$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Kompleksitason joukot ja käyrät

Aiemmin todettiin, että kompleksiluku $x+\im y$ voidaan ymmärtää karteesisen tason alkiona $(x,y)$, eli joukot $\C$ ja $\R^2$ voidaan samastaa. Samalla muodostetaan seuraavat terminologiset vastaavuudet.

• Karteesisen tason $x$-akselia kutsutaan kompleksitason reaaliakseliksi.
• Karteesisen tason $y$-akselia kutsutaan kompleksitason imaginaariakseliksi.
• Karteesisen tason vektorin pituus on vastaavan kompleksitason pisteen itseisarvo.
• Karteesisen tason pisteiden $z_1$ ja $z_2$ etäisyys on kompleksitasossa $|z_1-z_2|$.

Ymmärtämällä kompleksilukujen joukko tasona saadaan kompleksiluvuille geometrinen tulkinta, josta on hyötyä kompleksitason topologiaa hahmoteltaessa ja useita tuloksia tulkittaessa.

Huomautus 1.2.1

Tarkalleen ottaen joukkojen $\C$ ja $\R^2$ samastamisella tarkoitetaan näiden joukkojen algebrallista isomorfisuutta. Tässä kuitenkin riittää, että voimme ymmärtää jokaisen kompleksiluvun $z=x+\im y\in\C$ parina $(x,y)\in\R^2$ ja toisin päin. Erilaisten kompleksiluvun tulkintojen etuna on, että kunhan perustelut ovat kunnossa, niiden välillä voidaan liikkua ja valita kuhunkin tilanteeseen sopivin.

Kompleksitason geometriaa

Kompleksitasossa voidaan tutkia erilaisia käyriä ja alueita vastaavasti kuin karteesisessa tasossa. Tämä mahdollistaa myös kompleksimuuttujan funktioiden ja laskutoimitusten tulkinnan geometrisesti.

Esimerkki 1.2.2

Tason $\R^2$ ympyrä $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ siirtyy kompleksitason ympyräksi seuraavasti. Keskipisteestä $(a, b)$ tulee kompleksiluku $a + \im b$, jolloin

$$\begin{split}\begin{aligned} (x - a)^2 + (y - b)^2 &= \left(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\right)^2 \\ &= |x - a + \im(y - b)|^2 \\ &= |x + \im y - (a + \im b)|^2. \end{aligned}\end{split}$$

Merkitsemällä tuntematonta kompleksilukua $x + \im y = z$ ja keskipistettä $a + \im b = z_0$ päätellään, että $|z - z_0|^2 = r^2$. Tässä säde $r \geq 0$, joten kompleksitason ympyrän yhtälöksi saadaan

$$|z - z_0| = r.$$

Ympyrän sisäpuoli määritellään ehdolla $|z - z_0| < r$ ja ulkopuoli ehdolla $|z - z_0| > r$.

Esimerkki 1.2.3

Ratkaise kompleksitason epäyhtälöpari

$$\begin{split}\begin{cases} |z - \im| < 3 \\ |z + 2 - 2\im| \geq 2 \end{cases}\end{split}$$

ja piirrä kuva ratkaisujoukosta. Kiinnitä erityistä huomiota siihen, mitkä osat ratkaisujoukkoa rajaavista käyristä kuuluvat siihen.

Ratkaisu

Koska $|z - \im| = 3$ on kompleksitason $\im$-keskinen $3$-säteinen ympyrä, epäyhtälön $|z - \im| < 3$ ratkaisevat tämän ympyrän sisään jäävän kiekon

$$\{z \in \C \mid |z - \im| < 3\} = \{\im + z \mid z \in \C \land |z| < 3\}$$

pisteet. Reunakäyrä ei sisälly tähän ratkaisuun. Yhtälö $|z + 2 - 2\im| = 2$ puolestaan edustaa kompleksitason $(-2 + 2\im)$-keskistä $2$-säteistä ympyrää, joten epäyhtälön $|z + 2 - 2\im| \geq 2$ ratkaisevat tämän ympyrän ulkopuolelle jäävän joukon

$$\{z \in \C \mid |z + 2 - 2\im| \geq 2\} = \{-2 + 2\im + z \mid z \in \C \land |z| \geq 2\}$$

pisteet. Tässä reunakäyrä sisältyy ratkaisuun.

