$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Cauchy-Goursatin lause ja deformaatio

Seuraava lause on tärkeä kompleksianalyysin teoreettinen työkalu ja jatkossa sitä käytetään useasti. Lauseen todistus on varsin pitkä ja jätämme käymättä sen läpi ajan säästämiseksi. Kiinnostunut lukija voi tutustua todistukseen esimerkiksi Zillin ja Shanahanin (2003) liitteestä II. Usein lauseesta esitetään Cauchyn integraalilauseen nimellä kulkeva versio, jossa oletetaan derivaatan jatkuvuus. Tämän lauseen todistus on paljon yksinkertaisempi ja onnistuu käyttäen Greenin lausetta. Myöhemmin havaitaan, että analyyttisen funktion $f$ derivaatta $f'$ on aina analyyttinen, ja siten myös jatkuva, mutta kehäpäätelmien välttämiseksi tätä oletusta ei voida tehdä vielä.

Lause 4.2.1 (Cauchy-Goursat’n lause)

Olkoon $f:A\to\C$ analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa $A$. Jos $S \subseteq A$ on paloittain sileä Jordanin käyrä, niin $\int_S f(z)\,\rd z=0$.

Nyt monien integraalien laskeminen muuttuu jopa triviaaliksi.

Esimerkki 4.2.2

Esimerkissä 4.1.7 laskettiin integraaliksi $\int_Sz^2\,\rd z = 0$, kun $S$ on yksikköympyrä. Nyt $z^2$ on analyyttinen sileän Jordanin käyrän $S$ sisältävässä yhdesti yhtenäisessä alueessa $\C$, joten sama voidaan päätellä suoraan Cauchy-Goursat’n lauseen avulla.

Esimerkki 4.2.3

Laske integraali $\displaystyle\int_S \frac{1}{\cos(z^2)}\, \rd z$, missä $S$ on yksikköympyrä $|z| = 1$.

Ratkaisu

Funktiot $1$ ja $\cos(z^2)$ ovat kokonaisia funktioita, joten ainoat pisteet, joissa $1/\cos(z^2)$ ei ole analyyttinen, ovat funktion $\cos(z^2)$ nollakohdat. Esimerkin 2.3.11 nojalla $\cos(z^2) = 0$ täsmälleen silloin, kun

$$\begin{split}z^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi, \text{ missä } k \in \Z, \qquad\text{eli}\qquad z = \begin{cases} \pm\sqrt{\frac{\pi}{2} + k\pi}, & \text{kun } k = 0, 1, 2, \ldots \\ \pm\im\sqrt{-\frac{\pi}{2} - k\pi}, & \text{kun } k = -1, -2, \ldots \end{cases}\end{split}$$

Origoa lähimpänä olevat nollakohdat ovat $\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ ja $\pm\im\sqrt{\frac{\pi}{2}}$, mutta koska $\sqrt{\frac{\pi}{2}} > 1$, ne jäävät integroimistien ulkopuolelle. Funktio $1/\cos(z^2)$ on siis analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa, joka jää sileän integroimistien $S$ sisäpuolelle. Niinpä Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla

$$\int_S \frac{1}{\cos(z^2)}\, \rd z=0.\qedhere$$

Cauchy-Goursat’n lauseesta seuraa, että integroimistie kahden pisteen välillä voidaan valita vapaasti, kunhan vain integroitava funktio on analyyttinen näiden kahden tien väliin jäävässä alueessa. Järkevä valinta on usein yksinkertaisin mahdollinen integroimistie, kuten jana tai $z_0$-keskinen pieni ympyrä.

Lemma 4.2.4

Oletetaan, että $A$ on yhdesti yhtenäinen alue ja että $z_1,z_2\in A$. Jos $f:A\to\C$ on analyyttinen alueessa $A$ ja $S \subseteq A$ on pisteet $z_1$ ja $z_2$ yhdistävä paloittain sileä tie, niin integraalin $\int_S f(z)\,\rd z$ arvo ei riipu tien $S$ valinnasta.

Todistus

Olkoot $S_1$ ja $S_2$ kaksi pisteen $z_1$ pisteeseen $z_2$ yhdistävää paloittain sileää tietä. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että ne eivät leikkaa toisiaan. Kulkemalla ensin pisteestä $z_1$ pisteeseen $z_2$ tietä $S_1$ pitkin ja sen jälkeen takaisin pisteeseen $z_2$ tietä $-S_2$ pitkin muodostuu paloittain sileä sulkeutuva tie $S$. Niinpä Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla

$$0=\int_S f(z)\,\rd z=\int_{S_1} f(z)\,\rd z+\int_{-S_2} f(z)\,\rd z=\int_{S_1} f(z)\,\rd z-\int_{S_2} f(z)\,\rd z,$$

eli $\int_{S_1} f(z)\,\rd z=\int_{S_2} f(z)\,\rd z$.

Pohdi 4.2.5

Miksi todistuksessa voidaan olettaa, että $S_1$ ja $S_2$ eivät leikkaa toisiaan?

Cauchy-Goursatin lause mahdollistaa vastaavasti myös suljetun integroimistien muodon muuntamisen, eli deformaation, kunhan funktio on analyyttinen vanhan ja uudelleen muovatun integroimistien välissä. Molempien integroimisteiden sisään voi siis jäädä pisteitä, joissa funktio ei ole analyyttinen. Muotoillaan ja todistetaan kyseinen tulos ja sen yleistys seuraavaksi.

