $$z_0 \in A$$,

• jos $$A$$ on yhdesti yhtenäinen ja $$f$$ on analyyttinen alueessa $$A$$.

Cauchyn integraalikaavasta seuraa, että

• analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva,
• kokonainen ei-vakiofunktio ei ole koskaan rajoitettu (Liouvillen lause),
• $$n$$-asteisella kompleksikertoimisella polynomilla on aina $$n$$ kompleksista juurta (algebran peruslause).
Palautusta lähetetään...