Kummankin epäyhtälön ratkaisee näiden joukkojen leikkaus

$$\{\im + z \mid z \in \C \land |z| < 3\} \cap \{-2 + 2\im + z \mid z \in \C \land |z| \geq 2\},$$

jolle on hankala kehittää yksinkertaisempaa esitysmuotoa. Ratkaisua voidaan kuitenkin havainnollistaa kuten kuvassa 1.2.1. Katkoviiva merkitsee reunakäyrää, joka ei kuulu ratkaisuun.

Kuva 1.2.1. Harmaa alue edustaa epäyhtälöiden $|z - \im| < 3$ ja $|z + 2 - 2\im| \geq 2$ yhteisiä ratkaisuja.

Esimerkki 1.2.4

Reaaliakselin yläpuolelle jäävä puolitaso on yksinkertaisesti joukko

$$\{z \in \C \mid \imag(z) > 0\} = \{x + \im y \mid x, y \in \R \land y > 0\}.$$

Vastaavasti imaginaariakselin vasemmalla puolella on puolitaso

$$\{z \in \C \mid \real(z) \leq 0\} = \{x + \im y \mid x, y \in \R \land x \leq 0\}.$$

Reaalitason suoran $ax + by = c$ yläpuolelle jäävä puolitaso on kompleksitasossa

$$\{x + \im y \mid x, y \in \R \land ax + by > c\}.$$

Puolitasot voidaan esittää myös itseisarvoon liittyvän ehdon avulla. Jos esimerkiksi piste $z = x + \im y$ toteuttaa ehdon $|z| \leq |z - 2|$, niin

$$\sqrt{x^2 + y^2} \leq \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}, \qquad\text{eli}\qquad x^2 \leq (x - 2)^2.$$

Tämä epäyhtälö puolestaan toteutuu silloin, kun $0 \leq -4x + 4$, eli kun $\real(z) = x \leq 1$. Ehto $|z| \leq |z - 2|$ määrittelee siis puolitason $\{z \in \C \mid \real(z) \leq 1\}$.

Esimerkki 1.2.5

Jos $f$ on jatkuva funktio, niin reaalitason käyrä $\{(x, f(x)) \mid a \leq x \leq b\}$ on kompleksitason joukko $\{x + \im f(x) \mid a \leq x \leq b\}$. Esimerkiksi yhtälö $z = x + \im x^2$, $x \in \R$ vastaa reaalitason paraabelia $y = x^2$.

Pohdi 1.2.6

Mitkä ovat ehdot $|z - 1| < 2$ ja $|z + 1| < |z - 3|$ samanaikaisesti toteuttavat kompleksitason pisteet? Piirrä kuva.

Kompleksitason käyrät

Määritellään sitten muodollisesti kompleksitason käyrä, sekä siihen liittyviä käsitteitä. Käyrät ja erityisesti tiet ovat jatkossa oleellisia integroinnin yhteydessä, sillä kompleksitasossa integrointi suoritetaan aina jonkin tien yli.

Määritelmä 1.2.7

Kompleksitason käyrä on joukko $S = \{x(t) + \im y(t) \mid t \in [a, b]\}$, missä $x : [a, b] \to \R$ ja $y : [a, b] \to \R$ ovat jatkuvia funktioita. Käyrän $S$ parametriesitys on

$$z(t) = x(t) + \im y(t), \qquad t \in [a, b],$$

ja se määrää suunnan, johon käyrää $S$ kuljetaan. Käyrää, jolla on parametriesitys, sanotaan suunnistetuksi, ja suunnistettua käyrää sanotaan myös tieksi.