Lause 4.2.6 (Deformaatiolause)

Olkoot $S_1$, $S_2$, $C_1$ ja $C_2$ sellaisia Jordanin käyriä (kts. kuva 4.2.1), sekä $f$ sellainen funktio, että

• $C_1$ on käyrien $S_1$, $S_2$ ja $C_2$ ulkopuolella,
• $C_2$ on käyrien $S_1$ ja $S_2$ sisäpuolella,
• $S_1$ ja $S_2$ ovat paloittain sileitä,
• funktio $f$ on analyyttinen käyrien $C_1$ ja $C_2$ välisessä alueessa.

Tällöin

$$\int_{S_1}f(z)\,\rd z=\int_{S_2} f(z)\,\rd z.$$

Kuva 4.2.1. Deformaatiolauseeseen liittyvät käyrät (vasen kuva) ja sen todistukseen liittyvä integroimisteiden valinta (oikea kuva).

Todistus

Oletetaan ensin, että $S_1$ on tien $S_2$ ulkopuolella. Yhdistetään käyrät $S_1$ ja $S_2$ toisiinsa sileillä teillä $\Gamma_1$ ja $\Gamma_2$ kuvan 4.2.1 mukaisesti. Muodostetaan yksinkertaiset, paloittain sileät ja suljetut käyrät

$$\begin{split}\begin{aligned} P_1& =S_1^\prime\to\Gamma_1\to-S_2^\prime\to\Gamma_2, \\ P_2&=S_1^{\prime\prime}\to-\Gamma_2\to-S_2^{\prime\prime}\to-\Gamma_1. \end{aligned}\end{split}$$

Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla $\int_{P_1}f(z)\, \rd z=\int_{P_2}f(z)\, \rd z=0$, joten

$$\begin{split}\begin{aligned} 0&=\int_{P_1}f(z)\, \rd z+\int_{P_2}f(z)\, \rd z\\ &=\int_{S_1^\prime}f(z)\, \rd z+\int_{\Gamma_1}f(z)\, \rd z+\int_{-S_2^\prime}f(z)\, \rd z+\int_{\Gamma_2}f(z)\, \rd z\\ &\qquad + \int_{S_1^{\prime\prime}}f(z)\, \rd z+\int_{-\Gamma_1}f(z)\, \rd z+\int_{-S_2^{\prime\prime}}f(z)\, \rd z+\int_{-\Gamma_2}f(z)\, \rd z\\ &=\int_{S_1}f(z)\, \rd z-\int_{S_2}f(z)\, \rd z, \end{aligned}\end{split}$$

mistä tulos seuraa. Jos $S_1$ ja $S_2$ leikkaavat toisensa, niin voidaan valita sellainen sileä integroimistie $\widetilde{S}_1$, että se on käyrän $C_1$ sisällä, mutta käyrien $S_1$ ja $S_2$ ulkopuolella. Tällöin edellisen nojalla

$$\int_{S_1}f(z)\, \rd z=\int_{\widetilde{S}_1}f(z)\, \rd z=\int_{S_2}f(z)\, \rd z.\qedhere$$

Yleistetään deformaatiolause vielä tapaukseen, jossa integroidaankin yhden suuren integroimistien sijaan useamman pienen integroimistien yli. Tämän tuloksen kätevyys tulee ilmi esimerkissä 4.4.6, jossa se yhdessä Cauchyn integraalikaavan kanssa tarjoaa näppärän tavan laskea varsin monimutkainen integraali.

Lause 4.2.7

Olkoot $S_1,S_2,\ldots,S_n$ paloittain sileitä Jordanin käyriä, jotka eivät leikkaa toisiaan, sekä $S$ sellainen paloittain sileä Jordanin käyrä, että käyrät $S_1,S_2,\ldots,S_n$ jäävät sen sisäpuolelle. Jos funktio $f$ on analyyttinen käyrillä $S, S_1,S_2,\ldots,S_n$ ja niiden väliin jäävässä alueessa, niin

$$\int_{S}f(z)\,\rd z=\sum_{k=1}^n \int_{S_k} f(z)\,\rd z.$$

Kuva 4.2.2. Integroimisteiden yhdistäminen defomaatiolauseen yleistystä todistettaessa.

Todistus

Todistuksen idea on sama kuin deformaatiolauseen todistuksessa. Erona on, että tien $S$ sisäpuolelle jäävät tiet $S_1,S_2, \ldots, S_n$ täytyy yhdistää toisiinsa kuvan 4.2.2 tapaan.

Esimerkki 4.2.8

Lasketaan integraali $\int_S \frac{1}{z}\, \rd z$, kun $S$ on murtoviiva $-\im\to 2-\im\to 1+\im\to -1+\im \to -\im$.

Integraali voitaisiin laskea useassa osassa yli kunkin erillisen janan esimerkiksi määritelmän mukaan. On kuitenkin helpompi huomata, että $S$ on origon ympäri kulkeva paloittain sileä Jordanin käyrä. Koska $f$ on analyyttinen kaikkialla muualla kuin origossa, niin deformaatiolauseen mukaisesti integraalin arvo on sama kuin yksikköympyrän yli integroitaessa. Siis lemman 4.1.8 nojalla $\int_S \frac{1}{z}\, \rd z=2\pi\im$.

Palautusta lähetetään...