$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Kompleksitason topologiaa¶

Reaalianalyysista tutut topologiset käsitteet yleistetään kompleksitasoon pääsääntöisesti ympyrän sisälleen rajaaman kiekon avulla. Siinä missä reaalilukusuoralla pisteen ympäristöä kuvaa jokin sen sisältävä väli, kompleksitasossa on otettava huomioon myös toiseen ulottuvuuteen suuntautuvat pisteet. Tässä annetaan vain ne topologiset käsitteet, jotka ovat oleellisia jatkon kannalta. Tavoitteena on näiden osalta pystyä perustelemaan geometrisesti (kuvan avulla), miksi esimerkiksi jokin joukko on avoin tai yhdesti yhtenäinen.

Määritelmä 1.3.1

Olkoon $$z_0$$ kompleksiluku ja $$\delta$$ positiivinen reaaliluku. Pisteen $$z_0$$ avoin $$\delta$$-ympäristö (avoin kiekko) on joukko

$B_{\delta}(z_0) = \{z \in \C \mid |z - z_0| < \delta\}.$

Pisteen $$z_0$$ suljettu $$\delta$$-ympäristö (suljettu kiekko) on joukko

$\overline{B}_{\delta}(z_0) = \{z \in \C \mid |z - z_0| \leq \delta\}.$

Pisteen $$z_0$$ avoin, punkteerattu $$\delta$$-ympäristö on joukko

$B_{\delta}'(z_0) = \{z \in \C \mid 0 < |z - z_0| < \delta\} = B_{\delta}(z_0) \setminus \{z_0\}.$

Nyt myös joukon suhteen tunnistettavien erilaisten pisteiden määritelmät voidaan muotoilla tuttuun tapaan. Näistä voidaan saman tien muotoilla kompleksilukujen osajoukon avoimuuden ja suljettuuden luonnehdinnat.

Määritelmä 1.3.2

Oletetaan, että $$S\subseteq\C$$ ja että $$z_0 \in \C$$. Piste $$z_0$$ on joukon $$S$$

1. sisäpiste, jos on olemassa $$\delta > 0$$, jolle $$B_{\delta}(z_0) \subseteq S$$,
2. reunapiste, jos jokaisella $$\delta > 0$$ joukko $$B_{\delta}(z_0)$$ sisältää sekä joukon $$S$$ että sen komplementin $$\C \setminus S$$ alkion,
3. ulkopiste, jos se ei ole sisäpiste tai reunapiste,
4. kasautumispiste, jos jokaisella $$\delta > 0$$ joukko $$B_{\delta}'(z_0) \cap S \not= \varnothing$$.

Joukko $$S$$ on avoin, jos kaikki sen pisteet ovat sisäpisteitä. Joukko $$S$$ on suljettu, jos se sisältää kaikki reunapisteensä.

Huomautus 1.3.3

Kompleksiluku $$z_0$$ on joukon $$A$$ kasautumispiste, jos sen jokaisesta punkteeratusta $$\delta$$-ympäristöstä löytyy joukon $$A$$ piste. Mikään ei vaadi, että $$z_0 \in A$$.

Kuvassa 1.3.1 on havainnollistettu sisä-, reuna- ja ulkopisteiden käsitteitä. Sinisellä merkityn sisäpisteen ympärille mahtuu joukkoon sisältyvä kiekko, ja vihreällä merkityn ulkopisteen ympärille joukon ulkopuolinen kiekko. Punaisen reunapisteen tapauksessa kaikki sitä ympärövät kiekot menevät sekä joukon sisäpuolelle että ulkopuolelle.

Kuva 1.3.1. Kompleksitason joukon sisä-, reuna- ja ulkopisteitä voidaan havainnollistaa suoraan määritelmän perusteella.

Mistä tahansa joukosta voidaan tehdä suljettu joukko lisäämällä siihen puuttuvat reunapisteet, ja vastaavasti mistä tahansa joukosta voidaan tehdä avoin poistamalla siitä kaikki reunapisteet. Jälkimmäinen väite voidaan perustella seuraavalla klassisella tuloksella (todistus harjoitustehtävä).

Lause 1.3.4

Oletetaan, että $$S \subseteq \C$$. Joukko $$S$$ on suljettu, jos ja vain jos joukko $$\C \setminus S$$ on avoin.

Annettu joukko ei ole välttämättä avoin eikä suljettu. Esimerkiksi tästä käy mikä tahansa tilanne, jossa vain osa reunapisteistä sisältyy joukkoon.