Jos suunnistetun käyrän $S$ parametriesityksessä $z(a) = z(b)$, niin niin se on sulkeutuva. Jos kaikille $t_1, t_2 \in (a, b)$ on voimassa $z(t_1) \not= z(t_2)$ (käyrä $S$ ei leikkaa itseään), niin se on yksinkertainen. Sulkeutuvaa yksinkertaista käyrää sanotaan myös Jordanin käyräksi.

Suunnistettu käyrä $S$ on sileä, jos derivaatat $x'(t)$ ja $y'(t)$ ovat olemassa jatkuvina ja $(x'(t), y'(t)) \not= (0, 0)$ aina, kun $t \in [a, b]$. Jos käyrä voidaan esittää äärellisen monen sileän käyrän yhdisteenä, sitä sanotaan paloittain sileäksi.

Yksinkertainen esimerkki kompleksitason tiestä on kahden pisteen välinen jana. Reaalitason pisteiden $(x_1, y_1)$ ja $(x_2, y_2)$ välinen jana voidaan muodostaa seuraavasti. Aloitetaan pisteestä $(x_1, y_1)$ ja kuljetaan suuntavektorin $(x_2, y_2) - (x_1, y_1)$ mukaisesti pisteeseen $(x_2, y_2)$ asti:

$$(x, y) = (x_1, y_1) + t\left((x_2, y_2) - (x_1, y_1)\right), \qquad\text{missä } t \in [0, 1].$$

Merkitsemällä $z_1 = x_1 + \im y_1$, $z_2 = x_2 + \im y_2$ ja $z = x + \im y$ saadaan vastaavasti kompleksitason pisteiden $z_1$ ja $z_2$ välisen janan parametrisoinniksi

$$z(t) = z_1 + t(z_2 - z_1), \qquad\text{missä } t \in [0, 1].$$

Tätä merkitään usein myös muodossa $z = (1 - t)z_1 + tz_2$, $t \in [0, 1]$.

Esimerkki 1.2.8

Pisteiden $z_1 = -1 - \im$ ja $z_2 = 1$ välille muodostuu jana

$$\{(1 - t)(-1 - \im) + t \mid t \in [0, 1]\} = \{2t - 1 + \im (t - 1) \mid t \in [0, 1]\}.$$

Koska reaalifunktiot $2t - 1$ ja $t - 1$ ovat jatkuvia, kyseessä todellakin on kompleksitason käyrä, ja koska sillä on suunnistuksen määräävä parametrisointi, kyseessä on tie. Koska funktiot $2t - 1$ ja $t - 1$ ovat myös jatkuvasti derivoituvia ja derivaatat $2$ ja $1$ eivät ole yhtä aikaa nollia, pisteet $z_1$ ja $z_2$ yhdistävä jana on sileä.

Koska kompleksitason janalla on aina parametrisointi $z(t) = (1 - t)z_1 + tz_2$, $t \in [0, 1]$, kaikki janat ovat määritelmän mukaisesti teitä. Useammasta jatkuvasti peräkkäin asetetusta janasta muodostuu murtoviiva, joka sekin on kompleksitason tie, mutta ei yleensä sileä.

Esimerkki 1.2.9

Pisteiden $z_1 = -1 - \im$, $z_2 = 1$ ja $z_3 = 1 + 3\im$ kautta tässä järjestyksessä kulkeva murtoviiva koostuu kahdesta janasta, joilla on parametrisoinnit

$$\begin{split}\begin{aligned} z(t) &= 2t - 1 + \im (t - 1), && t \in [0, 1] && (\text{pisteestä } z_1 \text{ pisteeseen } z_2) \\ z(t) &= 1 + t - \im 3t, && t \in [0, 1] && (\text{pisteestä } z_2 \text{ pisteeseen } z_3). \end{aligned}\end{split}$$

Murtoviivan parametrisoinnin etsimisessä on löydettävä yksi reaalilukuväli, jonka alkiot määräävät käyrän pisteet. Siirretään siis jälkimmäisen parametrisoinnin määrittelyväliä luvulla $1$ positiiviseen suuntaan, jolloin murtoviivan parametrisointi on

$$\begin{split}z(t) = \begin{cases} 2t - 1 + \im (t - 1), & t \in [0, 1] \\ 1 + (t - 1) - \im 3(t - 1), & t \in [1, 2] \end{cases} = \begin{cases} 2t - 1 + \im (t - 1), & t \in [0, 1] \\ t - \im 3(t - 1), & t \in [1, 2]. \end{cases}\end{split}$$

Tällöin reaaliosan $x(t) = \real(z(t))$ derivaatta

$$\begin{split}x'(t) = \begin{cases} 2, & t \in (0, 1) \\ 1, & t \in (1, 2) \end{cases}\end{split}$$

ei ole jatkuva, joten murtoviiva ei ole sileä. Sen reaali- ja imaginaariosat ovat kuitenkin paloittain jatkuvasti derivoituvia eivätkä yhtä aikaa nollia, joten murtoviiva on paloittain sileä.

Huomautus 1.2.10

Olkoon $S$ kompleksitason tie, jolla on parametrisointi $z(t)$, $t \in [a, b]$. Tällöin vastakkaiseen suuntaan kuljettua tietä merkitään $-S$ ja sillä on parametrisointi $z(-t)$, $t \in [-b, -a]$.

Esimerkki 1.2.11

Pisteestä $z_1 = -1 - \im$ pisteeseen $z_2 = 1$ kulkevan janan parametrisointi on

$$z(t) = 2t - 1 + \im (t - 1), \qquad t \in [0, 1].$$

Huomautuksen 1.2.10 mukaisesti janalla pisteestä $z_2$ pisteeseen $z_1$ on parametrisointi

$$z(t) = -2t - 1 + \im (-t - 1), \qquad t \in [-1,0].$$

Huomaa, että molemmat parametrisoinnit määrittelevät saman käyrän (joukon).

Pohdi 1.2.12

Mieti miksi tien kulkusuunnan kääntävässä parametrisoinnissa täytyy korvata $t$ arvolla $-t$ ja muuttaa rajat $[a,b]$ rajoiksi $[-b,-a]$.

Kompleksitason teistä voidaan piirtää kuvia kuten muistakin joukoista. Esimerkiksi parametrisoiti $z(t) = -t + \im t\sin(t)$, missä $t \in [-2, 13]$ määrittelee kuvan 1.2.2 mukaisen kompleksitason osajoukon.

Kuva 1.2.2. Käyrän $z(t) = -t + \im t\sin(t)$, $t \in [-2, 13]$ kuvaaja kompleksitasossa.

Tämä tie suunnistetaan siten, että aloitetaan oikeanpuoleisesta päätepisteestä $z(-2)$ ja päädytään käyrää pitkin toiseen päätepisteeseen $z(13)$. Koska käyrä ei tee silmukoita, se on yksinkertainen. Tien reaali- ja imaginaariosat ovat myös jatkuvasti derivoituvia eikä käyrässä ole teräviä kulmia, joten se on sileä.

Myös käyrien yhdisteet ovat käyriä, kunhan niillä on yhteisiä päätepisteitä. Kuvassa 1.2.3 on esitetty sileiden käyrien yhdiste, jolloin kokonaisuus on paloittain sileä käyrä.

Kuva 1.2.3. Jatkuvasti toisiinsa liittyvien teiden yhdiste on tie.

Janan ja murtoviivan lisäksi kolmas hyödyllisistä peruskäyrätyypeistä on ympyrä.