Esimerkki 1.3.5

Tarkastellaan pisteen $$1 - \im$$ ympärille muodostuvia joukkoja. Seuraavien väitteiden perusteluiksi voidaan piirtää kuvan 1.3.2 kaltainen kuvaaja.

1. Joukon $$B_1(1 - \im)$$ reunapisteiden joukko on ympyrä $$|z - (1 - \im)| = 1$$.
2. Joukon $$\C \setminus B_1(1 - \im)$$ reunapisteiden joukko on myös ympyrä $$|z - (1 - \im)| = 1$$.
3. Joukko $$B_1(1 - \im)$$ on avoin, koska se ei sisällä yhtäkään reunapistettään.
4. Joukon $$B_1(1 - \im)$$ komplementti $$\C \setminus B_1(1 - \im) = \{z \in \C \mid |z - (1 - \im)| \geq 1\}$$ on suljettu, koska se sisältää kaikki reunapisteensä.
5. Joukko $$B_1(1 - \im) \cup \{1\}$$ ei ole suljettu eikä avoin, sillä reunapiste $$1$$ kuuluu joukkoon, mutta muut reunapisteet eivät.

Kuva 1.3.2. Perustelut kohtien 1–5 väitteille. Harmaalla merkitty alue edustaa mainittua joukkoa.

Tällä kurssilla tämänkaltaisten kysymysten vastaukset riittää perustella kuvan avulla.

Esimerkki 1.3.6

Todistetaan malliksi määritelmän avulla, että avoin kiekko $$B_1(1 - \im)$$ on avoin joukko. Valitaan piste $$z_0 \in B_1(1 - \im)$$, jolloin on osoitettava, että $$z_0$$ on joukon $$B_1(1 - \im)$$ sisäpiste. Tämä puolestaan tapahtuu osoittamalla, että $$B_{\delta}(z_0) \subseteq B_1(1 - \im)$$ jollakin $$\delta > 0$$.

Olkoon $$r$$ pisteen $$z_0$$ lyhyin etäisyys ympyrästä $$|z - (1 - \im)| = 1$$, jolloin kiekon $$B_1(1 - \im)$$ sädettä pitkin mitattuna

$r = 1 - |z_0 - (1 - \im)|, \qquad\text{eli}\qquad |z_0 - (1 - \im)| = 1 - r.$

Jos nyt $$z_1 \in B_r(z_0)$$, niin $$|z_1 - z_0| < r$$ ja kolmioepäyhtälön nojalla

$|z_1 - (1 - \im)| = |z_1 - z_0 + z_0 - (1 - \im)| \leq |z_1 - z_0| + |z_0 - (1 - \im)| < r + 1 - r = 1,$

joten $$z_1 \in B_1(1 - \im)$$. Täten $$B_r(z_0) \subseteq B_1(1 - \im)$$, joten $$z_0$$ on joukon $$B_1(1 - \im)$$ sisäpiste. Tässä $$z_0$$ on mielivaltainen, joten jokainen joukon $$B_1(1 - \im)$$ piste on sen sisäpiste, ja näin $$B_1(1 - \im)$$ on avoin.

Vastaavaan tapaan voidaan osoittaa, että mikä vain avoin kiekko on avoin joukko. Tästä esimerkistä huomataan, että suoraan avoimuuden (tai suljettuuden) määritelmän perusteella toimiminen on kohtalaisen työlästä.

Kompleksitason joukkoja voidaan luokitella vielä seuraavin tavoin.

Määritelmä 1.3.7

Oletetaan, että $$S \subseteq \C$$. Joukko $$S$$ on

1. yhtenäinen, jos mitkä tahansa pisteet $$z_1, z_2 \in S$$ voidaan yhdistää joukkoon $$S$$ sisältyvällä käyrällä,
2. alue, jos se on epätyhjä, avoin ja yhtenäinen,
3. yhdesti yhtenäinen, jos se on alue ja jokainen sen sisältämä paloittain sileä Jordanin käyrä sulkee sisäpuolelleen vain joukon $$S$$ pisteitä,
4. rajoitettu, jos on olemassa reaaliluku $$M > 0$$, jolle $$|z| < M$$ aina, kun $$z \in S$$,
5. rajoittamaton, jos se ei ole rajoitettu,
6. kompakti, jos se on suljettu ja rajoitettu.