Esimerkki 1.2.13

Parametriesityksellä

$$z(t) = x(t) + \im y(t) = \cos(t) + \im\sin(t), \qquad t\in[0, 2\pi]$$

määritelty tie on origokeskinen yksikköympyrä, jossa ympyrä kierretään kerran vastapäivään pisteestä $1$ alkaen (piirrä kuva). Tie $z(t)$ on

1. yksinkertainen, koska $z(t_1) \not= z(t_2)$ aina, kun $t_1 < t_2$ ja $t_1,t_2\in (0, 2\pi)$,
2. sulkeutuva, koska $z(0)=z(2\pi)$,
3. sileä, koska derivaatat $x'(t) = -\sin(t)$ ja $y'(t) = \cos(t)$ ovat jatkuvia välillä $[0, 2\pi]$, eivätkä ne tunnetusti koskaan saa samaan aikaan arvoa $0$.

Kohtien 1 ja 2 perusteella tie $z(t)$ on Jordanin käyrä. Tietoa siitä, että ympyrä on sileä Jordanin käyrä käytetään usein jatkossa.

Edellä määritelty ympyräkäyrä voidaan suunnistaa myös vastakkaiseen suuntaan. Asettamalla $\tilde{z}(t) = z(-t)$, $t \in [-2\pi, -0] = [-2\pi, 0]$ saadaan yksikköympyrän parametrisointi, joka suunnistetaan myötäpäivään. Myös “nopeutta”, jolla ympyrä kierretään voidaan vaihtaa käyttämällä esimerkiksi parametrisointia

$$z(t) = \cos(2\pi t^2) + \im\sin(2\pi t^2), \qquad t \in [0, 1].$$

Myös parametrisointi

$$z(t) = \cos(t) + \im\sin(t), \qquad t \in [-\pi, 2\pi]$$

tuottaa yksikköympyrän pisteet, mutta siihen liittyvä tie ei määritelmän mukaan ole yksinkertainen eikä sulkeutuva. Tämä tarkoittaa kuitenkin oikeastaan vain sitä, että kyseinen yksikköympyrän parametrisointi ei ole kovin hyödyllinen. Käyrää voidaan pitää sulkeutuvana ja yksinkertaisena, jos sillä on jokin niiden määritelmät toteuttava parametrisointi.

Yleisemmin kompleksitason ympyrälle $|z - z_0| = r$ voidaan kehittää parametrisointi

$$z(t) = z_0 + r(\cos(t) + \im\sin(t)), \qquad t \in [0, 2\pi],$$

jolloin tie suunnistetaan vastapäivään. Tämäkin on aina sileä Jordanin käyrä. Ympyröillä, ja yleisemminkin Jordanin käyrillä on seuraava lähes itsestään selvältä tuntuva ominaisuus.

Lause 1.2.14 (Jordanin lause)

Jokainen Jordanin käyrä jakaa kompleksitason kahteen osaan: käyrän sisäpuolelle jäävään rajoitettuun alueeseen ja sen ulkopuolelle jäävään rajoittamattomaan alueeseen.

Vaikka lause onkin yksinkertainen ilmaista, sen todistaminen ei ole helppoa. Tiettävästi tuloksen muotoili lauseeksi ja todisti ensimmäisenä C. Jordan vuonna 1887, mutta todistus ei ollut matemaattisesti riittävän tarkka. Yleisesti hyväksytyn todistuksen esitti vuonna 1905 O. Weblen. Lauseelle on sittemmin esitetty lukuisia eri todistuksia.

Jordanin lauseen avulla jokaiselle Jordanin käyrälle voidaan sopia yhteinen kiertosuunta (viittaus käyrän sisäpuoleen on mahdollinen). Jos ei muuta mainita, niin Jordanin käyrät suunnistetaan siten, että tien sisäpuoli jää kiertosuuntaan nähden vasemmalle. Käytännössä tämä tarkoittaa kulkua vastapäivään.

Palautusta lähetetään...