Kuvassa 1.3.3 on esitetty kaksi kompleksitason joukkoa. Harmaan alueen reunaviivalla merkitään joukon reunapisteitä. Jos tämä viiva on yhtenäinen, reunapisteet tulkitaan joukon alkioiksi, ja jos viiva on katkonainen, niitä ei tulkita joukon alkioiksi.

Kuva 1.3.3. Kompleksitason epäyhtenäinen suljettu ja yhtenäinen avoin joukko. Kumpikin joukoista on rajoitettu, joten ensimmäinen joukko on kompakti ja jälkimmäinen joukko on alue.

Kumpikin joukoista on rajoitettu. Koska ensimmäinen joukko sisältää kaikki reunapisteensä, se on suljettu, ja täten myös kompakti. Jälkimmäinen joukko ei puolestaan sisällä yhtään reunapistettään, joten sen komplementti on suljettu. Täten jälkimmäisen kuvan joukko on avoin.

Mitkä tahansa kaksi jälkimmäisen joukon pistettä voidaan yhdistää joukossa kulkevalla käyrällä, eli se on yhtenäinen. Koska se on avoin ja yhtenäinen (ja epätyhjä), se on alue. Ensimmäisen kuvan joukko puolestaan koostuu kahdesta erillisestä osasta, jolloin se ei ole yhtenäinen.

Esimerkki 1.3.8

Joukko $$\overline{B}_4(0) \setminus B_1(0)$$ on rajoitettu ja yhtenäinen (kuva 1.3.4). Koska se on lisäksi suljettu, se on kompakti. Sen komplementti

$\C \setminus (\overline{B}_4(0) \setminus B_1(0)) = B_1(0) \cup (\C \setminus \overline{B}_4(0)) = \{z \in \C \mid |z| < 1 \lor |z| > 4\}$

puolestaan ei ole yhtenäinen, rajoitettu eikä kompakti.

Kuva 1.3.4. Joukko $$\overline{B}_4(0) \setminus B_1(0)$$ on kompakti ja yhtenäinen, mutta sen komplementti on vain avoin.

Yhdesti yhtenäisen alueen käsite kaipaa vielä havainnollistusta. Olennaisesti yhdesti yhtenäinen alue ei sisällä reikiä. Jos yhtenäisessä alueessa on vähän (äärellinen määrä) reikiä, siitä voidaan aina tehdä yhdesti yhtenäinen alue. Riittää nimittäin valita jokin eri reunojen pisteitä yhdistävä jana ja poistaa se alueesta. Näin ikään kuin kielletään alueen Jordanin käyriä kiertämästä reikää ympäri. Tätä on havainnollistettu kuvassa 1.3.5.

Kuva 1.3.5. Kompleksitason yhtenäinen ja yhdesti yhtenäinen alue.

Esimerkki 1.3.9

Oletetaan, että $$r > 0$$. Seuraavat väitteet voidaan perustella kuvan 1.3.6 avulla.

1. Origokeskinen $$r$$-säteinen kiekko $$B_r(0)$$ on yhdesti yhtenäinen alue.
2. Punkteerattu kiekko $$B_r'(0)$$ ei ole yhdesti yhtenäinen, sillä sen sisältämä sileä Jordanin käyrä $$z(t) = \frac{r}{2}(\cos(t) + \im\sin(t))$$ sulkee sisäänsä kiekosta poistetun origon.
3. “Leikattu kiekko” $$B_r(0) \setminus [0, \infty)$$ on yhdesti yhtenäinen.

Kuva 1.3.6. Punkteeratusta kiekosta saadaan yhdesti yhtenäinen alue poistamalla siitä keskipisteen ja reunan välinen jana.

• Kompleksitason $$z_0$$-keskisen $$r$$-säteisen ympyrän yhtälö on $$|z - z_0| = r$$.
• Kompleksitason joukko $$S$$ on avoin, jos sen jokaisen pisteen $$z_0$$ ympärille löydetään joukkoon $$S$$ sisältyvä avoin kiekko $$|z - z_0| < \delta$$.
• Kompleksitason joukko $$S$$ on yhtenäinen, jos sen kaikkien pisteiden välillä voidaan kulkea päätymättä joukon ulkopuolelle.
• Kompleksitason epätyhjä yhtenäinen avoin joukko $$S$$ on yhdesti yhtenäinen, jos siinä ei ole reikiä.
Palautusta lähetetään...